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1、垂线定理及其逆定 理 99419三垂线定理及其逆定理知识点：.三垂线定理；.三垂线定理的逆定理;.综合应用；教学过程：.三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：PA,PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影，a求证：a PO ；证明:说明:(1)线射垂直（平面问题）线斜垂直（空间问题）；(2)证明线线垂直的方法:定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理;(3)三垂线定理描述的是PO斛线）、AO酎影）、a（直线）之间的垂直关系。(4)直线a与PO可以相交，也可以异面。(5)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直

2、线垂直的判定定理。例1.已知P是平面ABC外一点，PA ABC, AC BC。求证：PC BC o例2.已知PA 正方形ABCD所在平面，。为对角线BD的中点 求证：PO BD,PC BD。例4.在正方体ACi中，求证：AC BiDi,ACBCi ;.写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性;命题：已知：求证：证明：说明：例2.在空间四边形ABCDfr,设AB CD, AC BD求证：(1) AD BC;(2)点A在底面BCDt的射影是 BCD的垂心；例3.求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上已知：P求证：说明：可以作为定理来用例5.已

3、知：Rt ABC中， A ,AB 3,AC 4, PA是面ABC的斜线, 2PAB PAc 。 3求PA与面ABCff成的角的大小；(2)当PA的长度等于多少的时候，点 P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上;作业:.正方体 ABCD AiBiCiDi , E,F 分别是 AA,AB 上的点，ECi EF .求证：EF EBi o.已知：PA 平面PBC , PB PC,M是BC的中点。求证：BC AM ;.填空并证明：(1)在四面体ABCDK对棱互相垂直,则A在底面BCD的射影是底面BCD勺 心。(2)在四面体ABCm，AR AC、AD互相垂直，则 A在底面BCD1的射影是底面BCD的 心(3)在四面体ABCm，AB=AC=AD则A在底面BCD1的射影是底面BCD的 心。(4)在四面体ABC时，顶点A到BG CD DB的距离相等,则A在底面BCD上的射影是底面BCDW 心。.正方体ABCD A1B1cl D1中棱长a ,点P在AC上，Q在BC上，AD B岸a,(1)求直线PQ与平面ABC所成角的正切值；(2)求证：PCLAD.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，设E是棱AA1上的点，且A1E: EA 1:2, F是棱AB上的 点，C1EF -0 求 AF: FB。.点P是 ABC所在平面外一点，且 PAL平面 ABC若。和Q分别是A ABC和A PBC的垂 心，试证：OQL

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