§8多元函数微分法及其应用习题与答案

1、 # 第八章多元函数微分法及其应用A题 # #1、填空题1)设fx,y)=x2,y2,x2y2y),y2 # # # #2)设z=x+y+f(x一y),且当y=0时，z=x2,则z二3)设f(x,y)=x2-arctany-y2arctan,贝y()ydx(0,y)4)设z=1，x,I,x2，y)，若已知：当x二0时，z二ln(y2),则dz二 # # # #设z二f(x,y),由z5，xz4，yz3二1所确定，则f6,0)=x设z=y+ln彳，则在点M6,1,1)的法线方程为20曲面x2,2y2,3z2=12上点G,-2,1)处的切平面方程为8)设f(x,y,z)=x,y2,xz，则fG,y

2、,z)在G,0,1)沿方向了=2了-2了，花的方向导数为2、下列函数的定义域并图示111)z=+x+yx-y2)x1-x2-y2 3、求下列各极限1一Ay1)lim-a,y)(o,i)a2,y22)lim2一厂+4(a,y)(0,0)Ay3)lim(x,y)(2,0)yy2,2x4、问函数Z在何处间断.y2一2x5、求下列函数的偏导数u2,v21)suv,C0S22)zsinx3)zlntany4)uxzx2y26、曲线f=4在点6,4,5）处的切线对于x轴的倾角是多少?y=47、设fCy)=X+(y-1)arcsin求f(x,1).x8、d2zd2zd2z求下列函数的_,厉,顾y1)z=ar

3、ctanx2)zyx #9、求下列函数的全微分1)yx2y2 # # # #2)U=Xyz10、求函数z=当x=2,y=1,=0.01,y=0.03时的全增量和全微分.x2y211、计算6.02、+6.93、的近似值.12、已知边长为x=6cm与y=8cm的矩形，如果x边增加5cm而y边减少10cm，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 13、x,z,z设Z=U2lnV，而U,V=3X2y,求,-T-y,x,y14、设zarcsin匕-y,而x=3t,15、eax(y-z.，而yaSinx,a21duzcosx,求一；一.dx16、求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）1）UfC2-

4、y2,exy2)uxy,xyz17、设zf(3xxy,cosy丿,求求，z # 2zy2I2z2z18、设z二fx2,y2丿，其中/就有二阶导数求亦,隔2z2z2z19、求下列函数的亦，跖，吝（其中f具有二阶连续偏导数）1) # # # #2)z=fC,x,y丿,其中u=xey # # 3)z=fbinx,cosy,ex,yxzzz20、设一=ln，求=及亍.zyxy21、设z，zG,y)由方程FCz,x2)，0确定，求dz.22、设x，x(y,z),y，y(x,z),z，z(x,z)都是由方程F(x,y,z)，0所确定的具有连续dxdydz偏导数的函数，求d-页dx-23、设2sin(x+2

5、y-3z)=x+2y-3z，计算+二.dxdy24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数dydz1)设x+y+z，1求dIx2+y2+z2，1dzx，eu+usmvdu-u-v-v2)设求，Ty，eu-ucosv-x-y-x-y25、求曲线y22mx,z2m-x在点gyo,z）处的切线和法线方程.26、求出曲线xt,y12,z=t3上的点，使在该点的切线平行于平面x2yz=4.27、求椭球面x2+2y2+z21上平行于平面x-y2z=0的切平面方程.28、求函数zx2+y2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（,23）的方向的方向导数.29、求函数ux2+y2+z2沿曲线xt，y=t2，z=t

6、3在点（1,1,1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.30、设f6,y,z)x2+2y2+3z2+xy+3x一2y一6z求gradf(0,0,0)及gradfG,1,1).31、问函数uxy2z在点P（1,-1,2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数f（x,yLe2人y22y丿的极值.33、求函数zxy在适合条件x+y=1下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a元，侧面造价为每平方米b元,现用A元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36

7、、在平面xoy上求一点，使它到x0，y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.1、填空题1)arcsm*2+y2)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)设fGy)sinx2y设z，其定义域为 # #xy0已知函数zfvx+y,x-y)x2y2，则丁oxdyTOC o 1-5 h z函数fx,y,z)Z，则df)Iy丿)fx,y)在点(x,y)处可微分是f(x,y)在该点连续的的条件，f,y)在点Cx,y)处连续是fG,y)在该点可微分的的条件zf(x,y)在点(x,y)的偏导数$及匸存在是f(x,y)在该点可微分的条件由方程xyz+x2+y2+z22所确定的函数z

8、z(x,y)在点(1,0,，1)处的全微分为处的值为xo2u设ue-xsin，贝y在点 HYPERLINK l bookmark4yoxoy设z3+y(ax+y)，f，具有二阶连续导数，则釜13x2+2y212c小由曲线1c绕y轴旋转一周得到的旋转面在点b,3,2z0外侧的单位法向量为曲面x3+y3+z34上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为 #y2+z2 # #y2+xz，则fG,y,z)在G,0,1)沿方向“2“2“+“的方向 # 导数为2、求函数fx,y)=(力”)的定义域，并求limf(x,y).hi-yz=e-kn2tcosnx丿(x,y中03、证明：lim（x,y）T（0,0）

9、xy # # #4、证明下列极限不存在1）limx2y2Cr,y）T（0,0）x2y2（x，y）22）lim-（x,yL（0,0）x2y45、求下列函数的偏导数1)z=60上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.2、求函数u二x+y+z在球面x2y2z2二1上点g，yo,zo)处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设l=(cos,sin),求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)处沿方向l的方向导数,并分别确定角，使这个导数有最大值最小值等于022、证明：曲面F(x-az,y-bz)=0上任意点处的切平面与直线-=壬=z平行(a，b为ab常数).TOC o 1-5 h

10、 zuvwu2v2w223、求平面一xyz=1的三截距之积在条件一+厂+二1之下的最小值.a2b2c2a2b2c21)24、经过2,1,厅的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是I3丿多少？25、抛物面z二x2y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.1、讨论函数fC,y)=)in(x,y)h(0,0)/在3,0丿点处的连续性，偏(x,y_(0,0)2+y2丿smx2y20 # #导数存在性，可微性.2、tan2x丿y，求害及孑.exoy3、设z_zCy)由方程z2_xyf(y,z)所确定，求|，I及釜-4、设z=z(x,y)由方程z二x2+

11、Jyxet2dt所确定，求，字zoxoy5、设y=/G,而t是由方程F(,y,0所确定的x，y的函数，其中/，F都具有OfOFOfOFdy_OxOtOtOx6、一阶连续偏导数，试证明：dxOfOFOF+OtOyOt设u_f(x,y,z，9C2,ey,z_0，y_sinx,其中f，都具有一阶连续偏导数,7、Iu_x2yO2zO2zO2zO2z设变换v_x+ay可把方程6亦而示_0转化为議_0，求常数a-8、求椭球面X22y23z2二21上某点M处的切平面”的方程，使”过已知直线L: # x一6y一32z一1飞1一T9、求函数z二x2-xy,y2在区域|x|+|y|0,x-y0)2)tx,yy-x

12、0,x0,x2+y20,x2+y202)z_xylcos(xy-sin2xy)”,竺二x“cosxy)-sin2xyy1()cc3、1)12)43)24、x,yy2-2x-0s1vs1-u5、1)_uvu2，vuv2 # # #TOC o 1-5 h zz22xz2x2x3)_csc,_-cscxyyyy2yuy-1u1牛uy亠14)_xz,_xzlnx,_xzlnxxzyzzz26、7、fx,1)_14x8、1)2z_/2xy、2z_/2xyx2x2+y2y2x2+y22z_y2-x2xyx2+y2-=yxln2y,=x(x-1)yx一2,，dy2，9、1)dz(ydxxdy)2)dz=yz

13、xyz1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdz2y2210、Az0.02,dy=0.0311、2.9512、5cm13、=兰ln(3x-2y)+y23x23x214、dz=dt13t4t316、1)dudx17、18、19、2)dzdxdu(3x-2y)y2dydu15、=eaxsinxdxdu=2xf1SA，祁=一2yf1+曲叭竺=f+yf+yf,色=xf+xf,色dx1“2八3,dy3dz3xf-f(3x一y,cosy)=x2d2z-=4x2f”+2f,dx2d2zdxdy=4xyf，1)戛=f+-fdx211y22d2zy222Qxdy/+1广12y22丿竺=兰广+兰fdy2y32

14、y422dz=xe2yf+eyf+xeyf+f+eyfdxdyuuyuxuxyu=fx2e2y+f+f+f)xey+fdy2uuuyuyuyyd2z3)=ex+yf一sinxf+cos2xf+2ex+ycosxf+e2(x+y)f”dx231111333224 #224 2zex,yf一cosxsinyf”,ex,ycosxf”一ex,ysinyf”,e2(x,y)f”xy312133233ex+yfcosyf+sin2yf”2ex+ysinyf”+e20+y)f”33222323、21、dzdxy-z石x-ydyz-xdzx-y-cosvsinvueutinv-cosv)+1yeutinv-

15、cosv)+1cosveuivsinv+euyuStinv-cosv)+1xu*eu(sinv-cosv),120、22、24、25、26、28、30、3132、34、x-x切线方程：z-z01y02z0法线方程：(x-x)+(y-yy02z0-z)00P1(-1及P(13927丿27、切平面方程：x-y,2z1129、7614224 #224 #224 #224 #gradf(0,0,0)3-2-6k，gradf(1,1,1)6+3gradu2了-4j+k是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为|gradu|21极小值：f(,-1(11)33、极大值：z亍厅V22丿224 #224 #

16、224 #224 #x=y=长宽3aa2b3a 23、 #35、当长，宽都是32k，而高232k为时，表面积最小36、(816,5污丿 #23、 # #23、 #B解答及提示1、填空题1)x,yx2+y21,y02)f(0,1)=13)2x-2yx4)dx-dy5)充分，必要6)必要7)dz二dx-2dy兀,8)-e丿9)別Z=yf”(xy)+(x+y)+ay(x+y)xy2、3、4、110)52,3)11)64,y)0“x2+y2“1,y24x提示：xy证明下列极限不存在12)I(1,2,-2)2ln4513)3x2y21)lim)x”0 x2y2+x-y)2x=yx2y2=0 x”ox2y

17、2+(x-y)2y=2xlim #23、 # #23、 #5、1)竺=y2(L+xy)y-1x=G+xy)ylnG+xy)+xy1+xy-2)3)zz=-kn2e-kn2tcosnx=-ne-tsinnxtx()(22k2+y2k2+y2zxiz二exx2+y2xyz3二exyyyx2y丿2(x2+y2)(x2+y2)xy2丿xy2k2)lim=y”ox2+y4k2+1x=ky2求下列函数的偏导数 #23、 #6、提示：(0,0)处的偏导数应按定义求 #23、 C,y)=C,y)=_x2xy3)x2+y2丰02+y22,0 x2C2y2)c)x2+y2丰02+y20 #23、 # 23、 #1

18、0、dudxlx=fi+yf2)1+yb11、d2zdxdy=-2广+g12x+g2+xyg2213、x=eucosv提示：由解出Iy=eusinvu=u(x,y)v=vx,y)再解x=eucosv一.或者由直接分别求对于x,对于y的偏导数，通过解关于Iy=eusinvdxQuQudxdyQvQv,dududvQv或dx，dy的万程组解出东，dy，dx，dy14、d2u提示：将匕，n看作中间变量通过复合函数偏导数运算求得新方程为気=015、d2z=2y2zez-2xy3z-y2z2ezdx2z-xy17、-1g)21，-1丿-fg，221竺=g1金+fJ18、提示：切向球法平法切线方程：口=Z

19、z!=L-1，切线万程：169-1 #23、 # #23、 #法平面方程：16x+9y-z-24=020、21、22、dudlx,x0,df=cos0+sin0a)0=b)0=5dl，丿44提示：令G(x,y,z)=F(x-ay,y-bz),已知曲线在任意点处的法向量即为、=x0+y0+z0处沿球面在该点的外法线方向的方向导数0y05z0c)0=3或744 #23、 # #23、 n=g,g,gxyz”（）a2b2c2u2v2w2_提示：考虑孔,v,w）=在条件茨+药+7T=1之下的最小值由拉格朗日乘数法得最小值为33abc1D624、提示：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,问题即求：V2

20、二在条件36A2B2C22A+B+3C+D=0下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：x+2y+6z一60，最小体积是3,Zx2+y225、提示：问题可看作d2x2+y2+z2在条件下的最值,Ix+y+z1 #23、 # 23、 #解：x2+y2+z2+九2+y2)+u1)求得最长距离为：9+53，最短距离为：9-53C解答及提示1)因为02)3)2+y2)sinlim|x2+y0由夹逼准则知:xT0yt0limxT0yt02+y2lin10,又因f(0,0)0,所以f(x,y)在(0,0)处连续x2+y2根据定义f(x,y)在(0,0)处的偏导数为:(x-sin广(0,0)limf6+x,

21、0)-f(0,0)lim巫=0 xxT0 xxT0 x同理可得f(0,0)0yzf(0+x,0+y)f(0,0)Lx+(y1sin1(x)2+(y)2f(0,0)x+f(0,0)y+Ax+(y1xyEx+(y1sin(、】()-(xb+(yb门而lim()()0 xt0vAx)2+vAy)2yt0丿所以f(x,y)在(0,0)处可微分1sin(x)2+(y)21、解：两边取对数有：lnz-1丄Intan4 两边对x求偏导有：-冒_zOx1ysec2yxtanx故孑_Oxx2tan2,x丿丄-iyysec2x同理：Oz_-Oyy2y,亠丿lntan+tanX丿xyy-1ysec2xOzOz2、解

22、：两边分别对x求偏导有：2z_1+f,故Ox2OxOx2z-f2OzOzOz1+f同理由：2z_1+f1+f，得：_一丁Oy12OyOy2z-f2Oz1O2z对方程=_两边同时求y的偏导有：_Ox2z-fOxOy2dz2Oz,将咯=斗代入上式有:Oy2z-f2O2z_OxOy1+f1+f,2-f-ff2z-f21222z-f丿z-广丿2-2-2f+2f”一ff+f+f广1212丫122221(z-fj24、解：方程可表示为：z_x2+fy-xet2dt-Jxet2dtaa(a为任意常数)对方程两边求x的偏导数有:_2x+e(y-x(1)ezOxOzOx，所以字=Ox4xz一2ze(y-x2，2

23、z+ez同理得字=2Oy2ze(y-x2z+ezOF5、由题意可知:dt_dxdxOF，dt_dyOF等，由y_f,t(x,y),两边对x求导有: # #OtOt #4 ddxdxdtQxdtdydydx丿，得：dydxdfdfdt+dxdtdx1_dfdt_dtdy #4 #将上面偏导代入即得结果6、解：dudxdfdfdydfdz+dxdydxdzdxdy易见一=cosxdx #4 # #4 #由甲V2,ey,z厶0，对方程两边求x的导数有:dz八心dz2xp+eycosxp2x卩+eycosxp+p=0，得一二一12123dxdxp37、解法dzdzdzdxdudv竺=_2竺+a竺dxd

24、udv #4 # #4 #d2zdx2竺+2注+空du2dudvdv2I6+a_a2=0依题意a应满足：门,a=310+5a丰0解法二：将z视为以x，y为中间变量的u，v的二元复合函数,x=y=av2va+2_uva+2dxa从而d=0Z2dx=ady=_1dva+2dua+2由题意可得dy=1dva+2TOC o 1-5 h z注=4竺_4a空+a2注dx2du2dudvdv2江=_2亡+(a_2)空+a空dxdydu2dudvdv2将上述结果代入原方程，经整理后可得(10+5a归+(6+a_a2止=0dudvdv2 #4 # #4 #竺=竺竺*竺空=丄竺一丄竺dudxdudydua2dxa

25、2dyd2zdudvad2zdx+dxdydy丿1d2zdxa2dx2dva2dxdydvd2zdy、dy2dv丿 #4 # #4 #d2zdy22ad2z+a-2d2z1(a+2)2dx2G+2dxdyG+2 4 #代入上式得Ia一3=01故a=3a+2丰0Q2zQ2zQ2zQ2z厂Q2zQ2z依题意6+=0，即=6+Qx2QxQyQy2Qy2Qx2QxQyd2z=2a6d2z+a3d2z令d2z=。得QuQva+22Qx2a+22Qx*QuQv #4 # #4 #8、解：令Fy,z)=x2+2y2+3z2-21,F2x，Fxy=4y，F=6z椭球面在点z #4 #即xx+2yy+3zz=2100因为平面兀过直线L,故直线L上任意两点,(1)如点6,3,斤，V2丿0,0,2丿应满足平面