相似三角形知识点与习题

1、(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形强调：当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应边的比叫做相似比强调：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的相似比

2、，当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似强调：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE；（双A型）这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到 “

3、见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，1=2=3，求证：ABCADEABCDEF第4题例2、如图，E、F分别是ABC的边BC上的点，DEAB,DFAC ,求证：ABCDEF. 判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似例1、ABC中，点D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD与ABC相似吗？说说你的理由例2

4、、如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形。（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB？（2）当ACPPDB时，求APB的度数。判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似强调：有平行线时，用预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似例1、已知：如图，在正方形ABCD中，

5、P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP例2、如图,ABBD,CDBD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、如图ADAB于D，CEAB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对。例4、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB强调：由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用

6、判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）如图，可简单记为：在RtABC中，CDAB，则ABCCBDACD补充射影定理。特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和

7、其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对

8、应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角（3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：（1）平行型：（A型，X型）（2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，

9、如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B=D(或C=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋转某一角度而形成的强调：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。2、如图27-

10、2-1-12,在大小为44的正方形方格中,ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个A1B1C1,使A1B1C1ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.图27-2-1-12练习题相似三角形的判定AEDCBO1.如图，锐角的高CD和BE相交于点O，图中与相似的三角形有 （ ）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个2.如图，在中，BD平分，试说明：ABBC = ACCD 3.已知：ACB为等腰直角三角形，ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，ECF=1350 求证：EACCBF4.已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD.5.、

11、如图，点C、D在线段AB上，且PCD是等边三角形.(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ACPPDB；(2)当PDBACP时，试求APB的度数.6.如图，（1）吗？说明理由。（2）求AD的长。7.已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE2=EDEP.8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE与ADF相似吗？说明理由.(2)AEF与ABC相似吗？说说你的理由.9.如图，D为ABC内一点，E为ABC外一点，且1=2，3=4.(1)ABD与CBE相似吗？请说明理由.(2)ABC与DBE相似吗？请说明理由.10.已知:如图,CE是Rt

12、ABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE2=EDEP.相似三角形提高训练一填空题（共2小题）1如图所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF2如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_二解答题（共17小题）3如图所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求证：4如图所示，ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证：5一条直线截ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F求证：6如图所示P为ABC内一点，过P点作线

13、段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d7如图所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF8已知：P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：9如图所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN10P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）求证：11如图所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交BA延长线于E，交

14、DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB12已知P为ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如图所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB14如图所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH15已知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PMQM求证：PQ2=PB2+QC216如图所示在ABC中，ACB

15、=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC17如图所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2=PAPC（提示：设法证明PABPBC）18已知：如图，ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1求证：CEAD19如图所示，ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值20.在ABC中，ABC=124求证提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为，

16、利用相关定理将两个个比通分即：2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2小题）1如图所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF考点：平行线分线段成比例专题：计算题分析：由于BC是ABC与DBC的公共边，且ABEFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF解答：解：在ABC中，因为EFAB，所以EF：AB=CF：CB，同样，在DBC中有EF：CD=BF：CB，+得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得x：6+x：9=1，解得x=故EF=厘米点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质

17、进行计算2如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若AB=a，AD=c，BE=b，则BF= 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：计算题分析：首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：EFBEOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值解答：解：取AB的中点M，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OB=OD，OMADBC，OM=AD=c，EFBEOM，AB=a，AD=c，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案为：点评：此题考查了平行四边形的性

18、质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17小题）3如图所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求证： 考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题：证明题分析：过D引DEAB，交AC于E，因为AD平分BAC（=120），所以BAD=EAD=60若引DEAB，交AC于E，则ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标解答：证明：过D引DEAB，交AC于EAD是BAC的平分线，BAC=120，BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，EA=ED=AD由于DEAB，

19、所以CEDCAB，=1由，得=1，从而+=点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证CEDCAB是解题的关键4如图所示，ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证： 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：证明题分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB在EIH中，由于DFIH，=IH=AB，=，从而，=1+在OED与OBH中，DO

20、E=BOH，OED=OHB，OD=OB，OEDOBH（AAS）从而DE=BH=AI，=1由，得=2点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题5一条直线截ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F求证： 考点：三角形的面积专题：证明题分析：连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证明：如图，连接BE、AD，BDE与DCE等高，=，DCE与ADE等高，=，ADF与BDF等高，=，AEF与BEF

21、等高，=，=，=1点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比6如图所示P为ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题：计算题分析：由FGBC，HICA，EDAB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得IHBAFGABC，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求+=2，从而有+=2，再把DE=FG=HI=d，A

22、B=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可解答：解：FGBC，HICA，EDAB，四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，IHBAFGABC，=，=，+=，又DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，DE+AF+BI=2（AI+IF+FB）=2AB，+=2，DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，+=+=2，+=2，解得d=306点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质7如图所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且

23、EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF考点：平行线分线段成比例分析：由平行线的性质可得=，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长解答：解：ADBC，EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=OE+OF=15点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题8已知：P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可解答：证明：在平行四边形ABCD中，则ADBC，ABCD，=1点评：本题主要考查了平行四边形的性质以

24、及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握9如图所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN考点：相似三角形的判定与性质；梯形专题：计算题分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长解答：解：MNBC，在ABD中，=，即OM=，同理ON=，MN=OM+ON=点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握10P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）求证：考点：平行线分线段成比例专题：证明题分析：（1）由平行线可得PIFCAB，得出对应线段成比例

25、，即=，同理得出=，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同解答：证明：（1）DEAB，IHAC，FGBC，可得PIFCAB，=，同理=，+=+=1（2）仿（1）可得=，=，+=+=1点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论11如图所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB考点：相似三角形的判定与性质；梯形专题：计算题分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段AB、CD

26、与AE、CJ的关系，进而可求解结论解答：解：ABCD，EF=FG=CH=HI=IJ，=，=，=，DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ，AB：CD=：5=1：2点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握12已知P为ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2 考点：平行线分线段成比例专题：证明题分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即PBC+PAC+PAB=ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解（

27、2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设，即3ADPD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论解答：解：（1）由面积概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC整理等式得：+=1，由面积概念得：=，=，=，即=同理得：=把式、代入式得：；（2）由，知，中至少有一个不大于，不妨设即3ADPD而AD=AP+PD，AP2PD，2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如图所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求

28、证：EFAB考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质专题：证明题分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而EFAB解答：证明：过B作BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于HAE是BAC的平分线，BAE=CAEBGAC，CAE=G，BAE=G，BA=BG又BDAG，ABG是等腰三角形，ABF=HBF，F到AB与BH的距离相等，SABF：SHBF=AB：BH，SABF：SHBF=AF：FH，AB：BH=AF：FH又M是BC边的中点，且BHAC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，AB：AC=AF：FHAE是ABC中BAC的平分线，AB：AC

29、=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AMMF）=（BM+ME）：（BMME）（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME在MEF与MAB中，EMF=AMB，MEFMABABM=FEM，所以EFAB点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H和利用合分比定理14如图所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质专题：证明题

30、分析：要证QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ与DHC相似解答：证明：在RtPBC中，BHPC，PBC=PHB=90，PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，=，由已知，BP=BQ，BC=DC，=，=ABC=BCD=90，PBH=PCB，HBQ=HCD在HBQ与HCD中，=，HBQ=HCD，HBQHCD，BHQ=DHC，BHQ+QHC=DHC+QHC又BHQ+QHC=90，QHD=QHC+DHC=90，即DHHQ点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法15已

31、知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PMQM求证：PQ2=PB2+QC2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理专题：证明题分析：以M点为中心，MCQ顺时针旋转180至MBN，根据旋转的旋转可得MCQ与MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形对应角相等可得，MBN=C，再连接PN，可以证明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明解答：证明：如图，以M点为中心，MCQ顺时针旋转180至MBN，MCQMBN，BN=QC，MN=MQ，MBN=C，连接PN，PMQM，PM垂直平分NQ，PN=PQ，ABC

32、是直角三角形，BC是斜边，ABC+C=90，ABC+MBN=90，即PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，PQ2=PB2+QC2点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键16如图所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定专题：证明题分析：由题中条件可得AC=AF，即ACF是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出ECF=EFC，结论得证解答：证明：ACB=90，CDAB，CAD=BCD，

33、又AE平分CAB，CF平分BCD，BCF=CAE，B=ACD，B+ECF=B+BCF，即ACF=AFC，又AE平分CAB，AC=AF，CE=EF，即ECF=EFC，EFC=BCF，即EFBC点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握17如图所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2=PAPC（提示：设法证明PABPBC）考点：相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：用APB=APC=120，CBP=BAP两个对应角相等证明PABPBC，根据相似比可证到结论解答：证明：APB=120，ABP+BAP=60，又ABC=60，ABP+CBP=60，CBP=BAP，又APB=APC=120，ABPBCP，=，BP2=PAPC点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用