一、氢原子在T=0时刻处于状态

1、ft量子力学自测题（15）参考答案一、（20分）氢原子在t=0时刻处于状态式中为氢原子的第n个能量本征态。(1)(2)计算归一化常数C=?计算t=0时能量的取值概率与平均值;(3)写出任意时刻t的波函数y/侦,D。（1）利用归一化条件|/1于是归一化后的波函数为侦)+认侦）+?）+辱侦）（2）氢原子的能量本征值为pe4 1E =2Tr rr依题意知，能量的可能取值与相应的取值概率为 TOC o 1-5 h z 条= ：3EW(E.) = -18A238而能量的平均值为袒加g） = 一窟一告卜儡A盖（3）任意时刻t的波函数为材（R）= c,.（0）e厘 一;6/ 0（。=I /侦）ex.-；号:

2、w）exp +二、（20分）证明:（1）若一个算符与角动量算符，的两个分量对易，则其必与，的另一个分量对易;（2）在尸与二的共同本征态|血下，二与人的平均值为零，且当M=J时，测量与人的不确定性之积为最小。证明（1）设算符与角动量算符皆对易，即B J=lM=o利用角动量算符各分量之间的对易关系AAJ、=计订.L 、?M=*，同理可知，若算符户与角动量算符i加:皆对易，则算符忻必与二对易，于是问题得证。（2）在广与二的共同本征态下，二的平均值为） = *m |j+ + 顶_ 四） 由升降算符的性质可知于是有伽,伽）=0同理可证，算符二.在|JA/） F的平均值也为零。在态上，算符二.2的平均值为

3、w四)=*叫(顶+-j(J + l)-M2 扩 同理可得| J /1JM1 j (J +1) - M2 tr由不确定关系可知(AJ(AJj= W + l)* 扩 或者写为AJa -AJv =|j(J + l)-M2 Pi2 显然，当M=J时，上式取最小值，即0X .三、(20) 一个质量为的粒子，在如下的三维势场中运动0CO求粒子的能量和相应的本征函数。解定态薛定停方程为Tr6 -6 -b 亦 + 夺 + 尸 伊(x，)，Z)+ (*，北 Z)0，)，Z) = Ew(x, y, z) 2/ dx禽-dv)利用分离变量法，若令”(x,y,Z)=X(x)Y(y)Z (z)则有2/ dx2X(x)

4、+ *X(Q = )弟z5KZ= E_Z上述三个方程的解己经求出，能量本征值是E = Ex+Ey+E.=.,)2呻-w2 + k1dk 2)膈2泌-nr tr2“ a ib2)7勿)X+a 2 )（国弓）Yk(y) = NkHk(ay)e)-1 .”。-广其中,m、n=l,2,3：k=0, 1, 2。相应的各分量本征函数分别为2 . mn sina2F，荷(H7Tn/rSU1z +/I b2 )NU），e邳-仪广 z四、的态上,解z=最后，当x-Sz两个自旋为0粒子的总自旋量子数s=o, 1,其单态为2故体系处于单态的概率为W（S = 0） = |00= ? |（+十一 +1=HH+|iH一）

5、体系处于三重态的概率为1rw（s = i）=|=5f-l两者概率之和五、（20）分一个质量为，角频率为口。的线谐振子，受到微扰= fix2的作用。（1）用微扰论求能量的一级修正；（2）求能量的严格解，并与（1）的结果比较。解 （1）无微扰线谐振子的哈密顿算符方。满足其中能量的一级修正为瓦”=球地=啊弓=础邛）利用公式可以得到（m引）-珅间（牌）=2(-1)$,+ (2 +1)&,“ + J( + l)( + 2)3g能量的一维级修正为3+i)=S 眯能量近似到一级修正的结果为仆+?膈。f1 .P 11十1 2J)（2）为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符D P. 12 ， ，P.H = * +如。X-十时=*+