新教材新高考一轮复习北师大版 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案

1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课程标准考情分析 核心素养 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义2020年新高考第3题考查了组合计数和乘法原理；2021年新高考()卷和()卷都未考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理逻辑推理数学运算教材回扣夯实“四基”基础知识两个基本计数原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N_种不同的方法完成这件事共有N_种不同的方法依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事

2、推广完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法【微点拨】(1)分类加法计数原理中，完成一件事的各种方法是相互独立的从集合角度看，如果完成一件事有A，B两类方案，集合A与B的交集为空集，在A中有m1个元素(m1种方法)，在B中有m2个元素(m2种方法)，则完成这件事的不同方法的种数即为集合AB的元素个数，即m1m2.(2)分步乘法计数原理

3、中，必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事，各个步骤之间不重复、不遗漏基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()2在分类加法计数原理中，每类方案中的每种方法都能独立完成这件事()3在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()4在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()题组二教材改编53个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法种数为()A243 B125C128 D2646有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不

4、同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成_种不同的信号题组三易错自纠75位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种(用具体数字作答)86名同学争夺3项冠军，不同的结果有_种(用具体数字作答)题型突破提高“四能”题型一分类加法计数原理 例1(1)算盘是中国古代的一项重要发明现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为()A16 B15C12 D10(2)已知直线方程AxBy0，若从0、1、2

5、、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则AxBy0可表示_条不同的直线听课记录类题通法使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则巩固训练1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种 D20种(2)甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种题型二分步乘法计数原理例2(1)2022湖北宜昌模拟如图，某市由四个县区组成，现在要给

6、地图上的四个区域染色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有()A64 B48C24 D12(2)某种旅行箱的密码锁由三个数字组成(每个位置上的数字可从09这10个数字中任选一个)小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为_听课记录类题通法使用分步乘法计数原理的原则(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤(2)将完成这件事划分几个步骤完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基

7、础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数巩固训练2(1)2022广东汕头模拟在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有()A12种 B24种C64种 D81种(2)2022重庆朝阳中学模拟甲、乙、丙、丁四人准备到A、B、C、D四座城市旅游，每人只到其中一座城市旅游若A、B、C三座城市为低风险城市，D为中风险城市，且规定疫苗接种未成功的人不能到中高风险城市，接种成功的人不受限制，已知这四人中只有丁疫苗接种还未成功，则这四人到这四座城市旅游共有_种安排方法题型三两个计数原理的综合应用 例3(1)2022辽宁沈阳

8、模拟用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为()A81 B48C36 D24(2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种听课记录类题通法1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤2涂色问题常用的两种方法巩固训练3(1)某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有()A12 B13C14 D15(2)2022山东肥

9、城模拟某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长甲、乙、丙、丁分别来自A、B、C、D四个地区现在该新闻采访组要到A、B、C、D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同则所有采访的不同安排方法有_种第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理教材回扣夯实“四基”基础知识mnmnm1m2mnm1m2mn基本技能、思想、活动经验12.3.4.5解析：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步乘法计数原理可得，不同的选法有55

10、5125(种)故选B.答案：B6解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号，根据分类加法计数原理，共可组成392739种不同的信号答案：397解析：由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5位同学共有222222532种不同的报名方法答案：328解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63216(种)答案：216题型突破提高“四能”例1解析：(1)由题意，拨动三枚算珠，有4种拨法：个位拨动三枚，有2种结果：3、7；十位拨

11、动一枚，个位拨动两枚，有4种结果：12、16、52、56；十位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果：21、25、61、65；十位拨动三枚，有2种结果：30、70.综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为244212.故选C. (2)当A0时，可表示1条直线；当B0时，可表示1条直线；当AB0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5420条不同的直线由分类加法计数原理，知共可表示112022条不同的直线答案：(1)C(2)22巩固训练1解析：(1)分两种情况：4位朋友中有2个人得到画册，有C426(种)赠送方法；4位朋友中只有1个人得到画册，有C414(种)赠送方法由分类加法计数

12、原理，得不同的赠送方法共有6410(种)故选B.(2)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式，由分类加法计数原理可知共有336(种)传递方式答案：(1)B(2)6例2解析：(1)先染有4种染法，有3种染法，有2种染法，有2种染法，所以不同的染法种数有432248.故选B.(2)因为09中的质数为2，3，5，7，共有4个数字；09中奇数为1，3，5，7，9，共有5个数字；09中偶数为0，2，4，6，8，共有5个数字，故由分步乘法计数原理可知，他可选择的不同密码的个数为455100.答案：(1)B(2)10

13、0巩固训练2解析：(1)根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有44464种，故选C.(2)丁疫苗接种还未成功，即丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，则共有3444192种安排方法答案：(1)C(2)192例3解析：(1)根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有222216个；数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有422232个，故有163248个四位数

14、，故选B.解析：(2)方法一由题图可知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，所以最少可用3种颜色，故可根据选用颜色的种数进行分类第1类，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区同色，可分三步进行涂色：第1步，涂2区与4区，有4种颜色可选；第2步，涂3区与5区，有3种颜色可选(除涂2区、4区的颜色)；第3步，涂1区，有2种颜色可选(除前2步所选的颜色)由分步乘法计数原理知，该类涂色方法共有43224(种)第2类，使用4种颜色，2区与4区同色，3区与5区不同色，可分4步进行涂色：第1步，涂2区与4区，有4种颜色可选；第2步，涂1区，有3种颜色可选；第3步，涂3区

15、，有2种颜色可选；第4步，涂5区，有1种颜色可选由分步乘法计数原理可知，该类涂色方法共有432124(种)第3类，使用4种颜色，3区与5区同色，2区与4区不同色，同理可得该类涂色方法共有24种综上，由分类加法计数原理可知，不同的涂色方法共有24242472(种)方法二因为1区与其他4个区都相邻，首先考虑1区，有4种涂法若2区与4区同色，有3种涂法，此时3区与5区均有2种涂法，涂法种数为432248；若2区与4区不同色，先涂2区，有3种方法，再涂4区，有2种方法，此时3区与5区都只有1种涂法，涂法种数为4321124.因此，满足条件的涂色方法共有482472(种)答案：(1)B(2)72巩固训练3解析：(1)由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有224种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法故此