点差法求解中点弦问题

1、 点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线点差法求解中点弦问题和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。定理 1 】 在椭圆2 x2 ab21 ( a b 0)中，若直线l 与椭圆相交于M、 N两点，点P(x0, y0) 是弦MN的中点，弦MN所在的直线l 的斜率为k MN ，则kMNy0b2证明：设M、N 两点的坐标分别为(x1 , y1 ) 、

2、x02.a22x1y1a(x2,y2)，则有ab21,(1)x22y221.(2)b(1) (2)，22x1x2 y12y2b20.y2y1y2y1b2x2x1x2x1.又MNy2y1x2x1定理2】 在双曲线22 aba 0， b 0)中，若直线弦 MN的中点，弦MN所在的直线 l证明：设M、(1) (2)，得又kM定理y1 y22yx1 x22xkMN ，则kMN y0 x0l 与双曲线相交于b2y. kMN x2.a22x1y1b2N 两点的坐标分别为(x1 ,y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有22x2y222abM、b22. aN 两点，点P(x0 , y0 ) 是1,(1)1

3、.(2)2x1x22 y12y2b20. y2y1 y2x2x1x2y1x1b22. ay2y1y1y22y0 x2x1x1 x2 2x0y0ky0. kMNb2x0 x02. a3】 在抛物线y2 2mx(m 0) 中，若直线l 与抛物线相交于M、 N两点，点P(x0, y0) 是弦MNMN所在的直线l 的斜率为kMN ，则kMN y0m.证明：设M、 N 两点的坐标分别为(x1 ,y1) 、 (x2 , y2 ) ，则有2y12mx1 ,(1)2y22mx2.(2)22y2y1(1) (2) ，得y1y2 2m(x1x2).(y2y1) 2m.x2x1y2 y1又kMN, y2 y1 2y

4、0 . kMN y0 m .x2 x1注意：能用这个公式的条件：（ 1）直线与抛物线有两个不同的交点；（ 2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x y 1 内一点P（2,1）作一条直线交椭圆于A、 B 两点，使线段AB 被 P 点平分，求此直线的16 4方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为y 1 k（x 2），代入椭圆方程并整理，得（4k21）x28（2k2 k）x4（2k1）2160，（*）又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1 、 x2 是 （*） 方程的两个根，x1 x2 8 2k k .4k2 1x1 x2 4 2k2 k1 P 为弦 AB 的中点，22

5、 2.解得k2，所求直线的方程为x2y40.法二：设直线与椭圆交点为A（x1， y1）， B（x2， y2）， P 为弦 AB 的中点，x1 x2 4， y1 y2 2.又A、B 在椭圆上，x214y1216，x224y2216.两式相减，得（x21x22）4（y12y22）0，y1 y2 x1 x21即 (x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0.2，x1 x24 y1 y2211即kAB2. 所求直线方程为y12（ x2） ，即x2y40.2、已知椭圆+=1 ，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程P（ x， y） ， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） P 为

6、弦 AB 的中点，x1+x2=2x， y1+y2=2y则+=1 ， =1 ， 得，=3，整理得：x+y=0 ，解得 x= 所求轨迹方程为：x+y=0 （ x） P 的轨迹方程为：x+y=0 （ x b 0) ，则a2 b2=50又设直线3x y 2=0 与椭圆交点为A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，弦AB 中点（x0， y0）x0= ，代入直线方程得y0= 2=，0AB 的斜率 k=?=?=3=1 ，a2=3b2联解 ，可得a2=75， b2=25，椭圆的方程为：=1 故答案为：=12 x4、 例1（ 09 年四川） 已知椭圆2a2y21（ a b 0） 的左、 右焦点分别为F

7、1、 F2， 离心率 e 2 ， HYPERLINK l bookmark0 o Current Document b22右准线方程为x 2 .（ ） 求椭圆的标准方程；2 26（ ） 过点F1 的直线l 与该椭圆相交于M、 N 两点，且| F2M F2 N |，求直线l 的方程 .3解： （）根据题意，得c ea2a2,x2a 2,b 1,c 1 . 所求的椭圆方程为y21 .2xc2.F1（ 1,0） 、 F2（1,0） . 设直线 l 被椭圆所截的弦MN的中点为 P（x, y） . 由 平 行 四 边形法则知：2 26F2M F2N 2F2P . 由|F2M F2N |得 ：3| F2P

8、 |326 . (x 1)2 y226. 9若直线 l 的斜率不存在，则l x轴，这时点P 与 F1 ( 1,0) 重合， | F2MF2N | | 2F2F1 | 4，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由 kMN y b 得： y y 1 .y21 (x2 x). TOC o 1-5 h z x a2 x 1 x 22 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 126代入，得(x 1)2(x2 x).整理，得：9x2 45x 17 0 .29172解之得：x ，或 x .331721y由可知，x 不合题意. x ，从而 y . k1.333x1所

9、求的直线l 方程为 y x 1 ，或 y x 1 .6、 ( 2009 秋 ?工农区校级期末)已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的M ，则点 M 的坐标为x1， y1) ， ( x2， y2) ，则两式相减，得=0， （y 1y2）（y1+y2）=3（x1x2）（x1+x2），= 3，因为直线斜率为3，=3，所以中点x= ，x1 +x2=1 ，3= 31 （ y1 +y2） ，M 坐标为(，) 故答案为：(，)为焦点且过点7、如图，在D ，点Rt DEFDEF 90 ,| EF | 2,| EF ED | 52C：22x y 1 ，以 E 、 F a2 b2O 为坐标原点。C

10、 的标准方程；C 交于不同的两点M 、 N 且 | MK | | NK | ，若点 K 满足， 问是否存在不平行于EF 的直线 l 与椭圆|MK | |NK|，设 MN 的中点为H，则 KH MN ，此条件涉及到弦MN 的中点及弦MN 的斜率，故用“点差法”设 M (x1, y1 ), N(x2 ,y2 ), H (x0, y0) ，直线l 的斜率为 k ( k 0) ，2222则 3x12 4y12 12 3x22 4y22 12 由得：3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)03x04y0k0 又 |MK | | NK |， 则 KH MN ， 1y0 2 k 1x0从 而 解

11、 得x0 2k,y0点H (x0, y0) 在 椭 圆 内 ， 则2 x02y013k214111 k 1且 k 0 x8、 已知 AB 是椭圆 x2 a2by21 a b 0 不垂直于x轴的任意一条弦，P 是 AB 的中点， O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线 OP 的斜率之积是定值.证明设 A x1, y1 , B x2, y2 且 x1x2 ，则x12a2y1121，b2212 得：2 x1y1y21)x2y2b21( 2)2x222y1y2b22bx1x2x1x2 a2 y1y2y1y2kABx1x22bx1x2a2 y1y2又kOPyx11xy22b21a2 kOPb2kAB

12、kOP2 (定值).a双曲线1 、过点 P(4,1)的直线2l 与双曲线x4 y2 1 相交于A、 B 两点，且P 为 AB 的中点，求l 的方程24 y221，两式相减得：2 解析 设A(x1，y1)， B(x2， y2)，则41 y12 1 ，14(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0， P 为 AB 中点， x1 x2 8， y1 y2 2.y2 y1 1，即所求直线l 的斜率为1， l 方程为y1 x 4，即x y 3 0.x2x1 22、设A、 B 是双曲线x2 y2 1 上的两点，点N（1,2）是线段 AB 的中点，（1）求直线 AB 的方程；（2）如果线段

13、AB 的垂直平分线与双曲线交于C、 D 两点，那么A、 B、 C、 D 四点是否共圆？为什么？分析 要证明A、 B、 C、 D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、 B、 C、 D 四点共圆，则CD 垂直平分AB，据圆的性质知，圆心在直线CD 上， CD 中点 M 为圆心，只要证明|AM| |MB| |CM| |MD |即可解析 （1）依题意，可设直线AB 方程为y k（x 1） 2，2 x2y21得 （2 k2）x2 2k（2 k）x （2 k2） 2 0yk（x1） 2，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1、x2是方程 的两个不同的实根，所以2k 0.2k（2 k）x1 x2 TO

14、C o 1-5 h z x1 x22 .由N（1,2）是AB 的中点得， 1.2 k2即k（2k）2k2.解得k1， 直线 AB 的方程为yx1.y x 1，由2y2得x22x3 0，解得x13，x21.x 2 1，A（3,4）， B（ 1,0） CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为yx 3.2由 x2 y2 1， 得 x2 6x 11 0.yx 3，设C（x3，y3），D（x4，y4），CD 的中点为M（x0，y0）由韦达定理，得x3x46，x3x411.从而x0 2（x3 x4） 3， y0 x0 3 6.| CD| （x3x4） 2（ y3y4）2）2（ x3x4）

15、 22（ x3x4）24x3x4410，|CM|MD |210.|MA|MB|（x0 x1）2（y0y1）22 10. A、 B、 C、 D 四点到 M 的距离相等，所以A、 B、 C、 D 四点共圆23、已知双曲线的方程为x2 y2 1.试问：是否存在被点B（1,1）平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由分析 易判断出点B（1,1）在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90 .2解析 解法一：设被B（1,1）所平分的弦所在的直线方程为y k（x 1） 1，代入双曲线方程x2 y2 1，得 （k2

16、2）x2 2k（k 1）x k2 2k 3 0. 2k（k 1） 2 4（k2 2）（k2 2k 3）0.3解得k2.故不存在被点B（1,1）所平分的弦解法二：设存在被点B 平分的弦MN，设M（x1， y1）、 N（x2， y2）22 y1 x1 2则x1 x2 2， y1y2 2，且22y2x221，1.1y1 y2 得（x1x2）（x1x2）2（y1y2）（y1y2）0.kMN2，故直线2x1 x2MN ： y 1 2（x 1）y 1 2（x 1），y2消去 y 得，2x2 4x 3 0， 80，即 k20，y20由 y= x2， 得 y=x 过点P的切线的斜率k=x1，1直线 l 的斜率

17、kl=，直线l 的方程为yx12=（ x x1） ， 联立 消去y，得x2+x x 12 2=0 M 是 PQ 的中点x0=， y0= x1 2（ x0 x1） TOC o 1-5 h z 消去x1，得y0=x02+1（x00）， PQ中点 M 的轨迹方程为y=x 2+1（x0） 2方法二：设P（x1，y1） 、Q（x2，y2）、 M（x0，y0），依题意知x10，y10，y20由y= x ， 得 y =x 过点P 的切线的斜率k 切 =x 1，直线l 的斜率kl=，直线 l 的方程为yx1 2=（ x x1） 方法一：联立 消去 y，得x2+x x12 2=0M 为 PQ的中点，22x0=，

18、y0=x1（x0 x1） 消去x1，得y0=x0 +1（x00） ， PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x 2+1 （ x 0） （）设直线l： y=kx+b，依题意k0， b 0，则 T（ 0， b） 分别过P、 Q 作 PP x 轴， QQ x 轴， 垂足分别为P、 Q， 则=y= x2， y=kx+b 消去 x，得y2 2（ k2+b） y+b2=0 则 y1+y 2=2（ k2+b） ， y1y2=b2y1、 y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2， +） 125、例（05 全国文22）设A（x1 ,y1）, B（x2 , y2）两点在抛物线y 2x2上， l 是 AB的垂直平分线

19、TOC o 1-5 h z x1 x2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论.x11,x23时，求直线l 的方程 .2111解： （）xy，p ,F （0, ） . 设线段 AB 的中点为P（x0, y0） ，直线 l 的斜率为k ，则248x1 x22x0. 若直线 l 的斜率不存在，当且仅当x1 x20 时， AB 的垂直平分线l 为 y轴，经过抛物线的焦点 F. 若直线 l 的斜率存在，则其方程为y k(x x0 )y0， kAB.00k111由 x0 p 得：kx0，x0.kAB44k111若直线 l 经过焦点F，则得：kx0y0y0， y0，与y0 0相矛盾 .80040

20、040当直线 l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当x1x20 时，直线l 经过抛物线的焦点F.x11,x23时，A(1,2), B( 3,18), x0 x1 2x21,y0y12y210.1 x0 kAB1p 得： k4所求的直线1l 的方程为y (x 1) 10 ，即 x 4y 41 0.4若抛物线y2 4x上存在关于直线y kx 3(k 0)对称的两点,求 k的取值范围.解 : 设 A x1,y1 ， B x2 , y2 是抛物线上关于直线y kx 3 k 0 对称的两点,则设AB的中点px0, y0.y1y2y1y24x1x2,kABy1y2x1 x222y14x1,y2 4x2,421y1y22y0 y0ky02k 又y0 kx0 3,x0k点 p在抛物线内部,-2k 2 4 2 3 ,32k即 k2 3