学生指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

1、一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）（3）其中， 3的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即： 若，则叫做的次方根， 例如：27的3次方根， 的3次方根，32的5次方根， 的5次方根说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根） 若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根； ；式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 4的次方根的性质一般地，若是奇数，则； 若是偶数，则5例题分析：例1求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）

2、解：略。例2已知 ， 化简：解：当是奇数时，原式 当是偶数时，原式所以，例3计算：解： 例4求值：解：（二）分数指数幂1分数指数幂： 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则， 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是； （2）正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3例题分析：

3、例1 用分数指数幂的形式表示下列各式： ， ， .解：=； =； =例2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）； （2）；解（1） = =； （2） =例3计算下列各式：（1） （2）解：（1）= =； （2）=（三）综合应用例1化简：.解：=. 例2化简：.解： 评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。例3已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），又由得，所以.（2）（法一），（法二）而， 又由得，所以.二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性

4、质： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例1求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4）说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2当时，证明函数 是奇函数。例3设是实数，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。即， 指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数

5、说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意 且 , 都有 ，同样：3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）2对数式与指数式的互换例如： 例1将下列指数式写成对数式：（1）； （2）； （3）； （4）3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10作底 写成 自然对数：以作底为无理数，= 2.71828 ， 写成 例2（1）计算： ， （2）求 x 的值：； （3）求底数：， 4对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）例3计算：（1）lg1421g； （2）； （3）5换底公式： ( a 0 , a 1 ；)说明：两个

6、较为常用的推论：（1） ； （2） （、且均不为1）例4计算：（1） ； （2） 例5已知，求（用 a, b 表示）例6设 ，求证：例7若，求四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。11（图2）11（图1）同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。 （3）对数函数性质列表： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+）上是增函数（4）在上是减函数例1求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。例2比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1