三角函数图象性质有关问题解法

1、函数y= Asin(x+*)有关问题解法形如y = Asin(ox +中)的函数是一类比较重要的函数，三角中不少问题与此类函数有关，在物理和工程技术方面应用也比较广。初学者往往对这类函数的问题感到无从下手。现行教材中，主要研究了它的周 期性、值域(最值)和图象作法，是在正弦函数的有关性质和图象的基础上，利用换元转化的思想方法进 行研究的，这实质上就是解决此类函数有关问题的基本思想方法。下面举例说明这一方法的应用。(约定k wz)首先就A、3都是正数情况加以讨论。2. 3例 1.已知函数 y = sin xcosx +、13cos x -，求: 2函数的最小正周期；函数的最小值，并写出相应 x的

2、集合;函数的单调减区间。解：原函数可化为 y =sin(2x )(1)T= 2由 sin(2x+，)= 一1 得 2x 十二=一二十2kn3325 二即x = , k二12,一一，一 , 一一，5二，此函数的最小值是-1,此时x的集合为x| x = -+依，k = Z 123_ _7二由 2x + 亡一 + 2kn ,+ 2kn 得 x w + kn ,+ kn 3221212一二.7二一一J.函数的单倜减区间为+ kn, + kn 1212例2.当0ExE时，求函数f (x) = sin 2x十J3 cos2 x的值域。_ 冗、斛：f (x) =2sin(2x -)3三 三4二,0WxW 一

3、 知一W2x + 一三2333ji由正弦函数的图象知 sin(2x -)3.3,12二f(x)的值域为一43,2例3.函数f(x)=M sin(6x+中)(切0),在区间a,b上是增函数，且f (a) = M , f (b) = M，则函数 g(x) = M cos(6x + 邛)在区间a,b上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值D.可以取得最小值冗 冗冗 冗解：此问题等价于已知 y=sinx在-,-上的单调性和最值，判断y = cosx在-,一的性质。2 22 2由正弦函数与余弦函数图象在.7T，三上的部分易知C正确。2由正弦函数的性质和图象知，直线x= + kn是正弦曲线的对称轴；点

4、 （kn,0）是它的对称中心。由2k-二 TOC o 1-5 h z 此知y = Asin（sx +中）的对称轴万程为 切乂+邛=一 +卜兀，对称中心为（,0）。2例4. （1）函数y =3sin（2x+（）图象的一条对称轴方程为JlJInA.x=0 B.X=C.x=-D. X= 1266k二，斛：由2x + = 一十kn得x = 十 故选B 32122（2）已知f （x） = Asin（sx +中）为奇函数，则=k-1解：因为f （x） = Asin（cox +邛）的对称中心为（k,0）,又f（x）为奇函数，知（0, 0）是它的对0称中心，即x=0是方程cox +中=kn的解，可得 中=kn

5、（3）已知y =sin 2x+acos2x的图象关于直线 x = 三对称。则a=8 TOC o 1-5 h z a .1斛：函数可化为 y = va +1sin（2x +中）其中sin邛=,cos中=,a2 1, a2 1一 .二 .3 二由2x +平=一 + kn为此函数图象的对称轴万程得 甲=+ kn又cos中 024二 2 = 一一 +2kn - tan = a = 1 即 a=-1 4函数y =Asin（ccx+中）（A 0,0 0）图象上的点（x,y）与正弦函数图象上的点（ X, Y）,可以建立一一对应关系，其中 X = x ,Y = ?。课本上此类函数图象的“五点法”作图实质上就是

6、利用了这 A一对应关系。已知此类函数图象上的一些点的坐标，求解析式的问题，可利用这一对应关系加以解决。由于中值的多值性，由上面对应关系，具体解法可概括为：选取图象与x轴的交点，使之与 y轴距离最近，且在右侧附近图象上升。使它与正弦曲线上的点（0, 0）对应，顺次建立其它点的对应关系加以求解。例5. （1）已知函数y=Asin（cox+中）（A a 0,缶 0,$ 090,| 0,中 三）的图象，则2A .C.解:由图得侬十中212二2二10 .二B . 0 =，中二一116D. 6 =2,5=631. 31中一得学=0=226应选Co对于A、8中至少有一个是负数的情况，可以利用诱导公式转化为以

7、上类型解决。形y = Acos（ccx +5），y = Atan（sx +中）的有关问题也可用类似方法解决。例6.求函数y =sin（3x +工）的单调减区间。4 TOC o 1-5 h z HJI解：法1：函数可化为y = sin(3x+)知所求为y = sin(3x )的单调增区间。44，一 一 一. 一 一 2一二 2.一由 3x 匚+2kn, +2kn得 x +- kn , + -k；i42212 34 3即此函数的单调减区间为 -一-2k二，一 2k.12 34 3法2：函数可化为y=sin(3x+F) ,3二二 3_ _2 二 2由 3x +3-亡+2kn,3-+2knMHxW+2kn, +上kn42212 34 3一. 二 2 二 2 _即此函数的单倜减区间为 -+ k