3海洋定位基础第三章

1、 第二篇海洋定位第三章海洋定位基础海洋定位是海道测量工作的主要工作内容，是其他测量工作的基础。海洋定位通常 是指利用两条以上的位置线，通过图上交会或解析计算的方法求得海上某点位置的理论 与方法。与陆地定位相比，海洋定位有许多独特之处，其中最显著的就是陆地定位一般在静 止状态下进行，并可通过重复观测来提高点位精度，而海洋定位一般在运动中进行，重 复观测几乎是不可能的。另外一个重要的不同之处是海洋定位的实时性要求高，一般要 求通过位置函数在海上实时得出点位坐标。因此海洋定位在准确性和完整性方面还无法 达到陆地测量的精度。目前海洋定位的方法主要有：光学仪器定位、无线电定位、水下 声标定位和卫星定位四

2、种方式。3.1位置函数及其梯度3.1.1位置函数及其等值线位置函数U在平面上的一般式为:(3 1)U =f（X,Y）式中：（X,Y）为定位点的坐标。位置函数的等值线为位置函数 U = f （X, Y）等于常数时，定位点的轨迹。海上定位的观测量一般有距离、方位、角度和距离差四种，相对应有四种位置函数及其等值线。如图 3 1所示。一、距离位置函数：如图3 1（ a）所示，定位点P至已知点A（Xa，Ya）的距离为S,距离位置函数S为:(3 2)S=J（Xp -Xa）2 +（Yp -Ya）2距离等值线是以已知点 A为中心，以S为半径的等距圆弧。二、方位位置函数：如图3 1（ b）所示，已知点 A（Xa

3、，Ya）至定位点P的方位角为T,方位位置函数T：Xp -Xa(3 - 3)方位等值线是过已知点 A,方位角为T的直线。三、角度位置函数:如图3 1 ( c)所示，定位点 P观测已知点 A B的角度为a，角度位置函数亠T T 丄YB -Yp丄Ya -Ypa =Tpb -TpA = tan -tan Xb-XpXa-Xpa为:(3- 4)角度等值线是以已知点 A、B连线为弦，以a为圆周角的等角圆弧。四、距离差位置函数:如图3 1 ( d)所示，定位点 P至已知点A、B的距离差为r，距离差位置函数 r = SpA - SpB = J(Xp -Xa)+ p _Ya)2 -J(Xp-Xb)2 +(Yp-

4、Yb)2r为:(3- 5)图 3 1 ( a)图 3 1 (c)图 3 1 ( b)图 3 1 (d)距离差等值线是以已知点 A、B为焦点的双曲线。海上定位求解点位的方法有图解法和解析法两种。图解法是根据两条以上的位置函数 等值线的交点来确定点位。解析法是根据两个以上的位置函数方程式解算求得点位。对于 利用三条以上位置线计算点位可采用平差的方法，计算其最或然点位。为此需建立位置线方程式和位置线误差方程式。3.1.2位置函数的梯度、梯度的定义若在数量场U中的一点P处，存在这样的矢量 g，其方向为函数U在P点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量g为函数U在P点处的梯度。若

5、U为位置函数（距离、方位、角度或距离差函数），则位置函数梯度的方向垂直于位置线，即与位置线的法线方向一致， 且指向位置函数增大的方向。它的大小就是梯度的模,是位置函数在法线方向上的变化率，即:,.iu dug = Lim =2 直n dn在实用上，若在P点处函数的增量为 Au，而其在法线上的增量为 An，则函数U的 梯度g可由下式表示：ug(3 6)若位置函数U为平面位置函数，则位置函数梯度为 U在x、y方向上的变化率的向量和:而梯度的模- cu -一i + 丁 j =ai +bj =gx +gy xdyg为：(3 7)=70=眉纭 J且)2+e)2 飞 ex cy式中：a=gx，b=gyex

6、cy(38)下面具体介绍距离梯度、方位梯度、角度梯度和距离差梯度的情况。二、距离梯度（gs）如图32所示，在P点处测得距岸台 A的距离为S,则距离等值线为以岸台A为中心，以测得的gs距离S为半径的圆周。当距离函数有一微小增量S，则等值线因此而产生的法向位移也n =S，因此，距离梯度的方向为沿 P点等值线的法线方向,也SS指向距离增大的方向；距离梯度的模等于1,即:(3 9)求距离梯度也可用公式（38）计算，结果是一致的:= S=J(Xp -Xa)2 +(Yp -Ya)2 二A Pex=(旦)。Xp -Xa= S = cosTap Yp - YaS = sin TAPgs =(a2 +b2 =

7、j(旦)2 +(空)2 = Jcos2Ta p +sin2 Ta p =1V excy所以距离梯度的模与测量距离的远近无关。距离梯度的方向为背离岸台，指向距离增大的方向，如图32所示。三、方位梯度（gT）如图33所示，在A点处测得A到测点P的方位角为T,则方位等值线为以 A为起点，方位为 T的射线。当方位函数有一微小增量AT ,则等值线因此而产生的法向位移 in =StgAT，故：iuAT1gT =止（弧度/公里）（3 10）An Stg 也 TSgT图3 3用公式(1 25)计算如下：Yp -YaXp -Xa_ Ya Ypsin Tpa_ S2_ S-(Xa -X p) _ -COSTPA

8、-S=T =arctgaex=(皀)PgT = Ja2 +b2S2=1(sinTpA)2-cosTpar SS=1 （弧度/公里）S上式说明方位梯度模gT与距离S成反比，方位梯度的方向垂直于AP且指向方位角T增大的方向，如图3 3所示。四、角度梯度（g）如图34所示，在测点P测得的角度a 是方位角T2和T1之差， 于梯度是矢量，角度梯度即 a = T2 T1。由 d为：ga = gT2 - gT1利用余弦公式可得(311)got:I 22ga = JgT1 +gT2 -2gT1gT2cosa 彳)2JS + S2 2S1S2 cos2 cosa S1S2图3 4S1 S2(3 12)a=（弧度

9、/公里）用公式（3 8）计算如下:c 十 十 j -1 Yb -Yp一二 Ya -Ypu =Tpb Tpa =ta n ta nXb-X PXa-X P_ Yb -YpYa -YpsinTPBsinTPAa=e)Pexcub=()P今S2S1S2S1_-(Xb -Xp) -(Xa-Xp) _ -cosTPB S1S22S2cosT PAS12 1 1 2ga=Va + b = H + s S(cosTpbCosTpa+sinTpB sinTpA) S1S2S| S2S1 S2Js； + S； 2S1S2 cos(TPB Tpa) = _ _ (弧度 / 公里)S1S2由上式可知，角度梯度模9随

10、（S1S2 ）与a而变化。在a 一定的情况下，ga与S1S2 成反比。在S1S2 一定的情况下，ga与a成正比。角度梯度的方向与位置线相垂直，指向以AB为弦、圆周角为a的圆心0。五、距离差梯度（g r）如图3-5所示，在观测点 P测得距两岸台1和3的距离差为r，即：r = S3 - S，则可得以岸台1、3为焦点，距离差为r的双曲线。根据向量的运算规则:gr = g S3 一 gsi由图1 14可得:gs1 = PA;gs3 = PBgr =gs3-gsi = pb-p a = ab所以AB即为距离差梯度的模。由于 gs3 =gs1 =1，贝y心PAB为等腰三角形。在APAB冲，取AB的中点M与

11、P相连,可得:NAPMPM =2gr =BA=2BMI =2si n 2(1 30)用公式（1 25）计算如下:U = r = S3dua =()px-S = -Xp -XJ2 +(Yp -)2 Xp -X1)2 +(Yp -52Xp -X3Xp -Xj=一 =cosT 3 p COST1 pS3SYp -丫3 Yp -丫1 亠 T 亠 T=si nTsp s inTtpS3S1+ b2 = 7(cosT3 -cosT1P)2 sinT3sinT1P)2.z仏b =()P=J2x1 -(COST,P COST3P +sinT1PsinT3P)=J2X1 -cos(T1P -T3P)=J2 1

12、cos )S10=2si n 2可见距离差梯度的模是由位置线交角决定的。在焦点1和3的连线上，距离差梯 度的模等于2，为最大值；随着 P点远离岸台，距离差梯度的模逐渐减少；在岸台基线 的延长线上，距离差梯度的模为零，为最小值。距离差梯度的方向垂直于位置线交角C的角平分线，指向距离差增加的方向，如图3 5所示。3.2位置线方程式和位置线误差方程式3.2.1 概述由上可知，位置函数等值线除方位等值线是直线外，其它是曲线。曲线对计算点位带来不便，为此引进了位置线。我们用位置函数等值线在定位点处的切线来代替位置函数等值线，该切线即为位置线。在定位点准确位置未知的情况下，可用其概略位置建立位置线方程式。

13、设定位点P的准确点位或最或然点位为 （X,Y），其概略点C坐标为（Xc，Yc），两者之差为AX上Y，则:(313)根据位置函数在平面上的一般式，概略点处位置函数为:Uc =f（Xc, Yc）(3 14)准确点或最或然点处位置函数为：=f （Xc + 也X,Yc + 也Y）(315)上式中的X Y很小，可用泰勒公式将上式展开成级数，并取至一次项得:厅.点f A=f （Xc,Yc）+（）c 也X +（）c 也 Yexcy(316)设:a=（生）cexcfb=（ 丁）cI = fc - f，即概略值与观测值之差,则（3 16）式可写为:aX 计丫 +1 =0(317)（317）式即为以概略点 C为原

14、点的位置线方程式。若位置函数观测值的误差为 V，则位置线误差方程式为:V =aAX +bAY +1(318)在定位点处若有三条以上的位置线，则可按（318 ）建立三个位置线误差方程式,组成法方程式，解算其最或然点位坐标（X,Y）。海上定位时常常由几种方法联合使用，比如由两距离、一方位（或一水平角）方式定位；由一距离、一方位和一水平角方式定位等。在这种情况下解算其最或然点位坐标时,必须把位置线方程式（3 17）或位置线误差方程式（3 18）改化为“法线式” 位置线方程式或位置线误差方程式的等式两边，除以概略点处位置函数的梯度模。亦即在g。其表达式如下:a bfc 一 f c心X + AY +=0

15、g g gv a b f c f 一一AX +-AY +g g g g(319)(3 20)（319）和（320）分别为位置线方程式和位置线误差方程式的“法线式”3.2.2 距离位置线方程式及其“法线式”如图32所示，距离位置函数及在 P点处的偏导数可由下式表示:=S= J(Xp -Xa)2 +(Yp -Ya)2X p - X A=cos a APSAPYp-Ya=(皂)Pex=(皂)PS = sin GapI =Ucu=SS代入（1 35）式可得距离位置线方程式：（Xp Xa）职 +（丫P -Xa ）0 +（ SJS）= 0 Ss，或：cosotAP也X +sin AP也Y +（S S） =

16、 0式中：（Xp，Yp）为推算点（概略点）坐标，S, aap分别为由控制点(321)A与推算点p的坐标反求得到的距离和坐标方位角。距离位置线方程式的“法线式”可由（3 19）式求得，由于距离梯度的模所以距离位置线方程式与其“法线式”是相同的。同理，距离位置线的误差方程式与其“法线式”也是相同的，可由下式表示:Vs =（ Xp Xa ） Ax +（Yp Xa ） iY +（ S-S）SS或:Vs =cosaA pAX +s inApAY（ S-S）(322)3.2.3 方位位置线方程式及其“法线式”如图33所示，方位位置函数及在 P点处的偏导数可由下式表示:、2 =T =arctg牡)Px(和)

17、= ()PYp -YaXp -Xa_YaY P _si nap a _ si nctApP (分 / 米) = S，二 _ (X A -Xp)-cosaPA-S2- s，s，咤土 （分 / 米）s，l =Uc -U=a Ap T AP代入（3T7）式可得方位位置线方程式：sinctApPhv 丄 cosctApP、/ 亠AX +AY + （aAPSSAP式中：（Xp, Yp）为推算点（概略点）坐标，S, aAP分别为由控制点 A与推算点Ta p) = 0(323)P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。方位位置线方程式的“法线式”可由（3 T9）式求得，方位梯度的模可由

18、下式求得:PgT =（分/米），所以方位位置线方程式的“法线式”如下式所示：9丁S si n a AP Ax 中 cos a ap 心丫( a ap T a p) S / P = 0例如：Tap= 330 bT, aAP = 330 0 : S=3000米，则该方位位置线方程式为:(324)0.573000AX +0.99245於丫 - T = 0该方位位置线方程式的“法线式”为:0.500000 心X +0.866025i Y- 0.872600(米)=0方位位置线的误差方程式及其“法线式”求法同前，分别如下式所示:-Si notApP 小,丄 cosotA pP 丄T ）Vt =AX +-

19、AY +（ Gap -Tap）SSd =SinAP心X +coApAY +（aaP -Tap） S7 P3.2.4角度位置线方程式及其“法线式”(325)(3 26)如图34所示，角度位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：Yb -Yp一 Ya Ypu =a =TpB -TPA =tan B-tan _ Xb-XpXa-Xp_ -sinBPP siAPPa=（皀）。_Yb -YpYa -Ypsrcub=( 丁)PST2_-(Xb -Xp)-(Xs；2SBP s；(分 / 米)-Xp) _ cos。S2STB-cosApP (分 / 米)ST cog pPcos土 2 w bp-ap-)0SZI

20、 =Uc U =aBp cAp Ct代入（317）式可得角度位置线方程式：（sinctBp P _ -sinotAp P）心 +（S*S/S2(3 27)式中：（Xp, Yp）为推算点（概略点）坐标,SZ, S2, a ap, a bp分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。角度位置线方程式的“法线式”可由（319）式求得，角度梯度的模可由下式求得:ga=- （分/米），所以角度位置线方程式的“法线式”如下式所示：(-Si sin bp - S2 sing ap)乙x +aa+ SiS2(p ap a)/aP=0式中：a为A B两点之间的距离。角

21、度位置线的误差方程式及其“法线式”求法（-sinctBp P -sinctApP）（ Va =（） AX（S2SS(- SgB p _-gsinSp)AX +(c S cosa bpS2 cosa apaa同前，分别如下式所示：cosa Bp Pcosa ap P)S!S2 S1 cos。bpS2 COS。ap)小丫 ( 3 28)+(a bp -Gap - a)(329)aa中 SiS2( aBp ap a)/aP(330)3.2.5 距离差位置线方程式及其“法线式”如图35所示，距离差位置函数及在 P点处的偏导数可由下式表示:=r -Ss-E =(XP-X3)2 +(Yp-Y；) du=D

22、p云（VTPV） 0可得:即 at pax + at pl = 0 ,MYJ设：N = AT pa, W=AT pl,则:X =-(ATPA)4(aT pl)= -nAw =pbb-pab-L-pabpaa.p aapabP abpbb恍卜3- 33）即： 収=pab pbl - pbb palpaa pbb - pab pab 匕丫 _ Pab pal - paa pbl paa pbb - pab pabP 点最或然点位坐标（X, Y）为:(3 34)X =Xc +AXY=Yc+AY 设4为单位权中误差，由白塞尔公式求得单位权中误差(335)设 Q =(ATPA)=Q11|_Q21Q12Q

23、22pbb-pabpab paa Paa pab pab pbb即: QiipbbQ22Paa pbb - pab pabP aaQi2paa pbb - pab pabPabQ21 paa pbb pab pab则最或然点位中误差 M为：(3 36)M =pJQii +Q22（ m）3.4定位中误差的普遍式我们前面已经知道，如果用三条以上的位置线确定测点位置，即有多余观测的点位观测，在计算最或然点位位置的同时，可用公式（3 36）计算其定位中误差，确定点位的定位精度。下面讨论如果只有两条位置线，没有多余观测确定测点的位置时，如何确定定 位精度。首先我们讨论最简单的一种情况，即两距离定位时，定

24、位中误差的求法。如果在测量船上同时测得至控制点 A、B的距离分别为 S、S。假定测得的距离没有误差，则两条位置 线的交点P即为准确的船位。实际上测距不可能没有误差，若实际测得的点位为R，则该次定位真误差为 4 = PPi。若测量船固定不动，对测量船进行多次定位，得到一组定位点 Pl，P2,，Pn，其相应定位真误差为1,也2,Qn，则定位中误差M可按下式计算：M=+罕厝(3 37)我们知道真误差是无法直接测定的。下面研究如何利用测距真误差确定定位真误差。 如图3 6所示，设测距真误差分别为 An1和 人n2,则测得的点位应为 P,即A =PP。为计算方便，我们用位置线来代替距离函数等值线，即定位

25、点为两位置线的交点 P。 该次定位的真误差为 A = PP 。在APP N中:PN =如sin尬PN =PMsin根据余弦定理可得：& =(PN )2 + (P N)2 -2(PN)(PN)cos(180 j)2 2 2= csc 臥也ni +An2 +2Ani也门2。58)上式是某次定位的定位真误差，若进行了n次测定，可得n个与上式类似的关系式, 其算术平均值为：A22 An； An；饷“加 2、-_ =csc 叫 _ + +21 cosQ nn nn(338)由于两个观测值是相互独立的，其协方差为零，即:也匕=0则（3 38）式可写为:n才2 J 也 n122 n；、=csc 尬(卡)n

26、n仙 2A22亦12M =, mni =nM = csg Jm2! +m；2设:2 mni n2mn2(3 39)n式中：M为定位中误差;尬为位置线夹角；mni,mn2分别为位置线i、n的法向位移中误差，简称位置线中误差。根据位置函数梯度的定义:A 心UAn =,2=2，带入（339 ）式可得: gg可得：mJ色山1nM 丄Lmu. 2 .muo 2(3 40)M =cs3 ()+()V g1g2（3 40）式即为定位中误差的普遍式。该式应用很广，适用于各种两条位置线确定 点位的定位中误差计算。3.5误差椭圆及其置信度在海道测量工作中，通常都用定位中误差M来评定点位的定位精度。但是定位中误差不

27、能反映出点位在各个方向上误差的大小，尤其是不能反映出哪个方向的误差最大，哪个方向误差最小。为了研究平面上点位误差的分布规律，我们讨论平面上具有相同概率出现的点位误差分布图形，即误差椭圆。误差椭圆既可从面积的大小说明点位的精度，又可从其形状知道点位误差分布的方向性。如图（3 7 ）所示，I - I： II - 11为两条位置线。当观测无误差时，其交点 0为测点的真位置。如果两条位置线分别 有法向位移饷1,32，则其交点为No下面研究点位落在 N点处微小面积内的概率。位置线法向位移是以0为扩散中心和随机变量,2rin1图3 7y它们是服从正态分布的，中误差 为mn1,mn2 o其概率密度分别为:f

28、(心n1)=e2昭mn1J2 兀少2f2n2)=Ve 贏mn2 J2 兀(341)点位落在inin2处微小窄条dni, dn?内的概率为:P3) =一 e 2时 dnimnij2;ijn_p(in2) = e 2叫2dn2mn2 J2 兀(3 42)由于位置线法向位移 ini,也门2是相互独立的随机变量， 因而点位落在两微小窄条相交处，亦即落在 N点处微小面积内的概率，依据独立事件概率的乘法定理可得:i：（第密）P = p3ni）p3n2）=e% 叫22 兀mnimn2dnidn2(3 43)由图（3 7）可知，随着位置线法向位移 叽也门2的变化，N点也随着变动，每一处总会有一个相应于公式（3 43）的P值。下面研究P值为常数时，N点的轨迹曲线，即 等概率密度曲线。为便于分析，今取以 0为原点，两位置线为 x轴和y轴的斜坐标系。由图(37)可知：也 m =xsi门2 = ysi n 亠 do, =si nodx 而：dn2 =s