直角三角形中成比例的线段

1、 HYPERLINK 华夏教育资源库直角三角形中成比例线段(二)一、教学目的和要求.使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。.使学生会解直角三角形中，已知两个条件(至少一边)的题。二、教学重点和难点掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。三、教学过程(一)复习、引入直角三角形有哪些性质？一一由学生回答再归纳。(1)两锐角互余(2)勾股定理(3)斜边中线等于斜边一半(4) 30 口角所对的直角边等于斜边的一半(5)斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似(6)根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。(二)新课今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。我们知道 9BC中

2、，NACB =90、CD_LAB于D,这里可以得到三对相似三角形, 分别写出它们对应边的比例式。(见图1)CA DB图1AB AC BCABC ACD ,- AC AD CDABC CBD , AB = AC = BCBC CD BD ACD CBD ,任=CD =世 CB CB CD在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是 (1)中：AC2=AD AB (2)中BC2 =BD AB (3)中CD2=BD AD这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这 个结论在以后“圆”中运用

3、较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，(但注意不可直接使用)。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系 HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK HYPERLINK 华夏教育资源库分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。如图 2, CD 是 RtAABC 的斜边 AB 上的高，设 BC = a , CA = b , AB = c, CD = h ,AD =q, DB = p，用a、b、c、h、p、q表示图中的关系

4、。C TOC o 1-5 h z b / h、aq li p _DcB图2.勾股定理22a b = c222h2q2=b2一222(3)h2 p2 =a2.比例中项关系2 h - p q2a = p c = p(p q)_2(3)b = q c = q(p q).面积关系ab = ch2 p a.其匕 一二q b通过以上关系，我们可以分析出在 RtAABC的六条线段 a、b、c、h、p、q中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。例1 如上图CD是RtAABC的斜边AB上的高。(1)已知：a=3,b=4,求：h解： ACB =90 , CD-ABc 二，a - b2 =

5、 32 42 =5ab = chab12ab12 HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK HYPERLINK 华夏教育资源库注意：求h要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。(2)已知：b =5, h =3,求：c解：先求q利用勾股定理q 4vb2 - h2 =4,2b=q c TOC o 1-5 h z 442h2 9925、=P q, P,c = p q 4 =-)q444(3)已知：b =2 , p =3,求：h ,a分析：求h,必先知q；q与b、c有关，而c = p+q ,其中p是已知线段。 , 2，、解：b = q(q p)二

6、4 = q2 +3q (得到关于q的一元二次方程，只要含有一个未知数就 可解)二q1 = -4(不合题意，舍去)q2 =1h2 = p q = 3 h = . 3 2一一一 一a2 = p c = 3(3 1) a = 2 3练习：条件如例1(1)已知：p=25,h=60，求：q, a (144,65)(2)已知：a=3,p=1.8，求：c, h (5,2.4)60 25、(3)已知：a =5, c = 13，求：h , p (,)13 13(4)已知：a=20,q = 9,求：c, b(25,15)请同学们充分讨论。目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中 边的各种关系。例2

7、 已知：&ABC中，/BAC是直角，AD是高，AB = 2AC,求证：5AD = 2BC 分析：求证中是研究 AD与BC的关系，斜边BC与斜边上的高，AD不会有比例关系, HYPERLINK HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK 华夏教育资源库而 HYPERLINK 华夏教育资源库而 AD 与 DC, BD 有比例关系，且 BC = CD + DB,由于AB 2一 =_ ,所以可利用。AC 1ADB ACDA来求AD、BD、DC间倍数关系。图3证明：:/BAC是直角，AD是高ADB CDAADCdABACDBADCdABACDBDA=2-1DB = 2AD , CD = AD

8、 2BC = DB CD = 5 AD 25AD =2BC（三）小结直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况（即h2 = pq , a2 = qc , b2 = pc）。注意要使用这个关系时，还要再利用相似三角形对应边成比例证明一下。因为它不是定理。由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关 系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。一般情况下，若勾股定理或射影定理都 能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。（四）作业CD 是 RtMBC 的 斜 边 AB 上 的 高， 设BC =a,CA=b, AB=c,CD =h,AD = q, DB=p。(1)已知：c = 29 , p = 4 ,求 h和 b ；(2)已知：a =5 , h =4 ,求p和q ；(3)已知：a =10, p=6,求q和b； HYPERLINK 华夏教育资源库 HYPERLINK 华夏教育资源库(4)已知: