偏导数的几何意义

1、偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，以二元函数2=为例，如果只有自变量疋变化，而自变量y固定（即看作常量），这时它就是工的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z对于兀的偏导数,即有如下定义定义设函数J也口在点（心厲）的某一邻域内有定义，当y固定在而龙在牝处有增量心兀时，相应

2、的函数有增量血瓦讥十占瓦y-耽拜如果心山（1）存在，则称此极限为函数J=了氐P）在点（处对尤的偏导数，记做例如,极限（1）可以表为lim珮o+A瓦肌）-畑异Ax类似的，函数z=了（兀小在点（尬儿）处对卩的偏导数定义为记做dzy-ya如果函数列心戸在区域D内每一点（兀）处对兀的偏导数都存在，那么这个偏导数就是兀的函数，它就称为函数忑=金戸对自变量X的偏导函数，记做金，扳，耳咸人）类似的，可以定义函数工=（兀刃对自变量刀的偏导函数，记做&堂冠，鬲，幻咸心心）由偏导数的概念可知,也E在点氏旳处对X的偏导数了丄可兀）显然就是偏导函数人E）在点（%风）处的函数值,就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混

3、淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于求工=山丁）的偏导数,并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外dz一个自变量看作是固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问題求金时,只要把刀暂时看作常量而对X求导;求勿时，则只要把区暂时看作是常量，而对卩求导数.偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数例如三元函数=川兀刀习在点（忌2）处对X的偏导数定义为t+臥y,y，或1yl曲*心其中（兀“和是函数“畑曲的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求42的偏导数dz解玉=即涉=2x2cos偏导数的几何意义元函数忑=了（&刃在点肚带厲）的偏导数的几何意义设M心儿血必）为曲面=“加上的一点

4、，过点作平面厂几，截此曲面得一曲线，此曲线在平面戸二儿上的方程为工=了（兀兀）,则导数/E凡吨即偏导数人包以）,就是这曲线在甌点处的切线城專对需轴的斜率同样，偏导数曲的几何意义是曲面被平面x=x所截得的曲线在点处的切线陆对的斜率三偏导数的几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续这是因为各偏导数存在只能保证点p沿着平行于坐标轴的方向趋于p。时，函数值川鬥趋于/尿但不能保证点p按任何方式趋于p时，函数值了（已都趋于了（吒）例如，函数x十y2=兀P）=在点（o,o）对龙的偏导数为川岛皿+切一爪叽応“yxt

5、o心让百同样有I3Z但是我们在前面的学习中知道这函数在点（0,0）并不连续四二阶混合偏导数设函数r=/（兀刃在区域D内具有偏导数dz逐衽=石=f/.y)那么在d内人E）都是入*的函数如果这里两个函数的偏导数也存在，则它们是函数工=n的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：池3?二儿（兀刃=爲仏刃ddzd2zSt3ydydx二九（2）=/刃（兀刃其中第二，第三个偏导数称为混合偏导数九5333z护工例2设考-对-卩+1,求泰，卽液，卞，夕护JdZ从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等，即，沁=业勿我们再看用maple作求的图形53z第一个图形为喻第二个图形为阿从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理护J03Z定理如果函数Z=（3）的两个二阶混合偏导数切戲及*即在区域D里连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关3串Until1rd【1rJerwf-&EJ-&.比比空difrjrk、