2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的平面势流

1、流体力学的平面势流 一、均匀等速流二、点源和点汇 三、点涡流函数在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:若定义某一个函数（流函数） 令: 平面不可压缩流体流函数的基本性质1、等流函数线为流线当 常数时即：（7-39）,流体通过两流线间单位高度的体积流量等于两条流线的流函数之差在xy平面上任取A和B点，AB连线如图7-12所示，则（AB为使 与 同号） 不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋的还是无旋的流动，只要是不可压缩（或定常可压缩）流体的平面（或轴对称）流动，就存在流函数。 图7-12 流量与流函数的关系 由不可压缩流体、平面、无旋流动条件有： 将速度和流函数的关系代入上式

2、得 在极坐标系中： 故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方程，也是调和函数。（7-40）（7-41） 速度势函数和流函数的关系 对于不可压缩流体的平面无旋流动，速度势函数和流函数都是调和函数，且具有以下关系：该数学关系式称为柯西黎曼（CauchyRiemen）条件 。由它可得：两族曲线的正交条件。在平面上它们构成处处正交的网络，称为流网 。【例】已知不可压缩流体平面势流，其速度势 ，试求速度投影和流函数。【解】由速度势可求得速度分量 ，由速度和流函数的关系 ，将速度代入流函数的关系式积分得 将上式对求偏导数，并考虑速度和流函数的关系则有：上式对积分，得：代入原式有：物理背景 全流场

3、以等速( U )做平行直线流动速度分布势函数流函数 均匀等速流 均匀等速流流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。例如 ，其中 为常数，便是这样的流动。由于积分得 : （7-43a）由于 积分得 （7-43b）在以上二式中均取积分常数为零（下同），这对流动的计算并无影响。显然，等势线 与流线 是相互垂直的两族直线，如图7-13所示。若已知来流速度 与x 轴的夹角 ，则有: 由于流场中各点的速度相同，流动无旋，故处处有 常数 ，即在流场中各点的总势能保持不变。若是水平面上的均匀等势流，或者不计重力的影响（例如大气），则p =常数，即压强在流场中处处相等。图

4、7-13 均匀等速流（7-43d）（7-43c） 点源和点汇 无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源，这个点称为源点；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇，这个点称为汇点。不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度，即图7-14 源流和汇流 (a)(b)根据流体的连续性原理，在极坐标中流体流过任意单位高度圆柱面的体积流量 （也称为源流或汇流的强度）都相等，即 上式中点源取正号，点汇取负号。根据上式， 只是 的函数，所以 积分得以上讨论表明，当 时， ，源点和汇点是奇点，以上 和 只有在 0时才有意义。流函数和速度的关系为:（7-44a），因此， 只 是 的函数，故有 上式积分得根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心圆，即 =常数；流线为不同极角的径线，即 =常数。 在水平面 面上，对半径 处 和无穷远处列伯努利方程 代入速度值后由上式可知，压强随着半径的减小而降低。零压强处的半径为 。 以上各式仅适用于 的区域。（7-44b）（7-44c）点涡若直线涡束的半径 ，则垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由