§3.2.2立体几何中的向量方法(5)及详解-向量法求二面角的大小

1、PAGE PAGE 10高二理科数学导学案班别： _学号： _姓名： _ 3.2立体几何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、学习目标1理解二面角的概念2掌握利用向量方法解决有关二面角的问题二、问题导学问题1：什么叫二面角？二面角的范围是什么？怎样用定义法求二面角的大小？问题2：已知平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l的大小与有何关系？ 问题3：怎样用向量方法求二面角的大小？步骤如何？三、例题探究例1如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库

2、底与水坝所成二面角的余弦值。变式：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2eq r(17)cm，则这个二面角的度数为_例2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，求二面角C1BDC的正切值.BACDS变式如图，在在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=eq f(1,2)，求面SCD与面SAB所成锐二面角的余弦值。例3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E

3、是PC的中点，作EFPB于点F（1）求证：PA平面EDB；（2）求证：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小四、练一练（时间：5分钟）1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2eq f(,3)，则二面角ABDC的大小为 ()A.eq f(,3) B.eq f(2,3) C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(,3)2在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为 ()A.eq f(r(15),6) Beq f(r(15),6) C.eq f(r(15

4、),3) Deq f(r(15),6)或eq f(r(15),6)3若两个平面，的法向量分别是m(1,0,1)，n(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_4已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3) ，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_5正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_【参考答案】3.2立体几何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、学习目标1理解二面角的概念2掌握利用向量方法解决有关二面角的问题二、问题导学问题1：什么叫二面角？二面角的平面角范围是什么？怎样用定义法求二面角的平面角的大小？0，问题2：已知平面与相交于

5、直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l的大小与的有何关系？ 问题3：怎样用向量方法求二面角的大小？步骤如何？【求二面角】平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l为或.设二面角大小为，则|cos|cos|eq f(|n1n2|,|n1|n2|).由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是0，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点探究1：方法提炼：求二面角大小的向量方法. 法向量法：将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 探究

6、2：方法提炼：求二面角大小的向量方法.方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 (在二面角的面内且垂直 于二面角的棱)的夹角.三、例题探究例1如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值。分析考虑二面角时，常要考虑它的平面角，由于向量可以平移，所以所求二面角的平面角就是图中直线AC,BD所成的角或它的补角（想一想，为什么？）因此，我们首先根据题设，用向量表示线段AC与BD的方向，然后利用向量的数量积求出这个角于是，立体几何中有关夹角的问题，可以转

7、化为有关数量积的问题通过例1，可以培养学生空间想象能力和转化的数学思想方法注意：1、教学中当完成本例的求解后，应引导学生从整体上认识：立体几何中的向量方法在本例中是如何具体使用的，以加深对一般解法的认识2、本例关系到二面角的大小，一个需要注意的细节是,的方向性，即它们的夹角应恰是二面角的平面角，而不是这个平面角的补角变式：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2eq r(17)cm，则这个二面角的度数为_ 【答案】60 解析设eq o(AC,sup6()，eq o(BD,sup6()，C

8、AAB，ABBD，eq blc(avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()0，eq o(CA,sup6()，eq o(BD,sup6()180，|eq o(CD,sup6()|2(eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()2|eq o(CA,sup6()|2|eq o(AB,sup6()|2|eq o(BD,sup6()|22|eq o(CA,sup6()|eq o(BD,sup6()|cos(180)(

9、2eq r(17)2624282268(cos)，coseq f(1,2)，60.因此，所求二面角的度数为60.例2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，求二面角C1BDC的正切值.【答案】eq f(5,3)【点评】若图中存在（或易找到）三条互相垂直的直线，通过建系，利用法向量求二面角比较方便.变式：如图，在在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=eq f(1,2)，求面SCD与面SAB所成锐二面角的余弦值。BACDS【答案】 BACDSyyx【点评】无棱二面角，可以考虑用向量知识求二面角的大小，将二面角的问

10、题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。BACDSM【思考】用几何法如何求解？怎样作出二面角的平面角？思路1：设BA与CD交于M，则SM是平面SCD与平面SAB的交线，即二面角的棱。注意到BC平面SAB，可以证明MSSB，MSSC，BSC就是CSMB的平面角，在RtCBS中，SB=eq r(2)AB=eq r(2)，SC=eq r(BC2SB 2)=eq r(3)，cosBSC=eq f(SB,SC)=eq f(r(2), r(3)

11、=eq f(r(6), 3).DBACSFE思路2：取BC中点E，SC中点F，连接DE、EF、DF，则面SAB/面SEF，所求二面角等于二面角CDFE的大小，CFE是CDFE的平面角，cosCFE=eq f(SB,SC)=eq f(r(2), r(3)=eq f(r(6), 3)。BACDS【变式】求面SAD与面SBC所成锐二面角的余弦值。思路1：向量法；思路2：几何法。过S作直线l/AD，则l/AD/BC，l/是二面角的棱，容易证明l平面SAB，故ASB就是所求二面角的平面角，不难求得ASB=90，故面SAD与面SBC所成锐二面角的余弦值为0.【引申】2010广东理科18（无棱二面角的求法）

12、例3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB于点F（1）求证：PA平面EDB；（2）求证：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小【答案】课本例题分析本题涉及的问题包括：判断直线与平面平行和垂直，计算二面角的大小，这些问题都可以利用向量方法解决已知条件中四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，所以非常适合建立空间直角坐标系表示向量用向量法通过计算解决证明和求角问题，通过求解，加强算中有证，以证助算，使学生体会向量方法在研究几何问题中的作用，以培养学生的逻辑思维能力及计算能力，体现了新课标的理念和要求最后应提出思考问

13、题：1、体会例3中的方法是把坐标方法与向量方法结合起来的，建立坐标系在解题中起了什么作用？2、用综合法怎样解例4，试比较综合法与例4中的方法3、如果是小题你还有什么好办法来既快又准确地求出二面角的大小？在讲解完三个例题后，可让学生归纳总结本节内容：1、二面角的定义是什么？要注意什么问题？2、常见的二面角的平面角的求解有几种方法？什么条件下用向量法比较好？目的：使学生养成归纳总结的习惯，不断提高自己的理性思维水平及反思构建能力四、练一练（时间：5分钟）1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2eq f(,3)，则二面角ABDC的大小为 ()A.eq f(,3

14、) B.eq f(2,3) C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(,3)解析只需搞清二面角的范围是0，答案C2在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为 ()A.eq f(r(15),6)Beq f(r(15),6) C.eq f(r(15),3) Deq f(r(15),6)或eq f(r(15),6).解析：选D.由eq f(0，1，3)(2，2，4),r(19)r(4416)eq f(212,r(10)r(24)eq f(r(15),6)，知这个二面角的余弦值为eq f(r(15)

15、,6)或eq f(r(15),6).3若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_答案60解析cosn，eq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2).n，120.4已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析eq o(AB,sup6()(1，2，0)，eq o(AC,sup6()(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由neq o(AB,sup6()0，neq o(AC,sup6()0知eq blc(avs4alco1(x2y0，,x3z0.)令x2，则y1，ze

16、q f(2,3).平面ABC的一个法向量为n(2，1，eq f(2,3)平面xOy的一个法向量为eq o(OC,sup6()(0，0，3)由此易求出所求二面角的余弦值答案eq f(2,7)5正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系设BC1，则A(0，0，eq f(r(3),2)，B(0，eq f(1,2)，0)，D(eq f(r(3),2)，0，0)所以eq o(OA,sup6()(0，0，eq f(r(3),2)，eq o(BA,sup6()(0，eq f(1,2)，eq f(r(3),2)，eq o(BD,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，0)由于eq o(OA,sup6()(0，0，eq f(r(3),2)为平面BCD的法向量设平面ABD的法向量n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)所以eq blc(avs4alco1(f(1,2)yf(r(3),2)z0，,f(r(3),2)xf(1,2)y0，)取x1，则yeq r(3)，z1，所以n(1，eq r(3)，1)，所以cosn，eq o(OA,sup6()eq f(