新教材新高考一轮复习北师大版 11.7 二项分布、超几何分布、正态分布 学案

1、第七节 二项分布、超几何分布、正态分布课程标准考情分析核心素养.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特 征，并能解决简单的实际问题.了解超几何分布及其均值，并能解决简单 的实际问题.了解服从正态分布的随机变量，借助频率 直方图的几何直观，了解正态分布的特征.了解正态分布的均值、方差及其含义.2020年新高考未考 查二项分布、超儿何 分布、正态分布； 2021年新高考(H)中 第6题考查了正态分 布.数据分析 数学运算 逻辑推理教材回扣夯实“四基”基础知识l.n重伯努利试验与二项分布(l)n重伯努利试验把 只 包 含 两 个 可 能 结 果 的 试 验 叫 做 将一个伯努利试验独立地重复进行n次

2、所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(Op M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.【微点拨】超几何分布与二项分布的关系不同点联系P1708351835835170例3解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(2,/)，由对称性可知，P(X3),.11又尸(X3)=A 所以 P(X3)=3 故 P(lvXv2) = -P-(x3)=二o故 93226选A.(2)因为数学成绩服从正态分布XN(90,2),所以其正态分布曲线关于直线1=90对称， 又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总

3、人数的g由对称性知成绩在110分以上的人 数约为总人数的3x(l|)=g所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：*900 = 180(人)答案：(1)A (2)180巩固训练3解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N，/)，对称轴为X=，又P(X 1) + P(x25)=l,而 P(X-l) + P(xW l)=l,所以 P(XN5) = P(XW 1),所以 5 和一 1 关 于对称轴对称，那么=学3=2,应选D.解析：(2)可知正态曲线的对称轴为x=80,得P(80v&100) = P(60100) =0.5-03 = 0.2,应从100分以上的试卷中抽取100X0.2 = 20.应

4、选C.答案：D (2)C例4解析：(1)设考生的成绩为X,那么由题意可得X应服从正态分布，即XNa,)， TOC o 1-5 h z 令那么yn(0, 1).由360分及以上高分考生30名可得P(X2360)=占,即P(X360) O2 000=1 X=0.985,即有尸(X 360T80) = 0 985,贝产0T802/7,可得 83,可得 XN(180, 2 000CT /O832),设最低录取分数线为Xo,那么p(x2xo)=P(YN詈)=共器，即有。(丫267,所以能被录取，P(X286) = P(Y 竺詈巴)=尸(Y5） = P（Xv1） = 62,那么 P（2X2cl） = P（

5、Xc+3）,那么c=题型突破提高“四能”题型一二项分布及其应用例1 2022山东师大附中月考某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度 进行调查，抽调了 5 000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下 表：月收入 （单位：百元）30, 50)50,70)70,90)90,110)110, 130)130, 150)调查人数5001 0001 5001 000500500赞成人数4008001 2004149987假设从抽调的5 000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率;（2）依据上表中的数据，假设从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市

6、限购令” 的人数为X,求X的分布列和数学期望；（3）假设从抽调的收入在30, 50）（百元）的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人 数为X,期望记作夙Xi）；假设从抽调的收入在50, 90）（百元）的市民中随机抽取两名，记赞成 “楼市限购令”的人数为X2，期望记作E（XD，比拟E（XD与E（X2）的大小关系.（直接写出结论即可)听课记录类题通法二项分布的解题策略在根据重伯努利试验求二项分布的有关问 题时，关键是理清事件与事件之间的关系， 确定二项分布的试验次数和变量的概率， 从而求得概率 求随机变量的期望与方差时，可首先分析 g是否服从二项分布，如果B(，那么用 公式(g)=p,。付=

7、(1-夕)求解，前大大 减少计算量巩固训练1 一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物, 经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、g现已进入药物临床试用阶段，每个试 用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物， 如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲 类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；(2)观察3个试用组，用,表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求牛的分布列和期望.题型二超儿何分布及其应用例2某高中学校德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了 “国家 平安知多少

8、”的知识问卷测试，并从中随机抽取了 12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52, 63, 67, 68, 72, 76, 76, 76, 82, 88, 93, 94.(1)写出该样本的中位数，假设该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的 人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记乙表示测试成绩在80分以上的人 数，求。的分布列和数学期望.听课记录类题通法求超几何分布的分布列的步骤 验证随机变量服从超几何分布，并 第一步一 确定参数N,M,的值一I一 根据超几何分布的概率计算公式计 第二步一( 算出随机变量取每一个值时的概率第上步|一| 用表格的形式列出分

9、布列巩固训练2为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有(2)假设从完成套卷数不少于4的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X,求随机变量 X的分布列.题型三正态分布及其应用角度1正态分布的概率计算例3 (1)2022安徽蚌埠模拟随机变量X服从正态分布NQ, /),且尸(X3)11,=；,那么 P(lvX0, 试卷总分值150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的; 那么此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有 人.听课记录类题通法正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线

10、关于 直线对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3。原那么求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的外。进行比照 联系，确定它们属于口一巴 口-20, +2可，/ 3d, / + 35中的哪一个. TOC o 1-5 h z 巩固训练3 (1)2022辽宁锦州模拟随机变量X服从正态分布M/, /),假设P(x 1) + P(x25)=l,那么=()A. -1B. 1C. -2D. 2(2)2022广东揭阳模拟某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布N(80, /),P(6080)=0.3,假设按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，那么应从100 分以上的试卷中抽取()

11、A. 10份 B. 15 份C. 20 份 D. 30 份角度2正态分布的实际应用例4 2022江苏南京模拟“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义 法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某 单位准备通过考试(按照高分优先录取的原那么)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个 普薪职位.实际报名人数为2 000名，考试总分值为400分.本次招聘考试的命题和组考非常 科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的局部统计结果如下： 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)求最低录取分数(结果保存为整

12、数)；(2)考生甲的成绩为286分，假设甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.参考资料：(1)当XN,)时，令丫=上变，那么YN(0, 1).(2)当丫N(。，1)时， O尸(yW2.17)0.985，1.28)0.900,1.09)0.863, P(YW 1.04)0.85.听课记录类题通法解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在一区 + cr, (/2o, + 25，(/ 3% +30三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想 和数形结合思想.巩固训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单

13、位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线 正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布M/,/).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在口一36 / + 3用之外 的零件数，求P(XN1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在口一3。 + 3司之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9. 95, 10.12, 9.96, 9.96, 10.01, 9.92, 9.98, 10.04, 10.26, 9.91, 10.1

14、3, 10.02, 9.22, 10.04, 10.05, 9.95.经计算得又=9.97, s-0.212,其中即为抽取的第i个零件的尺寸，i=l, 2,，16.用样 本平均数又作为的估计值八，用样本标准差s作为。的估计值心,利用估计值判断是否需 对当天的生产过程进行检查？剔除口八一3八八+ 3之外的数据，用剩下的数据估计“和 。(精确到0.01).附：假设随机变量Z服从正态分布N, /),那么3oZ5) = P(X一1),S 111.*./=2.P(2X5)=-P(-lX2cl) = P(Xc + 3),所以 2c1+c+3 = 2X3,所以 c=3答案：9题型突破提高“四能”例1解析：(

15、1)由数据可知，在抽调的5 000名市民中，有400+800+1 200+414+99 + 87 = 3000名，由频率估计概率，所以从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，该市民 赞成“楼市限购令”的概率为尸=黑=1J Vz JkJ(2)由(1)知，市民赞成“楼市限购令”的概率为尸=|,记赞成“楼市限购令”的人数为X,那么X8(2, |),那么X的可能取值为0, 1, 2,那么 P(X=0)=以(1)0(|)2=尸(X=l)=般(|)1(|)1=|，P(X=2)=以02(|)。=套所以X的分布列为X012P4251225925那么 E(X) = 0X+1 X+2X=-； 2525255(3

16、)由题意得：因为 XiB(2, J X2B(2, J E(Xi) = E(X2).巩固训练1解析：(1)设A表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i 人，i=0, 1, 2,用表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有/人“，/=0,11111191, 2,依题意有尸(4)=2乂户5, P(A2)=-x-=-, P(B0)=-x24124m)=2x-x-=-24124m)=2x-x-=-故一个试用组为“甲类组”的概率为P=P(&Ai) +尸(3oA2)+P(BiA2)=x： + x： + x：=，；9294949(2)的可能取值为0, 1, 2, 3,1257293)=程 (13)2=100243且3(3, 3,那么尸(=。)=以(1一：)3 =P(2) =废02 (1一粉景33 =篝故的分布列为0123P1257291002438024364729例2解析：(1)由数据可得中位数为76,样本中70分以上的所占比例为故 可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000 x|=2 000(A);(2)由题意可得乙的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.n z jx 或以 16 8，尸(G=D=飞=兀=布成=2)=以鬣一36一 18或 7035，%=3)=中储一16一 8以 7035巩固训练2解析：(1)设事件A为