三角函数的图像和性质知识梳理

1、三角函数的图像与性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RRx|x R,且 x k ,k Z 2值域-1, 1-1, 1R最 值当 x=2k+kC Z 2ymax=1当 x=2k5, kCZ,ymin = 一 1当 x=2k, kC Z, ymax= 1 ；当 x=2k+, kC Z, ymin = 1无奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T= 2T= 2T=单 调 性2 k-2r, 2k+2, kC Z增函数32k+,2k+2, kC Z减函数2k, 2k+, kCZ 减函数，2k-, 2k, kC Z 增函数(-+k, -+k) (kZ)增函数题组1:基础再现例1求函数y=lgsinx+J

2、 cosxg的定义域.解：要使函数有意义，只需sin x 0, 2kx 2k ,，. cosx -. 2k x 2k .33定义域为(2k ,2k- (kC Z).3例 2 (1)求函数 y= cos2x+sinx, x , 7的值域；(2)求函数y cosx 3的值域;cosx 351(3)右函数f(x)=abcosx的取大值为2 ,最小值为2 ,求a,解:(1)令 sinx= t, x 4b的值.y = - t2+t+1 = 一 (t- )2+ 24 当 t=1时，ymax=：；当 t=当时,所求值域为g2 , .c . cosx 3, 3y 3(2) y ,cosx -cosx 31 y

3、12ymin =2一，.3y 3 _1 |cosx| w 1, . | w 1, . 一 2利 Q.1 y2x.函数y sin一的最小正周期为.2.函数y sin(x )的单调增区间为 .4.函数y tan(2x -)的定义域为.3.不求值，判断下列各式的符号：tan138o tan143o tan( 13 ) tan( 17 )45题组2:三角函数的定义域与值域问题所求值域为 2,-.2题组3:三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数 y=Asin(x+)的对称中心横坐标可由x+=k解得，对称轴可由 x+= k+2解得；函数Acos(x+)的对称中心、对称轴同理可得.例3求函数y= sin(

4、 2x)的单调减区间解：.定义域为 R,又y sin(2x -), 4，要求y sin(- 2x)的减区间即求y sin(2x 7)的增区间.2k 2x 一 2k 242函数的定义域为k -,k8(kC Z).y=3一 (kJ).变1求函数ylog 1 cosx的单调减区间. 22 sin(2x一 户 124解：cosx，要求y0,，定义域为(k -,k 4log 1 cos2x的减区间即求 y2-)(kJ).4cos2 x在定义域内的增区间.，函数f(x)在区间最小值为 2k 2x22k ，函数的定义域为(k -,k (kC Z).43.设函数f(x)2 cos x4t sin-cos-4t

5、3t2223t 4R ,其中|t 322tsinx 4t3 t22tsinxt)2 4t30, |t 0, 30, jCR),则 f(x)是奇函数是 3=2”的条件.必t(1,2)12(;引12g,1)g (t)00g(t)Z，一，八1极大值g(-)，一一 1极小值g%)Zt 1.列表如下:3 3(2t11和(-,1)上单倜递增，在区间(-)上单调递减，极小值为 22 21)(2t 1),要不充分由此可见，g(t)在区间(1,-)22 cos2 2x 2 -x2,函数f(x)=二的对称中心坐标为x I. (1, - 1)1,_1g”极大值为g(3.已知函数 f(x) 2cosx(sin x c

6、osx) 1, x R .2.已知 a0,函数 f(x)=2asin兀r兀 i2x+- +2a+b,当 xC 0, 2 时，一5(x)0,求 g(x)的单倜区间.解：(1) f(x) 2cosx(sin x cosx) 1 sin 2x cos2x 72 sin 2x 4兀2.解：(1) . x 0,-,因此，函数f(x)的最小正周期为久.兀 兀 7兀23/石.sin 2x+6 -2, 1 ,兀2asin 2x+6 6 -2a, a.f(x)Cb,3a+b,又. 一 5号(x)wi b = - 5,3a + b = 1,因此 a= 2, b=5.(2)由得，兀 Xf(x)= 4sin 2x+

7、6 1,兀g(x) = f x+ 2=4sin 2x+7T 16=4sin 2x+ 6 1，又由 lg g(x)0,得 g(x)1 ,兀二 4sin 2x+ g 11,. 任1sin 2x+ g 2-2k7t+62x+62k7t+ Y kCZ,其中当 2k 7t+g2x+g k7t+, kCZ 时，g(x)单调递增，即_Kk兀次去兀+ 6kC乙，g(x)的单调增区间为 兀ku, kTt+ g , kC Z.又当 2k 兀+22x+62kTt+ 5T, kJ 时，g(x)单调递减，即 k 什6*卜兀+；, kC Z.g(x)的单调减区间为k兀+ 6, k兀+ 3 ， kCZ第26课时三角函数的图

8、像与性质知识梳理：iyy=sinxy=cosxy=tanx定义域RRx|x R,且 x k ,k Z 2值域-1, 1-1, 1R最 值当 x= 2k+-, k C Z ymax=1当 x=2k2, kCZ, ymin = 一 1当 x=2k, kC Z, ymax= 1 ；当 x=2k+, kC 乙ymin = 一 1无奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T= 2T= 2T=单 调 性2 k-2k+2, ke Z增函数 3 2k+,2k+2J, kC Z减函数2k, 2k+, kCZ 减函数，2k-, 2k, kC Z 增函数(-万+k, -+k) (kZ) 增函数题组1:基础再现例 2 (1)求

9、函数 y= cos2x+sinx, x -,工的值域；cos x 3(2)求函数y 的值域；cosx 351(3)右函数f(x)=abcosx的取大值为2 ,最小值为1,求a, b的值.题组3:三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数 y= Asin(x+)的对称中心横坐标可由x+=k解得，对称轴可由 x+=Acos(x+)的对称中心、对称轴同理可得.例3求函数y= sin( 2x)的单调减区间.4k+2解得；函数y=. x.函数y sin一的最小正周期为2.函数y sin(x 一)的单调增区间为 . 4.函数y tan(2x三)的定义域为.不求值，判断下列各式的符号：1317tan138o

10、tan143o(2) tan( 13 ) tan( 17 )45变1求函数y log1 cosx的单调减区间.2变2已知函数y tan x在(一,一)内是增函数，则的取值范围为 2 2题组2:三角函数的定义域与值域问题例1求函数y=lgsinx+cosx2的定义域.例4判断下列函数的奇偶性：3f (x) xcos(-y x);f (x) lg(sin x。1 sin2x)；(3) f(x)1 sin x cos2 x1 sin xf (x)的最小值记2x x 324.设函数 f (x) cos x 4tsin cos- 4t t 3t 4 , x R ,其中 t 1,22为 g(t) .(1)求g(t)的表达式；变1已知函数f(x)=sin(x+)+/cos(x一)为偶函数，求 的值.(2)讨论g(t)在区间(一1, 1)内的单调性并求极值.题组4:综合与创新兀1.已知函数f(x) = Acos(co叶0, 30, R),则f(x)是奇函数是3 = 2”的 条件.5.已知 a0,函数 f(x)=2asin 2x+- +2a+ b,当 xC 0,-时，54(x)W1.(1)求常数a