工程电磁场数值分析4加权余量法,数学基础

1、工程电磁场数值分析（数值法的数学基础 加权余量法）华中科技大学电机与控制工程系陈德智2007.12第3章 数值法的数学基础加权余量法函数空间基函数权函数加权余量法变分法简介1. 函数空间泛函分析形成于20世纪30年代，它吸取了各个数学分支中最基本的精华，同时为各种学科提供了一般的数学规律和共同的框架，成为各个学科的重要工具，在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。今天，它的观点和方法已经渗入到许多工程技术性的学科之中，成为近代分析的基础之一。1. 函数空间关于函数空间的几个概念粗浅的解释n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统

2、的运动，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建立两个任意集合之间的某种对应关系。函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。 2. 基函数若函数空间D中存在一组函数 ，使得D中任意一个函数都能表示成 的线性组合，则称 为函数空间D中的一组基（或基底）； 称基函数。若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数空间。n 称为函数空间的维数。基函数的性质：完备性：足够的线性无关性：没有多余的正

3、交性：彼此不但独立，而且毫无交叠基函数的例子幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式三角函数：周期为2p的周期函数可以展开为Fourier级数形式或函数逼近：对于函数类 A 中给定的函数 f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算或处理的函数类 B 中寻找一个函数 p (x)，使 p (x) 与 f (x) 之差在某种度量意义下最小。 逼近的方法：选定一组基底 ，构造逼近函数 设法利用已知条件确定系数 。 插值：逼近曲线严格通过采样点拟合：逼近曲线不通过采样点，而使整体误差最小。无法简单的说哪种更好。插值可以保证采样点的精确；而拟合则对误差有更

4、好的鲁棒性。两种逼近：插值与拟合整域基与分域基整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函数和幂函数。分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数，例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。常用的分域基线性插值样条函数基小波函数基采样函数d(x)分段线性插值使用的基函数在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)，有或定义那么扩展一下定义:那么在整个区间上，有 在上述逼近公式中，各基函数的系数刚好为被逼近函数在插值点的函数值，这样的基函数称为插值的基函数。这样的性质是我们特别希望的，当然不是每次都能得到的。整域基的优缺点：优点：全局有统一的表达式，能反映函数

5、的全局变化规律及对参数的依赖关系；便于整体处理；逼近函数全局光滑可导；缺点：全局关联，牵一发动全身，不方便；求解矩阵为满阵，计算量大；龙格现象；对基函数的要求严格分域基的优缺点：优点：局部关联，灵活方便；计算量小；没有龙格现象；基函数选择自由度大缺点：没有全局统一表达式；函数必须分段（或分域）处理；函数只在局部光滑可导。权的概念3. 权函数（weight function）加权求积内积正交带权正交范数4. 加权余数法（weighted residual method）基本思想：考虑算子方程用 作为该方程的近似解（试探解）：代入方程的误差（余量）： 如果余量R0，则 为精确解。加权余量法的任务是

6、设法使R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底 为权函数，使得加权余数法如果上式对所有的 i 都成立，并且 和 都是线性无关的和完备的，那么就保证余量 R 为 0，从而 就是原算子方程的解。如果 和 不是完备的，那么余量 R 只能近似为 0，从而得到原算子方程的近似解。剩下的问题就是确定系数 。可以看到 和 的线性无关性对于唯一地确定系数是必要的。设L为线性算子，代入 ，得或 对于确定的权函数 与基函数 ，积分是确定的，因此只有系数 是未知量，上式成为一个代数方程：记 加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机求解的线性代数方程组。 在

7、此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制，未知数 也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。或者写为加权余数法 伽辽金（Galerkin）加权余数法 在加权余数法中，取权函数等于基函数，即为著名的Galerkin法。Galerkin法具有精度高、适应性强、便于实施等优点。它与分域基的思想联合，即成为有限元法的基础。5. 变分法简介泛函极值问题的提法：铅垂平面上，一小球在重力作用下从 A点下滑至 B点，求所需时间最短的运动轨迹。微元弧长：即时速度：时间微元：总时间：求使 T 最小的函数 y=y(x)，即变分问题：设 ，代入泛函得欲使 F 取极小值，需整理得5. 变分法简介变分原理：设 L 为对称正定算子，算子方程 存在解 ，其充分必要条件为泛函在 处取极小值。 上述方程与基于Galerkin加权余量法得到得方程是一致的。这种基于变分原理的解题方法称为变分法或里兹（Ritz）法。变分法的核心在于把一个微分方程转化为等价的变分问题（泛函极值问题）。对于正定对称算子，等价变分问题是存在的，但是有些问题无法找到等价变分问题，因而应用收到限制。5. 变分法简介泛函的物理含义：以静电场Laplace方程 为例，由格林定理，泛函它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称为静电场的