2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第三章 3.1函数及其表示（word含答案解析）

1、31函数及其表示(教师独具内容)1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域2体会区间表示集合的简洁性和优越性，重点是函数的概念、函数的表示法及定义域和值域的求法，特别是理解抽象函数的定义域与值域，理解分段函数的概念及其应用3重点提升数学抽象、数学运算和数学建模素养(教师独具内容)1函数的定义域、值域问题在高考中一般不单独考查，但常会和函数的单调性、奇偶性等结合考查2对于函数的表示方法，要求在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解

2、析法)表示函数，理解函数图象的作用3对于分段函数，从近五年的全国卷来看，多与函数的零点、解不等式结合考查(教师独具内容)(教师独具内容)1函数及其有关概念(1)函数的定义域、值域：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 eq o(,sup3(01)定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 eq o(,sup3(02)值域(2)函数的三要素： eq o(,sup

3、3(03)定义域、 eq o(,sup3(04)值域和 eq o(,sup3(05)对应关系(3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且 eq o(,sup3(06)对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数注：两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同2函数的三种表示法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 eq o(,sup3(01)解析法(2)一般地，将函数yf(x)，xA中的自变量x和对应的函数值y分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F(x，y)|yf(

4、x)，xA这就是说，如果F是函数yf(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系yf(x)；反之，满足函数关系yf(x)的点(x，y)都在函数的图象F上用图象表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 eq o(,sup3(02)图象法(3)列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 eq o(,sup3(03)列表法3分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有 eq o(,sup3(01)不同的对应关系，则称其为分段函数注：关于分段函数的三个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义

5、域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交1(2022抚顺市雷锋高级中学高三月考)已知函数f(x) eq f(1,x)，则f(x1)()A eq f(2,x1) B eq f(1,x1) C eq f(2,x) D eq f(1,x1)答案D解析依题意f(x1) eq f(1,x1).故选D.2(2022银川唐徕回民中学高三月考)f(x) eq blc(avs4alco1(x22x，x0，,x，x0，)则f(3)()A3 B3 C0 D6答案A解析30，f(3)32233.故选A.3(2022福建省厦门第六中学高三月考)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0

6、y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析对于A，当x(0，2时，在集合N中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；对于B，根据函数的定义，本选项符合题意；对于C，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意故选B.4(2022广东广州高三月考)已知集合A2，1，0，1，2，Bx|y eq r(x24)，则AB()A2 B2，2C2 D1，0，1答案B解析对于集合B，x240 x2或x2，即B(，22，)，则AB2，2故选B.5函数f(x) eq blc(avs4alco1(x26

7、，x1，2，,x7，x1，1），)则f(x)的最大值和最小值分别为()A8，6 B10，8 C10，6 D10，7答案C解析由题意得，当1x2时，7f(x)10；当1x1时，6f(x)4，所以B不符合题意；对于C，因为y2x22x2 eq r(2x22x)4，当且仅当2x22x，即x2x，x1时取等号，所以ymin4，所以C符合题意；对于D，当0 x1时，ln x0，yln x eq f(4,ln x)2，所以f( eq r(6)642，所以f(f( eq r(6)f(2)1a3，解得a2.3(2020北京高考)函数f(x) eq f(1,x1)ln x的定义域是_答案(0，)解析由题意得 e

8、q blc(avs4alco1(x0，,x10，)x0.函数的定义域为(0，).一、基础知识巩固考点函数的概念例1(2021安阳模拟)设集合Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下列四个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A. BC D答案C解析图象不满足函数的定义域，不正确；满足函数的定义域以及函数的值域，正确；不满足函数的定义例2下列各组是同一个函数的是()Af(x)x22x1(xR)，g(s)s22s1(sZ)Bf(x)x1，g(x) eq f(x21,x1)Cf(x) eq r(x2)，g(x) eq blc(avs4alco1(x，x0，,x，x0时，每一个x的值对应两个不同

9、的y值，因此不是函数图象；中，当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象；中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象故选B.2(2021上海嘉定区期末)已知函数f(x) eq f(x,x1)(x1)，g(x) eq f(x1,r(x)(x2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)|f(x)|g(x)， eq f(G（x）,f（x）)|g(x)|，学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一个函数，乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一个函数，丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一个函数，观点正确的学生是_答案甲解析因为f(x) eq f(x,x1)(x1)，g(x) eq f(x1,

10、r(x)(x2)，所以|f(x)| eq blc|rc|(avs4alco1(f(x,x1)(x1)，F(x) eq blc|rc|(avs4alco1(f(x,x1) eq f(x1,r(x) eq r(x)(x2)， eq f(G（x）,f（x）)|g(x)|， eq f(G（x）,f(x,x1) eq blc|rc|(avs4alco1(f(x1,r(x)(x2)，解得G(x) eq r(x)(x2)，所以F(x)G(x) eq r(x)(x2).故观点正确的学生是甲研究一个函数，首先要看函数的三要素：定义域、对应关系和值域考点函数的定义域例3(2021湘潭模拟)函数f(x) eq r(

11、254x2)ln (ex1)的定义域为_答案 eq blc(rc(avs4alco1(0，f(5,2)解析由f(x) eq r(254x2)ln (ex1)，得 eq blc(avs4alco1(254x20，,ex10，)解得0 x eq f(5,2)，所以f(x)的定义域为 eq blc(rc(avs4alco1(0，f(5,2).例4(2021河南高三期末)设函数f(x) eq r(3x1)ln (4x)的定义域为A，函数g(x)x2x1的值域为B，则AB_(结果用区间表示).答案 eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，4)解析由f(x) eq r(3x1)ln (4x)

12、得 eq blc(avs4alco1(3x10，,4x0，)解得 eq f(1,3)x4，则A eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，4)，g(x) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2) eq f(3,4) eq f(3,4)，当且仅当x eq f(1,2)时取“”，则B eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)，所以AB eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，4).3.(2021安徽省舒城中学高三月考)已知函数f(x)log2x的值域是1，2，则函数(x)f(2x)f(x2)的定义域为()A eq r

13、(2)，2 B2，4 C4，8 D1，2答案A解析因为f(x)的值域为1，2，即1log2x2，所以2x4，所以f(x)的定义域为2，4，所以(x)f(2x)f(x2)应满足 eq blc(avs4alco1(22x4，,2x24，)解得 eq r(2)x2，所以(x)的定义域为 eq r(2)，2.故选A.4(1)已知函数yf(x2)的定义域为1，4，求函数yf(x)的定义域解yf(x2)中，1x4，3x26，故函数yf(x)的定义域为3，6.(2)已知函数yf(2x)的定义域为0，1，求函数yf(x1)的定义域解yf(2x)中，0 x1，02x2，函数yf(x1)中，0 x12，1x1，函

14、数yf(x1)的定义域为1，1.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发，求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助数轴，注意端点值的取舍(2)如果函数yf(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域，如果函数yf(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(3)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)1)解析(换元法)令 eq f(2,x)1t，得x eq f(2,t1)，因为x0，所以t1，所以f(t)lg eq f(2,t1)，即f(x)的解析式是f(x)lg eq f(2,x1)(

15、x1).(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_答案f(x)x2x3解析(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以 eq blc(avs4alco1(4a4，,4a2b2，)所以 eq blc(avs4alco1(a1，,b1，)所以所求函数的解析式为f(x)x2x3.(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，则f(x)的解析式为_答案f(x)2x解析(解方程组法)f(x)2f(x)2x，将x换成x得f(x

16、)2f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.5.(2022河北正定中学高三月考)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq r(x)1，则f(x)()A eq f(r(x),3) eq f(2,3)(x0) B eq f(2r(x),3) eq f(1,3)(x0)C eq r(x)1(x0) D eq r(x)1(x0)答案B解析因为f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq r(x)1，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)2f(x) eq r

17、(f(1,x)1，联立，解得f(x) eq f(2r(x),3) eq f(1,3)(x0).故选B.6已知二次函数f(x)满足f(2x1)4x26x5，则f(x)_答案x25x9(xR)解析解法一(换元法)：令2x1t(tR)，则x eq f(t1,2)，所以f(t)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(t1,2) eq sup15(2)6 eq f(t1,2)5t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR).解法二(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR).解法三(待定系数法)：因为f(x)是二次

18、函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以 eq blc(avs4alco1(4a4，,4a2b6，,abc5，)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,b5，,c9，)所以f(x)x25x9(xR).求函数解析式的四种方法考点分段函数例6(2021安徽省泗县第一中学高三月考)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(log2（x1），x2，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup15(x)1，x1，则x0的取值范围是()A(，0)(2，)B(0，2)C(，

19、1)(3，)D(1，3)答案C解析若f(x0)1，可得当x01，解得x01，解得x03.则x0的取值范围是(，1)(3，).故选C.例7(2021泰安模拟)已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(log3（x1）2，x0，,f（x3），x0，)则f(2022)_答案2解析根据题意，当x0时，f(x)f(x3)，所以f(2022)f(03674)f(0)，f(0)log3(01)22，所以f(2022)2.7.(2021山东青岛模拟)已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(x23x1，x0，,ex，x0，)则不等式f(3a1)f(a2)2的解集为()A eq blc(rc

20、(avs4alco1(，f(1,2)1，)B eq blc(rc(avs4alco1(，f(3r(5),2) eq blcrc)(avs4alco1(f(3r(5),2)，)C eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)D eq blcrc(avs4alco1(f(3r(5),2)，f(3r(5),2)答案A解析因为a20，所以f(a2)2(ea2)2e2a2f(2a2)，所以f(3a1)f(a2)2，即f(3a1)f(2a2)，画出f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)在R上单调递减，所以3a12a2，即2a23a10，解得a1或a eq f(1,2).故选A.8(2021

21、山西太原三中模拟)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(x21（x2），,log2x（0 x2），)若f(m)3，则f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)m)_答案1解析当m2时，m213，所以m2或m2(舍去)；当0m0，,ln x0，)所以 eq blc(avs4alco1(2x1，,x0，,x1，)所以0 x1.故选C.2已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(2x1，x1，,2x4，x1，)则f(f(1)()A0 B eq f(3,4) C eq f(5,4) D4答案C解析由题意知f(1)2142，所以f(f(1)f(2)221 eq f(

22、5,4).3已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(ex，x0，,ax2，x0，)若f(f(0)1，则a的值为()A1 B0 C1 D2答案A解析因为f(f(0)f(e0)f(1)a(1)21，所以a的值为1.4已知函数f(x)的定义域为(0，2，则函数f( eq r(x1)的定义域为()A1，) B(1，3C eq r(5)，3) D(0， eq r(5)答案B解析由0 eq r(x1)2，得1x3.5已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为()A2 B2C2或2 D eq r(2)答案B解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x eq oal(sup3(2),

23、sdo1(0)4，解得x02.当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x eq oal(sup3(2),sdo1(0)4，无解，所以x02.6(2021东营模拟)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(x，x1，R，,2x，x1，)若对任意的aR，都有f(f(a)2f(a)成立，则的取值范围是()A(0，2 B0，2C2，) D(，2)答案C解析当a1时，2a2，所以f(f(a)f(2a)22a2f(a)恒成立当a0，,logsdo9(f(1,2)（x），xf(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)答案C解析当a

24、0时，af(a)得log2alog eq f(1,2)a，所以2log2a0，可得a1；当a0，由f(a)f(a)得log eq f(1,2)(a)log2(a)，所以2log2(a)0，即0a1，即1a0.综上可知，1a1.故选C.8已知f(x) eq blc(avs4alco1(（12a）x3a，x0，,ln 112a3a，)所以 eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,a1，)所以1a0且a1)答案CD解析A项和B项中两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，C项和D项中两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数故选CD.三、填空题11.已知函数f(x)的图象如图所示，

25、则函数g(x)log eq r(2)f(x)的定义域是_答案(2，8解析要使函数有意义，需f(x)0，由f(x)的图象可知，当x(2，8时，f(x)0.12(2022河南南阳一中月考)已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(3log2x，x0，,x2x1，x0，)则不等式f(x)5的解集为_答案2，4解析当x0时，令3log2x5，即log2x2log24，解得0 x4；当x0时，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，所以2x0.所以不等式f(x)5的解集为2，4.13定义新运算“ eq avs4alco1()”：当mn时，m eq avs4alco1()nm；当mn时，

26、m eq avs4alco1()nn2.设函数f(x)(2 eq avs4alco1()x)x(4 eq avs4alco1()x)，x1，4，则函数f(x)的值域为_答案2，0(4，60解析由题意知，f(x) eq blc(avs4alco1(2x4，x1，2，,x34，x（2，4，)当x1，2时，f(x)2，0；当x(2，4时，f(x)(4，60，故当x1，4时，f(x)2，0(4，60.14具有性质：f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)的函数f(x)我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：f(x)x eq f(1,x)；f(x)x eq f(1,x)；

27、f(x) eq blc(avs4alco1(x，0 x1.)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号).答案解析对于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(1,x)xf(x)，符合题意；对于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(1,x)xf(x)，不符合题意；对于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq blc(avs4alco1(f(1,x)，0f(1,x)1，)即f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq blc(avs4alco1(f(1,x)，x1，,0，x1，,x，0 x1

28、，)故f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)，符合题意综上，满足“倒负”变换的函数是.四、解答题15已知f(x) eq blc(avs4alco1(f（x1），2x0，,2x1，0 x0，求实数a的值解(1)由题意，得f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2 eq f(1,2)12.(2)当0a2时，由f(a)

29、2a14，得a eq f(3,2)，当a2时，由f(a)a214，得a eq r(5)或a eq r(5)(舍去).综上所述，a eq f(3,2)或a eq r(5).16已知函数f(x)x2mxn(m，nR)，f(0)f(1)，且方程xf(x)有两个相等的实数根(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x0，3时，求函数f(x)的值域解(1)因为f(x)x2mxn且f(0)f(1)，所以n1mn，所以m1，所以f(x)x2xn.因为方程xf(x)有两个相等的实数根，所以方程xx2xn有两个相等的实数根，即方程x22xn0有两个相等的实数根，所以(2)24n0，所以n1.所以f(x)x2x1.(2)由(1)可知f(x)x2x1.此函数的图象是开口向上，对称轴为直线x eq f(1,2)的抛物线，所以当x eq f(1,2)时，f(x)有最小值f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(2) eq f(1,2)1 eq f(3,4)，因为f(0)1，f(3)32317，所以当x0，3时，函数f(x)的值域为 eq blcrc(avs4alco1(f(