北理工高等代数课件

1、2.4 非齐次线性方程组解的结构1非齐次线性方程组 其中令 2则方程组（*）可表为 结论：方程组（*）有解 可由 线性表出 秩 = 秩 3秩(A) = 秩( )，这里 = A , b 定理 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 秩 = 秩( ) 推论 当非齐次线性方程组 有解时，解无穷多的充分必要条件是秩(A) A的列数 = 未知数个数 4非齐次方程组（*）：AX = b齐次方程组（*）：AX = 0 称（*）为（*）的导出方程组。性质 (1) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任意两个解向量，则 是其导出方程AX=0的解向量； 5 (2) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任一个解

2、向量， 是其导出方程组 AX = 0的任一个解向量，则 是 AX = b的解向量。 定理 设非齐次线性方程组 AX = b有无穷多个解，则其一般解为 其中 是 AX = b的一个特解， 是导出方程组 AX = 0的一个基础解系， 是 t个任意常数。 6例 求下列方程组的一般解解 7考虑方程组8 一般解为9例 已知非齐次方程组的两个解 ，求其一般解。 解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵 A的秩小于等于2。 又A的前两行线性无关，说明 A的秩大于等于2。由此得 秩(A) = 2。 于是，原方程组的导出方程组 AX = 0的基础解系含 3-2=1个解。10可取作为导出方程组的基础解系，取

3、 作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为 思考题 设 AX=0是非齐次线性方程组 AX=b的导出方程组，问 （1）AX = 0有非零解 AX = b有无穷多解？ （2）AX = b有唯一解 AX = 0只有零解？ 11小结：1. 求线性表出2. 判别线性相关性 3. 求向量组的秩与极大无关组 4. 求矩阵的秩 5. 求齐次线性方程组的基础解系 6. 非齐次线性方程组解的结构12 例 证明：若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关。 证明 因为 可由 线性表出，所以秩 秩 已知 线性相关，故有秩 n13于是，秩 n 由此可得 线性相关。 例 证明：若向量组 线性无关，则向量组 当 n为奇数时线

4、性无关，当 n为偶数时线性相关。证明 令 ，则14因 线性无关，故 （1） 讨论此齐次方程组有无非零解：15取其系数矩阵对 A顺序做初等行变换16当 n为奇数时，A可化为 此时，齐次方程组（1）只有零解，故有 于是， 线性无关。17当 n为偶数时，A可化为 此时，齐次方程组（1）有非零解，故 线性相关。 18证明： 线性无关。 例 设 是非齐次线性方程组 的一个特解， 是导出方程组 的一组基础解系。令证明 令 则（1） 19由此得因为 ，故 （2） 20于是由 式(1) 得 已知 是基础解系，它们线性无关，故 再由 式(2)得 。所以, 线性无关。 21例 设 （1）证明：若 AY = b有解

5、，则 的任一组解也是 的解； （2）证明：AY = b有解 无解，其中O是 零矩阵。 22 证明 （1）设 AY = b有解，则存在一个 ，使 。于是， 。 任取 的一个解 ，则 。 因 故 是 的解。 （2） 设 有解，则有23因24故 由此得 设 ，则 25又故 26由此得 所以，方程组 AY = b有解。 27例 已知四元齐次线性方程组 （I） 与四元齐次线性方程组（II）的一般解 问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全部公共解。解 （法一）易得方程组（I）的一般解为 28 设 是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数 使 即因向量组 线性相关，故存在不全为零的 ，使上式成

6、立。由此可知，方程组(I) 与 (II)有非零公解 。29由上式可得解得其一般解为于是，方程组（I）与（II）的全部公共解为 30（法二） 因方程组（II）的一般解为 代入方程组（I）有由此得所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为 31例 考虑方程组(I) (II) 在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。讨论 首先方程组(I)的理论解为 方程组(II)的理论解为 321. 把 舍入为 1.01，得 的解为的解为 332. 把 1.015舍入为 1.02，得的解为 的解为 34 上述讨论可得，方程组()的系数的一个极小变化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而方程组()则无此现象

7、，相应称之为良态的。 例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们共同制订了一个修理计划： 每户出一人，工作十天，并且每人工作一天应由三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日程表如下 35出于可以理解的原因，这三户要求满足如下的平衡条件：“每户在十天内的总支出=其总收入” 36 若规定每个工人的日工资在68元间浮动，则我们的问题是，如何确定每个工人的日工资数额，以使上述修理计划得以实现。 解 设 分别表示木工、电工、水管工的日工资，则平衡条件可以表示为 整理并写成矩阵形式，得 37所以， 是齐次线性方程

8、组的解。不难求出上述方程组的一般解为 38这里，k是任意常数。 根据事先规定的工资浮动范围，可取 k=0.2。由此得木工、电工、水管工的日工资分别为 6.2元，6.4元，7.2元。 39 这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人的产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人的总产出等于其所获得的总收入。显然，这三个工人在这天就构成了一个自给自足式的经济系统。40 下面考虑一般情况。假设有一个经济系统由k个企业构

9、成，顺序给这些企业标号为第1，第2，第k个企业。在一个固定时间周期内，每个企业都能产出或提供可被整个系统完全利用的某种商品或服务（产出量是确定的）。一个重要问题是如何确定这 k个企业产出的价格，以使每个企业的总产出等于其总收入。这样的价格结构反映出该经济系统处于一个自我平衡的状态。 41在固定时间周期内，令 第 i 个企业关于其总产出的报价 第 j 个企业被第i个企业购买的那部分产出在其总产出中的比值， 根据上述定义，得 42称 P为价格向量，A为交易矩阵。则该经济系统的平衡状态可公式化为 或上式为一个关于向量P的齐次线性方程组。 它有非零解 令43因为交易矩阵A的每列元素的和均为1，故可知所以，方程组 总有非零解。但是