常数项级数的审敛法42764

1、 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 任意项级数的敛散性预备知识： 1. 单调有界数列必有极限。2. 收敛数列必有界。3. 级数收敛与发散的定义4. 级数的性质正项级数及其审敛法第二节 常数项级数的审敛法1一、正项级数及其审敛法正项级数：部分和数列 单增：证.正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.定理1.若 有界,则 级数 收敛。反之，若级数收敛，则即有界,1).若收敛, （比较审敛法）设2).若发散, 定理2.收敛; 则发散.则1).若收敛, 则 2由比较审敛法知, 该级数发散。例1 讨论P-级数的收敛性, 其中常数解有当时，而调和级数发散，例如, 级数故原级数发散。发散,而推论1若存

2、在自然数N, 使得当和都是正项级数, 设成立,nN 时,1).则收敛;2).成立,发散.则收敛,若发散, 若2).若发散, 由于 3考虑级数其部分和当时，有则对于上述级数收敛。由比较审敛法知, p-级数当 p1 时收敛。级数当时收敛;当时发散.结论4例如,发散;收敛.例2. 判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散。收敛,故原级数收敛。推论2为正项级数,设则级数收敛;2)如果则级数发散.1)如果有 p1, 使5注: 用比较审敛法判断正项级数的敛散性: 1)若要判断该级数收敛,需要找一个比该级数大的收敛的级数与它进行比较; 2) 若要判断该级数发散,需要找一个比该级数小的发散的级数与它进行比较

3、.6证.对存在自然数 N,当 nN 时,有由比较审敛法知结论成立.解取因发散,故原级数发散。例3. 判别级数的敛散性:定理3.设为正项级数,若（比较审敛法的极限形式）则的敛散性相同。与无用7例4 判别级数的敛散性.解 而级数收敛,故原级数收敛.取例5. 判别级数的敛散性。解收敛,故原级数收敛.取另解:8注: 用比较审敛法的极限形式判断正项级数的敛散性: 1)若要判断该级数收敛,需要找一个收敛的级数与它进行比较; 2) 若要判断该级数发散,需要找一个发散的级数与它进行比较.设为正项级数,定理3（比较审敛法的极限形式）3) 1) 的敛散性相同。与2) 9解:级数收敛.级数发散.例6 判别级数的敛散

4、性:级数收敛.定理4.设正项级数当时,级数发散;当时,比值审敛法（达朗贝尔判别法）级数收敛;当时，敛散性不定。10=1时,比值审敛法失效, 必须用其他的方法来判别. 如下例例7 判别级数的敛散性.比值审敛法失效11例8. 判别级数的敛散性:解.级数收敛.收敛,故原级数收敛.故原级数收敛.收敛,12例9. 判别级数的敛散性:解.级数收敛。级数收敛.定理5.设正项级数当时, 发散;当时,根值审敛法（柯西判别法）级数收敛;当时, 敛散性不定。13小结：正项级数及其审敛法正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.（比较审敛法）定理2.定理1.定理3.（比较审敛法的极限形式）定理4.（比值审敛法）定理5.

5、（根值审敛法）14二、交错级数及其审敛法交错级数：或证单增且有上界,定理6.若满足:则级数收敛,且其和 其余项 (莱布尼茨定理) 分析： 级数收敛 15故 证毕例10. 判定级数的敛散性:解所以级数收敛. 所以级数收敛.16三、任意项级数的敛散性则称为绝对收敛.1).若收敛,2).若收敛,但发散,则称为条件收敛.例如,条件收敛;绝对收敛.任意项级数：为任意实数.证设收敛,令由正项级数比较审敛法知收敛.由性质知,收敛. 证毕定理7 绝对收敛,若级数必定收敛.则级数171).逆命题不成立.即收敛的级数未必绝对收敛.2).若由比值审敛法或根值审敛法判定发散,则可以断定发散.注意例9. 判定级数的敛散性, 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?解因收敛,故原级数绝对收敛.发散,收敛,且为条件收敛。18原级数发散.小结：