投影在外心的外接球-斗笠模型

1、外接球专题斗笠模型特征：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.9 I 9秒杀公式：/?=”/（其中/2为几何体的高，厂为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心）题设：/的投影落在A48C的外心上第一步、确定球心。的位置，取AJ8C的外心，那么P,（）,H三 点共线;第二步、第二步、算出小圆面半径力，=r ,算出棱锥的高P = /7 ：第三步、勾股定理：OH/IHJoT二（八一村+户=R2二（八一村+户=R2,解出JZ三必I而直出弱/且。，分三二二I 口R2h2 +r22h/.ZASC = 120,延长SM使=那么。为外接球球心，半径为4,.外表积为64万.7.圆台QQ上底面圆。的半径为2,下底面

2、圆。2的半径为2后，圆台的外接球的球心为O,且球心 在圆台的轴QQ上，满足|O|=3|OO21，那么圆台002的外接球的外表积为.7.答案 347 解析 设外接球的半径为R, |O0|=JF万，|00|=卜_(2血)2 ,且|QO|=3|OO2l17,得Rj = 9R272,解得4=U,球。的外表积为4R2=34).28.在六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为0的正六边形，44 = 2且与底面垂直，那么该六棱锥外接球的 体积等于.8.答案 46不 解析 六棱锥P-ABCDE厂中，底面是边长为友的正六边形，B4 = 2且与底面垂直， 可得PD是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为虚的正六边形的对

3、角线差为：2后，可得 PD = 722 + (272)2 =712 = 273 ,外接球的半径为百，外接球的体积为-r3=-xx(a/3)3 = 4信.9.在三棱锥PABC 中，PA = PB = PC = 2, AB = C , BC = M , ZAPC =-,那么三棱锥 PABC 的 2外接球的外表积为.9 .答案 当 解析/PA = PC = 2, ZAPC = - , AC 7 PAi + PC? = 2 垃,又 AB = 0 , BC = M , 32AC = 2五,那么NB4C = 90。，AA3C为直角三角形，.RtAAC外接圆的圆心在3C边的中点上，设 RtAABC外接圆的圆

4、心为。1 ,所以三棱锥P-ABC的外接球的球心。在过且与平面ABC垂直的直线 上，设外接球半径为尺，连接。4, OC ,那么。4 = OC = A,所以要使。4 = OC = OB = OP = R,点。在 AP8C的外接圆圆心的位置即可，叉；PB = PC = 2, BC = M，二cos /BPC =9 +“一眈 二,2PB.PC 4那么 sin/BPC = J1-cos? /BPC =叵,由正弦定理可得：2R = = 31,解得，/?二纪1, .三4sin ZBPC 33棱锥P ABC的外接球的外表积为4万R2 = 4.()2 =%工.3310.在三棱锥PABC中，PA = PB = P

5、C = 9AB = 8 , AC = 6.顶点P在平面ABC内的射影为H , 假设丽= AAB + ijAC且 + 24 = 1 ,那么三棱锥P-ABC的外接球的体积为.10.答案 冗 解析 由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点”，。为球心，2 *2, I .*2OA = OB = OC = OP = R, v =+, /. AH .AB = AAB 4- /liACAB , -| AB|2=2AB/. -juAC.AB ,即32 = 642 + 衣，同理对两边取点乘北，可得，18 = 36 + %女9, TOC o 1-5 h z Q 11 o，又+ 24 = 1 ，由解得，

6、九=一（舍去），4 = 一，AC.AB = 32 , /. AH2 = x32 20 21020+-Lx18 = , ; PA = PB = PC = 9母，产=81x2以=辿0,又在直角三角形AO”中， 10555【例题选讲】.三棱锥.在三棱锥P-ABC中，pa = PB = PC = 6 侧棱Q4与底面A3c所成的角为60。，那么该三棱锥外接球 的体积为（）A.nB. 5C. 47rD.,.在三棱锥PABC中，PA = PB = PC =屈,AC = AB = 2,且AC_LAB,那么该三棱锥外接球的外表积为（）A. 47rB. 8C. 16D. 9兀（斜边上）（3）在三棱锥PABC中，P

7、A = PB =PC = 2瓜 AC = AB = 4,且AC_LAB,那么该三棱锥外接球的表 面积为.9.在三棱锥 PABC 中，PA = PB = PC = 2, AB = 6 , BC = M , ZAPC =-,那么三棱锥 PABC 的 2外接球的外表积为.(4)在三棱锥月一 ABC中，PA = PB=PC = e , AB = AC = , BC = 6 那么该三棱锥外接球的体积为()a 4万X亚八an 32A .B -7iC. 4、/3ttD. 7i333（一般情形）4.体积为G的正三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,假设满足QZ + OA + oG = 0,那么此三棱锥外接 TO

8、C o 1-5 h z 球的半径是（）A. 2B. V2C. 2D.次（兜兜绕绕）（2）（2020全国I汜知A, C为球O的球面上的三个点，。0为A3C的外接圆.假设。01的面积为4兀,AB=BC=AC=OOi，那么球。的外表积为（）A. 64兀B. 48兀C. 36兀D. 32兀（回归定义，草图）2.圆锥曲线1.圆锥的顶点为P,母线Q4与底面所成的角为30。，底面圆心。到出的距离为1,那么该圆锥外接 球的外表积为.例（1）一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60。，假设该圆锥的侧面积为367，那么该圆锥外接球的外表积为（兜兜绕绕）6.圆锥的顶点为S,母线SA, S3互相垂直，SA与圆锥底面所成角为

9、30。，假设A5A3的面积为8,那么 该圆锥外接球的外表积是.（找截面）3 ,四棱锥（外心是地面对角线的中点）（4）正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4,底面边长为2,那么该球的外表积为（8171817116兀9兀D.27715.正四棱锥产一ABC。的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为霹，假设该正四棱锥的体积为2,那么此球的体积为（）124兀625兀500兀256兀A 3B 81C. 81D 9（5）如下图，在正四棱锥尸一A3CZ）中，底面A3CQ是边长为4的正方形，E,产分别是A3, 8的 .2中点，cos/PEF=t，假设A, B, C, D, P在同一球面上，那么此球的

10、体积为.圆台002上底面圆。的半径为2,下底面圆。之的半径为2夜，圆台的外接球的球心为O,且球心在圆台的轴QU上，满足iqoi=3|oai，那么圆台002的外接球的外表积为.在六棱锥P-ABCD砂中，底面是边长为3的正六边形，% = 2且与底面垂直，那么该六棱锥外接球的 体积等于.在三棱锥PABC中，PA = PB = PC = 9叵,AB = S , AC = 6.顶点。在平面ABC内的射影为H , 假设布=4丽+/且4 + 22 = 1 ,那么三棱锥。一 ABC的外接球的体积为.专题六斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式：/?=练（其中为几何体的高，为几何体

11、的底面半径或底面外接圆的圆心）【例题选讲】例（1）一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60。，假设该圆锥的侧面积为3后，那么该圆锥外接球的外表 积为.27 yr答案 解析 设 ZAM = N3SC = NCS4 = 60。，那么必= S3 = SC = AC=3C,设 = 那么2底面圆的直径为2r =,该圆锥的侧面积为L兀= 兀,解得x = 3 ,高sin 60 V32 V3OS =加一 （6）2 =几.r=卡=6 .设圆锥外接球的半径为尺，所以（逐一尺产+/=解，解得冗=乎 那么外接球的外表积为47rH2 =.2（2）（2020.全国I ）A, B,。为球O的球面上的三个点，。0为BC的外接圆.假

12、设。01的面积为4兀，AB=BC=ACOOi，那么球。的外表积为（）A. 64兀B. 4871C. 36兀D. 32兀答案 A 解析 设。1的半径为广，球的半径为R,依题意，得兀户=4兀，,=2.由正弦定理可得dill I八7= 2r, .MB=2rsin60 = 2V3. ：.OOi=AB=2y3.根据球的截面性质，得 OOi J_平面 A3C,。|_1_。凶,R=OA =y/OO+OiA2=yjOO+=4,球。的外表积 5=4兀/?2=64兀.应选 A.(3)在三棱锥PAfiC中，PA = PB =PC = 2瓜 AC = AB = 4,且ACL49,那么该三棱锥外接球的表 面积为.答案

13、3671解析 设顶点P在底面中的射影为。由于%=依=。，所以QA = O超= QC,即点 Q是底面AABC的外心，又AC_LA5,所以01为3c的中点，因为=。= 2指，AC = A3 = 4 ,所以3c = 4血，AQ =2也，PO1 =4,设外接球的球心为O,半径为R,那么。必在上，00=4 R,在R/AOA中，(4 R+(2近=齐，解得R = 3,所以S2 =4乃川=36% .正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4,底面边长为2,那么该球的外表积为(B. 16兀B. 16兀C. 9兀D.27兀答案 A 解析 如下图，设球半径为R,底面中心为。，且球心为0, 1正四棱锥P-ABC

14、D中ABlr-9=2, ：.AOf=yl29 9：P0f=4,，在 RtZiAO。，中，AO2=AO,2+Oa ?./?2 = (2)2+(4-/?)2,解得 R=不该球的外表积为4兀R2=4兀、0=3之P(5)如下图，在正四棱锥PABCO中,底面A3CQ是边长为4的正方形，E,b分别是A3, 8的J2中点，cosZPEF=-,假设A, B, C, D, P在同一球面上，那么此球的体积为PPJ2答案 3671解析 由题意，得底面A3CQ是边长为4的正方形，cos /PEF=，,故高POi为2.易 知正四棱锥PABC。的外接球的球心在它的高POi上，记球心为0,那么A0|=2，PO=AO=R,

15、P0 =2, 00=2-R 或 00i=R2(此时 0 在 POx 的延长线上)，在直角A0。中，R2=AO+OO=(22)2 447r+ (2R)2,解得r=3,所以球的体积为V=q;cR3=7x33 = 36兀.pBC(6)在三棱锥 PABC 中，PA = PB = PC = 5 ,AB = AC = l , BC = 6 ,那么该三棱锥外接球的体积为( )a 4%D 872 A h32A. B. 7iC. 4、/37rD. ti333答案 A 解析 由PA = PB = PC = O ,过P作尸GJL平面ABC,垂足为G,那么G为三角形ABC的巧外心，在AA3C中，由AB = AC =

16、1, BC = 6 可得NB4C = 120。，那么由正弦定理可得：，= 2AG , sin 120即AG = 1./. PG = y/PA2 - AG2 = 1.取B4中点”，作交PG于。，那么。为该三棱锥外接球的PH PC球心.由HOsAPGA,可得二)PO PA也x及那么吁黑券=;=1.可知。与G重合，即该棱锥外接球半径为1.该三棱锥外接球的体积为翊. 3【对点训练】.圆锥的顶点为P,母线Q4与底面所成的角为30。，底面圆心。到Q4的距离为1,那么该圆锥外接 球的外表积为.答案 也 解析 依题意得，圆锥底面半径 = = 2,高h = = 巫.设圆锥外接球半3sin 30sin 6003径

17、为R ,那么R2 =/+（R ）2 ,即& =22+（氏竽）2 ,解得：R =竽.二外接球的外表积为S = 4ttR2.在三棱锥P-ABC中，pa = PB = PC = 6，侧棱以与底面ABC所成的角为60。，那么该三棱锥外接球的体积为()A.nB. 5C. 4D.专.答案 解析 过P点作底面A3C的垂线，垂足为O,设H为外接球的球心，连接AH, AO,因NQ4O = 60。，PA = B 故 40 =立，PO = -9 又 为直角三角形，AH = PH = r,：.22AH2=AO2+OH2, /. r2 = ()2 + (-r)2, /. r = 1 , /. V = xl3 .3.在三

18、棱锥P-ABC中，PA = PB = PC =底,AC = AB = 2,且AC_LAB,那么该三棱锥外接球的外表积为（）A. 47rA. 47rB. 87rC. 167D. 9兀.答案 D 解析 由题意，点P在底面上的射影M是CB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O,-AC = AB = 2,且 ACLAB,.MB = MC = MA =拒,又：PA = PB = PC =屈,:.PM =6-2=2a如图在直角三角形O3M中，OB2=OM2+BM2 ,即R2 =2 + （2 H）2,，R =二，那么该三棱锥外接球的 2o外表积为44店=4 x = 9万.4.体积为石的正三棱锥。-43C的外接球的球心为O,假设满足函+砺+反=0,那么此三棱锥外接球的半径是（）A. 2B. V2C. 2D.班.答案 D 解析 正三棱锥O-ABC的外接球的球心O满足砺+巫=加，说明三角形ABC在球。的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R,棱锥的底面正三角形A3。的高为竺，底面三角形ABC 2的边长为GR,正三棱锥的体积为正x（ 6K）2xR = g ,解得R3=4,那么此三棱锥外接球的半径是R .正四棱锥PABC。的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为地，假设该正四棱锥的体积为2,那么此球的体积为（）124 兀625兀500兀2567rA