图形地相似压轴题选

1、文案大全图形的相似难题选1.（2014?广东，第25题9分）如图，在ABC中，ABACADLAB于点D,BG=10cmAD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交ABACAD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t0).(1)当t=2时，连接DEDF,求证：四边形(2)在整个运动过程中，所形成的厶PEF的面积存在最大值，当厶PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存

2、在，请说明理由.考点：相似形综合题.分析：(1)如答图1所示，利用菱形的定义证明；如答图2所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解;如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解.解答：(1)证明：当t=2时，DH=AH=2,贝UH为AD的中点，如答图1所示.又EFLAD二EF为AD的垂直平分线，AE=DEAF=DF/ABACADLAB于点D,ADLBC/B=ZC.EF/BCAEf=ZB,/AFZC,/AEF=ZAFEAE=AF,AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.AELABC,即解得：EF=10-:(2)解：如答图2所示,由(1&pef_EF?DH=(10

3、-t)?2t=-t2+10t=(t-2)2+1022222当t=2秒时，Sapef存在最大值，最大值为10,此时BF=3t=6.(3)解：存在.理由如下：若点E为直角顶点，如答图3所示，此时PE/ADPE=DH=2t,BP=3t.vPE/AD二巴型，即空，此比例式不成立，故AD_BD8_5此种情形不存在；若点F为直角顶点，如答图3所示，此时PE/AD,PF=DH=2t,BP=3t,cr=io-3t.pf/ad.里g,即空二，解得tO；TOC o 1-5 h zADCD8517A答郵答圏迤答郵若点P为直角顶点，如答图3所示.过点E作EMILBC于点M,过点F作FNLBC于点N,则EMtFN=DH

4、=2t,EM/FN/AD.vEM/AD，即一一二，解得BMtt,ADBD854PM=BP-BM=3t-_it=t.在RtEMP中，由勾股定理得：PE=EM+PM=(2t)+(t)2=；t2.44416FN/AD理卫，即空炉，解得CNt,PN=BC-BP-CN=10-3t-1=10-更t.ADCD85444在RtFNP中，由勾股定理得：pF=fN+pN=(2t)2+(10-2Zt)2总至t2-85t+100.416在RtPEF中,由勾股定理得：eF=pE+p即：(10-t)2=(空t2)+(要t2-85t+100)21616化简得：t2-35t=0,解得：t=_或t=0(舍去)t=也818318

5、3综上所述，当t=J秒或t秒时，pef为直角三角形.17183点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第(1)问考查了菱形的定义；第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想.2.(2014年四川资阳，第23题11分)如图，已知直线I1/I2，线段AB在直线li上，BC垂直于I1交I2于点C,且AB=BCP是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交|2、丨1于点DE(点AE位于点B的两侧)，满足BF=BE连接APCE(1)求证：ABFACBE(2)连结ADBDBD与AP相交于点F.如图

6、2.当：时，求证：BP为S2，求亠的值.考点：相似形综合题.分析：(1)求出/AB民/CBE根据SAS推出APIBD当奥=n(n1)时，设BP图上即可;(2)延长AP交CE于点H,求出APLCE证出CPDhABPE推出DP=PE求出平行四边形BDCE推出CE/BD即可；分别用S表示出PADAPCE的面积，代入求出即可.解答：(1)证明：TBCL直线丨1,./ABf=ZCBE在厶ABPDCBE中rAB=BC*ZABP-ZCBEtBP二BEABPACBE(SAS；(2)证明：延长AP交CE于点ABPACBEPAB=/ECB/PAB/AEZECB/AEH90,.APLCE：些=2,即卩P为BC的中点

7、，直线I1/直线BP|2,仏CPDABPE.=丄，.DP=PE四边形BDC是平行四边形，PEBP1CE/BDAPICEAPIBD解：H=N.BC=n?BPCP=(n1)?BP,/CD/BE,CPEhBPEBPpnPC=n1,即S2=(n1)S,/&PAE=SBCE=n?S,pae=(n+1)?S,十=k1，-s=(w)(n-1心,上=n+1.1S实用文案1文案大全点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好,DH有一定的难度.3.(2014?武汉，第24题10分)如图，RtAABC中，/ACE=90,AC=6

8、cmBC=8cm动点PQ从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0vtv2)，连接PQ(1)若厶BPQAABC相似，求t的值;(2)连接AQCP若ACLCP求t的值;(3)试证明：PQ的中点在厶ABC的一条中位线上.考点：相似形综合题分析：(1)分两种情况讨论：当厶BP8ABAC时-当心呐，再根据BF=5t,Q(=4t,AB=10cmBC=8cm代从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点入计算即可；(2)过P作PMLBC于点MAQCP交于点N,则有PB=5t,PM3t,MC8-4t,根据ASCMP得出*二，代入计算即可;(3)作PELAC

9、于点E,DFLAC于点F,先得出DFx，再把Q(=4t,PE=8-BM8-4t2代入求出DF过BC的中点R作直线平行于AC得出RODF,D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在厶ABC的一条中位线上.解答：解：(1)当BPQoBAC时，二=丄,BP=5t,QG4t,AB=10cm,BC=8cmBABC円;当BP凤BC砒叮Jft=1或:时，BP咤ABC相似;(2)如图所示,过P作PMLBC于点MAQCP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,M(=8-4t,/NAC/NCA90。，/PCM/NCA90。，：/NAC/PCM且/ACQ/PMC90,实用文案文案大全ACQpCMP.些型,=1，解得：t

10、二丄;CMMP8-4t3tS（3）如图，仍有PMLBC于点MPQ的中点设为D点，再作PE!AC于点E,DF丄AC于点F,B/ACB90.DF为梯形PECQ勺中位线，DF暑匹,2Q4十+4十QC=4t,PE=8-BM=8-4t,DF=4,vBC=8,过BC的中点R作直线平行于AC2RC=DF=4成立，D在过R的中位线上，PQ的中点在厶ABO的一条中位线上.点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论.（2014?四川自贡，第23题12分）阅读理解:如图，在四边形ABCD勺边AB上任取一点E（点E不与A

11、B重合），分别连接EDEC可以把四边形ABC吩成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD勺边AB上的“强相似点”解决问题：（1）如图，/A=ZB=ZDEC45,试判断点E是否是四边形ABC啲边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形ABCD中,A、B、CD四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD勺边AB上的强相似点；如图，将矩形ABCD&CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相

12、似点，试探究AB与BC的数量关系.考点：相似形综合题分析：(1)要证明点E是四边形ABCD勺AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明AD0ABEC所以问题得解.以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；因为点E是矩形ABCD勺AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解.解答：解：(1)/A=/B=/DE(=45,/AED/ADE135。，/AED/CEB135/ADE/CEB在厶ADEDBCE中，；ZA=ZBZade=Zbec，ADEBCE点E是否是四边形ABCD勺边AB上的相似点.(2

13、)如图所示：点E是四边形ABCD勺边AB上的相似点，(3)点E是四边形ABCM勺边AB上的一个强相似点，丄AEMhABCEAECM/BCE/ECM/AEMI由折叠可知：ECIWDCIMZECIMZDCMCE=CD/BCE/BCD30。，BE=1cE)AB，在RtBCE中,tan/BCE=tan30=辺，22BC31点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出/CED90。，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键i(2014?扬州，第28题，12分)已知矩形ABC啲一条边AD=8，将矩形ABC折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处

14、.迦！机(第6题图)(1)如图1,已知折痕与边BC交于点Q连结AROPOA求证：OCPAPDA若QCPfAPDA的面积比为1:4,求边AB的长；(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/QAB勺度数；(3)如图2,11J1：,擦去折痕AQ线段QR连结BP.动h点M在线段AP上(点M与点RA不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM连结MN交PB于点F,作ME!BP于点E.试问当点MN在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值.专题：

15、综合题；动点型；探究型.分析：(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与QP的关系，然后在RtPCC中运用勾股定理求出QP长，从而求出AB长.(2)由DP=DOAB=AP及/D=90。，利用三角函数即可求出/DAP勺度数，进而222求出/QAB勺度数.(3)由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长.解答：解：(1)如图1,四边形ABCD1矩形，AD=BCDOAB/DAB/B=Z

16、C=ZD=90.由折叠可得：AF=ABPQ=BQ/PA(=ZBAQ/AP(=ZB.a/AP(=90./APD90。-/CPQZP(c.t/D=/C,ZAPD/P(C.QCPDA.QCPfAPDA的面积比为1:4,=1=i=.PD=2QCPA=2QPDA=2CPPDPADA42/AD=8,CP=4,BC=8.设QPx,则QB=x,C(=8-x.在RtPCQ中,v/C=90,CP=4,Qf=x,CG8-x,x2=(8-x)2+42.解得：x=5.AB=AP=2QP=10.边AB的长为10.如图1,vP是CD边的中点，DF=DC.vd(=ABAB=AR二DP=AP.22/D=90,sin/DAP2=

17、2.DAP=30.v/DAB90,/PAO/BAO/DAP30,AP2/OAB30o./OAB勺度数为30.作MQAN交PB于点Q如图2.vAP=AB,MQAN/AP咅/ABP/ABP=/MQP/AP咅/MQP：MPMQvMPMQMELPQPE=EQPQBN=PMMP=MQBN=QM2/MQ/AN/QMF/BNF在厶MFCfHANFB中,rZQNlF=ZBNF“ZQFH=ZBFN.卫肛BNMFNFB.QF=BF.QF=QB.EF=E(+QF=PQQB=PB.由(1)中的结论可得：2222PC=4,BC=8,/C=90.aPB=%：7P=4_.EF=PB=2匸.2在(1)的条件下，当点MN在移动

18、过程中，线段EF的长度不变，长度为2屈.图1圉2点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键.(2014?宾州，第25题12分)如图，矩形ABCDKA薛20,BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q(1)求证：APQACDQ(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DPLAC?设&AP(+&DC=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时

19、，y取得最小值.考点：相似形综合题分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找,易证.（2）当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则AP长已知，故t易知.B因为SAPQ+SDCQ=y，故求SAPG和SDCO是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取考虑两高在同一直线上，且相加恰为10,故可由（1）相似结论得，高的2比等于对应边长比，设其中一高为h,即可求得，则易表示y=“，注意要考虑t20+t2的取值讨论何时y最小，y=不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来20+t讨论，回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，v1并不是我

20、们常规的在确定时间最小，v2时间问的整数秒.故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论.解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB/CDQPA/QDCZQAPZQCDAPQACDQ(2)解：当DPIAC时，/QCD/QDC90，vZ/DCA/ADPJADC/DAAWPAD罐囁，解得PA=5，.t=5.设ADP的边AP上的高则厶QDC勺边DC上的高为10-h./APACDQ型，解得h，10-h2Jl，TOC o 1-5 h z10-hDC2020+t20+t.e15t。l.nr.*S2000220+t220+t.,._o.o-5t.2000_5t+2000“八一”、y=Sa

21、pq+Sdc=+=(Owtw20).20+t20+t20+t探究:t=0，y=100;t=1，y95.48;t=2，y91.82;t=3，y88.91;t=4,ADQ/QCD90。，1020v，y86.67;t=5，y=85;t=6，y83.85;t=7，y83.15;t=8，y82.86;t=9，y82.93;t=10，y83.33;t=11，y84.03;t=12，y=85;t=13，y86.21;t=14，y87.65;t=15，y89.29;t=16，y91.11;t=17，y93.11;t=18，y95.26;t=19，y97.56;t=20，y=100;观察数据知：当OwtW8时，y随t的增大而减小；当9wtw20时，y随t的增大而增大