上课-考试信号与系统复习

1、课程内容学习第一章 信号与系统概述导学提示本章是关于信号与系统的一个基本概述，初步认识本学科领域的一些名词术语（如消息、信息、信号，电路、网络、系统），学习信号运算规律，初步掌握系统的表示方法及相关性质，了解本课程的研究范围和学习目标，知道一些在本课程研究过程中将采用的主要方法和。后续章节，将围绕着“信号”或“系统”的具体内容展开描述。本章概要本章学习内容包括信号的基本概念：信息、消息、信号、系统，信号的基本类型：连续时间信号与离散时间信号、确定性信号与随机信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号，信号的基本运算：相加、相乘、反折、时移、尺度变换、信号的奇偶分解，几个重要的基本信号：冲激

2、信号、阶跃信号和复指数信号，系统的概念和 6 个性质：线性、时不变性、因果性、性、可逆性、稳定性。重点：信号的基本运算和自变量变换，系统的性质。难点：冲激信号与阶跃信号的定义和关系。学习建议与实践活动本章的内容是后续章节的基础。需要熟悉信号与系统的基本概念，掌握信号的基本运算和自变量的三种变换，掌握几类典型信号的定义和性质，了解基本系统类型和性质。除了课后习题的练习，可配合一个 2 学时的理解和感性认识。关键知识实验，对信号的产生和运算进行仿真，加深 2；信号的反折 y(t) f (t) 、时移 (t ) f (t t 和尺度变换信号的周期 T00y(t) f (at) ； 冲 激 信 号 的

3、 抽 样 性 质 x(t) (t t0 ) x(t0 )；欧拉 公 式e j0t cos0t j sin(0t) 。重点讲解1信号的基本运算相加任一瞬间的和信号等于同一瞬间相加信号瞬时值之和。y(t) f1(t) f2 (t)yn f1n f2n相乘任一瞬间的乘信号等于同一瞬间相乘信号瞬时值之积。（1-1）y(t) f1(t) f2(t)yn f1n f2n（1-2）（3）幅度信号的幅值在每一个时刻都乘以常数 a ，也可认为是信号相乘的一种特例。y(t) af (t)yn af n（1-3）（4）反折（转）以变量 t （或 n ）代替 f (t) （或 f n）中的独立变量t （或 n ）。y

4、(t) f (t)yn f n（1-4）（5）时移以变量t t0（或 n n0 ）代替 f (t)（或 f n）中的独立变量t（或 n ）。t0 （或 n0 0 ）时为右移， t0 0 （或 n0 0 ）时为(t ) f (t t0（6）尺度变换。yn f n n0 （1-5）以变量 at （或 n / k ）代替 f (t) （或 f n）中的独立变量t （或 n ）。 a1时,表示f (t)在时间轴上被压缩1/ a 倍;y(t) f (at)（1-6） a 1时,表示f (t)在时间轴上被扩展a 倍. f n / k若n是k的整数倍;若n不是k的整数倍.yn fk n （1-7）0其中，

5、fk n 是从原信号 f n的相继值之间加入(k 1) 个零点而（7）微（差）分的。nf (n) (t) d f (t )y(t) f (t) df (t) d f (t)或 y(t) （1-8）dtdtdtn离散信号的差分通常分前向差分f n和后向差分f n，分别定义为：f n f n 1 f n ， f n f n f n 1（8）积分（累加）（1-9）nty(t) f(t) f ( )d(1)yn f kk （1-10）（9）信号的奇、偶分解任何一个信号 f (t)（或 f n）可以分解为奇信号分量 fo (t)（或 fon ）和偶信号分量fe (t) （或 fen ）之和的形式。f (

6、t) fo (t) fe (t) ， f n fon fen（1-11）其中：fo (t) fo (t) ， fe (t) fe (t) ； fon fon， fen fen ；f (t ) f (t ) ， x (t) f (t ) f (t ) ；f n f n ，f n f nf (t) f n f n oeoe2222例 1.1 已知 f t 画出 yt f 2 的波形。 t3-10123t-1图 1-1 例 1.1 中 f t 的波形此题有多种解法。解法一：先由 f t 反折得 ，然后画出 f ，最后的y 2 。 t t332121-9-6-303-30369-1-12 的过程y t

7、图 1-2例 1.1 解法一求32，最后的 y 2 。解法二：先由 f t 时移2 ，然后画出 t321-10123-30369-12 的过程y t图 1-3例 1.1 解法二求32系统的性质（1）线性：L af t) aLtf)性：可加性： L f1 (t f2 t) L f1 t) L f2 (t)若系统既是的又是可加的，则称系统是线性的。La f (t a) a L f t) a2 L)（1-12）2（2）时不变性：参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统若L0, f (t) f ( ),则 L0, f (t t )t00f（3）因果性：21212-3-2-10

8、11-1-1t21-3-2-101-1f (t),t t0系统任一点t0（或 n0 ）的输出 y(t0 )（或 yn0 ）只与当前点或之前点的输入（或 f n, n n0 ）有关，而与之后的输入 f (t),t t0 （或 f n,n n0 ）无关。即：若: f (t) 0, t 0， 则yf (t) L0, f (t) 0,性：t 0（4）系统任一点t0（或 n0 ）的输出 y(t0 )（或 yn0 ）不仅仅与当前点输入 f (t0 )（或 f n0 ）有关，称为系统。即：y(t) Lx(t ), f (t)（1-13）0可逆性：如果一个系统的逆系统存在，则称该系统可逆。稳定性：若系统的输入

9、有界时，输出也有界，则称该系统为稳定系统。简称 BIBO。即：若 f (t) y(t) ， 则系统稳定。例 1.2 判断系统 y(t) f (t 2) f (2 t) 的那些性质成立，并说明理由。解： y(t) f (t 2) f (2 t) 因为 y(0) f (2) f (2) ，在t 0 的输出与前后时刻的输入都有关，所以系统是的。 已知 y1(t) f1(t 2) f1 (2 t)， y2 (t) f2 (t 2) f2 (2 t) 。当 f2 (t) f1 (t t0 ) 时，y2(t) f1(t 2 t0 ) f1 (2 t t0 )，而 y1(t t0 ) f1(t t0 2)

10、f1(2 t t0 ) ，所以： y2 (t) y1 (t t0 )。因而系统是时变的。已知 y1(t) f1(t 2) f1(2 t) ， y2 (t) f2 (t 2) f2 (2 t) ， y3 (t) f3 (t 2) f3 (2 t) ，当 f3 (t) f1(t) f2 (t) 时， y3 (t) f1(t 2) f2 (t 2) f1(2 t) f2 (2 t)所以 y3 (t) y1 (t) y2 (t) ，因而系统是可加的。当 f2 (t) af1(t) 时， y2 (t) af1(t 2) af1(2 t) ay1(t) ，因而系统是综合系统的可加性与性，所以系统是线性的。

11、因为 y(0) f (2) f (2) ，在t 0 的输出与t 2 的输入也有关，所以系统是非因果的。的。f (t) B ，即输入有界，则：若y(t) f (t 2) f (2 t) f (t 2) f (2 t) 2B ，即输出有界。所以系统是稳定的。难点阶跃信号u( ),n1连续时间阶跃信号与离散时间阶跃信号的定义分别为：t t n 11 ， )(（1-14）0n 0u(t)un110t-2-101234n(a) 连续时间(b) 离散时间图 1-4阶跃信号注意，其中，当t 0 时，)(取值没有定义；而当n 0 时，u n 却有确定的值为 1。阶跃信号)(已为大家熟悉，在电路分析中，直流电压

12、源或电流源，通过一个在t 0 时刻闭合的开关,加到电有与类似的物理意义。2冲击信号 t冲击函数有几种不同的定义方式。)(。u n 也的电压信号或电流信号，就可数学抽象为给出的 t 函数的定义式为 ：（1）t ;0 ,0 t (tdt （1-15）,t .0（2）从某些函数的极限来定义 t 函数：2u t ) 21 (t) limu(t （1-16） 0 （3）冲击函数的广义函数定义： ( ) (dt 0)（1-17） t 与试验函数t 作用后能指定 t在t 0 处的值0() 。或者说，冲激函数 t作用于检验函数 t 的效果是给它赋值3冲击函数和阶跃函数的关系0() ，通常称此性质为函数的筛选性

13、质。 (t) 0 t ;t 0t 0t ( )d 由于 故 (t dt .：du(t)t ( )d u(t), 及 (t).（1-18）dt式（1-18）表明，阶跃信号是冲激信号的积分，而冲激信号是阶跃信号的导数。很明显，(t)和 u(t)均不是普通函数，因为一个普通函数在(-,t 上的积分应该是积分上限 t 的连续函数，而 u(t)在 t=0 这一点明显地不连续。同样，一个普通函数在间断点上不存在导数。本章小结在这一章主要讲述信号与系统的基本概念。通过几个实例阐明了信号的概念。又根据信号时间函数的性质及从不同的研究角度出发，大致将信号分为了不同的几类，并在讲解不同分类的信号时，介绍了信号的图

14、解表示和数学表示，而且对周期信号作了详细的。在此基础上，还研究了连续时间和离散时间情况下一些基本的信号包括正弦信号、指数信号、单位抽样信号、之间的关系。重点阶跃序列、正弦序列，并且了奇异信号阶跃函数和冲击函数以及它们了信号的基本运算，相加、相乘、反折、时移、幅度、尺度变换、微（差）分、积分（累加）、信号的奇偶分解。在系统的概念时，对系统的几个重要性质作了定义，线性、时不变性、因果性、记忆性、可逆性、稳定性，并对这些性质的判断进行了重点详细的讲解，讲解这些性质时既有数学上的表示又有其物理内容的【阶段测试和解答】。1 填空题：(t 1) (t 1)dt 2 (t 1)dt 2 。解：(t 1)2j

15、 2n e的基波周期是 N 2填空题： x n3。解： N 3 。3连续时间信号 x(t) 如图 1-5 所示，请画出 y(t) x( 1 t 1) 并给以标注。2x(t)1012t图 1-5 信号 x(t)的波形解： y(t) x( 1 t 1) 的波形如图 1-6。2x( 1 t 1)21-202ty(t) x( 1 t 1) 的波形图 1-624 判断题：（1） y(t) 3 f (t) 1是否线性系统？（2） y(t) xt 1是否因果系统？（3）y(t) f (2t) 是否时不变系统？解：（1）否；（2）是；（2）否。第二章 线性时不变系统的时域分析导学提示本章研究系统的时间响应或时

16、域特性，是学习各种变换分析方法的基础。线性时不变系统的时域分析，就是根据描述线性时不变连续系统的微分（或差分）方程数学模型，研究该微分（或差分）方程时域求解方法，在时域上分析系统激励输入和响应输出的关系及特性。本章的重点是卷积积分与卷积和。本章概要本章学习内容主要包括线性时不变连续系统的时域解法（或微分方程的求解），连续时间冲激响应和阶跃响应，卷积积分的定义推导，卷积积分的求解法（图解法，式法，利用卷积性质求解，变换法-利用变换或变换，在后续章节中学习）。卷积运算的性质（交换律，分配律，结合律，卷积的微分，卷积的积分，卷积的微积分，含有冲激的卷积）。线性时不变离散系统的时域解法（或差分方程的求

17、解），离散时间的冲激响应和阶跃响应，卷积和的定义，卷积和的求解法（图解法，式法，多项式相乘法，列表法-针对有限长序列相卷，变换法-利用运算的性质变换或 Z 变换，后续章节学习）。卷积和重点：卷积积分的定义、图解法和性质，卷积和的定义、图解法和性质。难点：线性时不变连续系统的时域解法（或微分方程的求解）。学习建议与实践活动信号与系统的时域分析方法主要是让大家熟悉信号输入一个系统如何在时域求其输出，LTI 系统中是通过输入与系统的冲激响应卷积来求解的。建议将连续时间的卷积积分和离散时间的卷积和对照起来学习，其定义、图解法和性质都是类似的。系统的性质可以由单位冲激响应完全表征，因此通过 h(t) 就

18、可以判断系统的性、时不变性、因果性和稳定性。可以通过关键知识模拟实验来加深对卷积的求解方法和性质的理解。卷积积分的定义、图解法和基本性质，卷积和的定义、图解法和基本性质，利用冲激响应判断系统的重点讲解性、因果性和稳定性。1卷积积分的定义推导也就是说，信号 f (t) 经过 LTI 系统的响应 y(t) 如何求取问题，即： f (t) LTI y(t)第一步，定义冲激响应： (t) LTIh(t)第二步，利用系统时不变性： (t ) LTI h(t )性： f ( ) (t ) LTI f ( ) h(t )第三步，利用系统的tt ) (t )d f ( )h(t )dLTIf (第四步，利用系

19、统的可加性（连续加）：上式左边正好是输入信号 f (t) ，而右边则是系统的响应输出 y(t) 。即：ty(t) f (t)* h(t) f ( )h(t )d（2-1）2卷积积分的图解法卷积积分的图解法能直观的理解卷积的计算过程并加深对其物理意义的理解，而且在确定卷积积分的上下限时，用图解法将是一种极有用的辅助。它的一般步骤如下：换元。用 替换t ，得到关于 的函数 f ( ) 和 h( ) 。反折。将 h( ) 沿纵坐标反折，得到 h( ) 。时移。将 h( ) 沿 轴移动某一时刻t0 ，得 h(t0 ) 。相乘。将时移后的 h(t0 ) 乘以 f ( ) 得 f ( ) h(t0 ) 。

20、积分。沿 轴对上述乘积函数 f ( ) h(t0 ) 积分，得 y(t0 ) ，即：y(t0 ) f ( )h(t0 )d（2-2）（6）卷积积分。以t 为参变量，将波形 h(t ) 连续地沿 轴平移，就得到任意时刻t 的卷积积分，即： y(t) f ( )h(t )d3卷积积分的性质卷积积分运算满足以下性质：（1）交换律： f (t)*h(t) h(t)* f (t)（2-3）（2）分配律： f (t)*h1(t) h2 (t) f (t)*h1(t) f (t)*h2 (t)（2-4）（3）结合律： f (t)*h1(t)*h2 (t) f (t)*h1(t)*h2 (t)（2-5）（4）

21、卷积的微分： y(t) f (t)*h(t) f (t)*h(t)（2-6）( 1)( 1)（5）卷积的积分： y(1) (t) f(t)*h(t) f (t)*h(t)（2-7）( n )（6）卷积的微积分： y(t) f(t)* h(n) (t) ， y(n) (t) （7）含有冲激的卷积：f (t)* (t) (t)* f (t) f (t)( k )f(t)* h(nk) (t) （2-8）（2-9）f (t)* (t t1) (t t1)* f (t) f (t t1)f (t t1)* (t t2 ) f (t t2 )* (t t1) f (t t1 t2 )（2-10）（2-1

22、1）f (t) f1(t) * f2 (t) f1(t t1)* f2 (t t2 ) f1(t t2 )* f2 (t t1) f (t t1 t2 )（2-12）f (t)* (t) f (t) ；（2-13）tf (t)* (1) (t) f (t)*u(t) f ( )d（2-14）4卷积和的定义推导也就是说，信号 f n经过 LTI 系统的响应 yn 如何求取问题，即： f n LTI yn第一步，定义冲激响应： n LTIhn第二步，利用系统时不变性： n k LTI hn k性： f k n k LTI f khn k第三步，利用系统的第四步，利用系统的可加性： f k n k

23、LTI f khn kk k 上式左边正好是输入信号 f n，而右边则是系统的响应输出 yn。即：yn f n* hn f khn kk （2-15）5卷积和的图解法利用图解法求卷积和的一般步骤为：换元。用 k 替换 n ，得到关于 k 的函数 f k 和 hk。反折。将 hk沿纵坐标反折，得到 hk。时移。将 hk 沿 k 轴移动某一时刻 n0 ，得hn0 k 。相乘。将时移后的 hn0 k 乘以 f k 得 f k hn0 k。求积。沿 k 轴对上述乘积函数 f k hn0 k求和，得 yn0 ，即：yn0 f khn0 kk 卷积和。以 n 为参变量，将波形 hn k 连续地沿 k 轴平

24、移，就得到任意时刻n 的卷积和，即： yn f khn kk 可见，卷积和与卷积积分的计算步骤十分相似，只不过最后一步前者是求和，后者是积分而已。6卷积和的性质卷积和运算满足以下性质：（1）交换律： f n* hn hn* f n（2-16）（2）分配律： f n*h1n h2n f n*h1n f n*h2n（2-17）（3）结合律： f n*h1n*h2n f n*h1n*h2n（2-18）（4）卷积的差分： yn 1 f n 1* hn f n* hn 1（2-19）n（5）卷积的求和： ym y(1)n f ( 1) n* hn f n* h( 1) nm（2-20）（6）卷积的微积分

25、： y(t) f n m* hn m ， yn k f n m* hn (m k)（2-21）（7）含有冲激的卷积：f n*n n* f n f n（2-22）f n*n n1 n n1* f n f n n1f n n1* n n2 f n n2 *n n1 f n n1 n2 （2-23）（2-24）f n f1n* f2n f1n n1* f2n n2 f1n n2 * f2n n1 f n n1 n2 （2-25）nf n* (1)n f n*un f mm（2-26）难点1线性时不变连续系统的时域解法，或微分方程的求解nn i i微分方程：（2-27）a y (t) b f(t)(i

26、 )(i )i 0（1）经典解法。i 0解是由形式为cet 的函数组合而成。若方程的 n个特征根都互不相同，微分n方程的特征方程中根1 是 r 重根，而其它（n-r） i方程的解为 y t；若(t) c ei 1ic。特解 y (t) 的函数形式与激励个根都是单根，则解为rny (t) c tec er i ttpijciji 1j r 1函数形式有关。（2）零输入响应与零状态响应一个系统，以起始观察时间为界，将其输入分解成两部分，一部分为初始状态xn (t0 )，另一部分为t0 时刻加入的激励信号 f (t) 。当系统输入 f (t) 0 时，仅由t0 时刻状态引起的响应，称为零输入响应。记

27、为 yx (t) ，即 yx (t)Lxn (t0 ),0。当系统t0 时刻的状态为零，仅由外加的激励信号 f (t) 引起的响应，称为零状态响应，记为 y f (t) ，即 yf (t)L0, f (t)。补充材料与学习参考1卷积和的多项式相乘法对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多项式乘法求解。例 2.1 已知 f n 2,1,5 ,n=0,1,2, hn 3,1,4,2,n=0,1,2,3。求 y f n 。2 2x3 hn 3,1,2,4a(解： 设f n 2,1,52b(x3103132210 f 6,5,24,13,22,10另外，对于一个半无限序列与一个有限序列，或两个同方向

28、的半无限序列的卷积，仍可1,1*1,2,3,4，. 1,3,5,7,.1,2,3,4,.*1,2,3,4,. 1,4,10,.用多项式相乘求卷积和时，要注意的是不能进位以及起始位置，相关资料或者通过习题来掌握这种方法。2卷积和的列表法用乘法来完成。例如可以在课后查阅k f (i)i0均为因果序列，则 f (k) f1(k)*( i) ，可见，如果，122f2求和符号 内的序号 i 与的序号(k-i) 之和恰好为 k 。各1f(1 )( 0,1.) 的值排成一行，将 f2(k)(k 0,1 .) 的值排成一列，得到表 2-1。表 2-1 卷积和的列表法通过列表，可以发现，沿斜线上各项 f (i)

29、 f的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式相同。沿斜线上各数值之和就是卷积和，列表法直观易懂，阅相关资料进行了解。可以课后查本章小结本章主要学习了系统的时间响应和时域特性。这些知识将是后续各种变换分析的基础。在学习过程中，要注意对比学习方法。连续时间系统的时域分析。先介绍了连续时间系统的微分方程描述及经典解法，涉及齐次解、特解、零输入响应、零状态响应、响应、强迫响应等概念；然后给出了冲激响应和阶跃响应的概念；接着利用冲激响应定义和线性时不变系统的时不变性、比( ) 经过 LTI 系统的响应)(求取过程，即卷积积例性、可加导出了普通信号分定义的推导过程；之后介绍了卷积积分的求解方法和基本性质

30、；最后针对 LTI 系统，给出了其因果性、稳定性、性的条件。离散时间系统的时域分析。先介绍了离散时间系统的差分方程描述及经典解法，涉及齐次解、特解、零输入响应、零状态响应、响应、强迫响应等概念；然后给出了冲激响应和阶跃响应的概念；接着利用冲激响应定义和线性时不变系统的时不变性、比导出了普通信号 f n例性、可加经过 LTI 系统的响应求取过程，即卷积和定义的推导过程；之后介绍了卷积积分的求解方法和基本性质；最后针对 LTI 系统，给出了其因果性、稳定性、【阶段测试和解答】性的条件。1.信号)(与)(卷积运算的定义式为。解：信号)(与)(卷积运算的定义式为 x(t) h(t )h(t )d 。x

31、2、如图 2-1 所示的信号与，画出此时的输出y 的波形。n * h n2211-101n0123n图 2-1 与的波形yn* h n解：的波形如图 2-2。43yn1-101234n图 2-2 的波形)()(，画出 yt * x t3如图 2-3 所示的信号与波形。1-101t图 2-3 )(的波形解： yt * x t 的波形如图 2-4。2-202t图 2-4 )(的波形第三章 连续时间信号与系统的分析导学提示从本章开始将由时域分析转入变换域分析，在本章中将连续时间信号与系统的叶分析。学习本章需要用的前续知识为级数正交函数展开。本章要解决的关键问题为连续周期信号的级数展开以及用于系统、连

32、续非周期信号的变换以及用于系统。学习该部分知识需要特别注意是分析在信号分析与系统设计中的重要应用。通过本章的学习，能掌握线性时不变系统对复指数信号的响应、周期信号的级数表示、变换的定义及基本性质、采样定理的应用，能够运用本章概要变换分析 LTI 系统。本章学习内容主要包括连续时间线性时不变系统对复指数信号的响应，连续周期信号的级数表示，周期信号的非周期信号的表示:连续时间级数近似与变换，级数的收敛级数性质及举例，变换的线性，时移，频移，反折，尺度变换，卷积，微分，频域微分，积分，相乘性质，对偶，瓦尔关系等性质，抽样定理，无失真传输与理想低通滤波器，线性时不变连续系统的频域分析法。重点：连续时间

33、信号变换的性质，线性时不变连续系统的频域分析法难点：LTI 系统对复指数信号的响应，学习建议与实践活动级数的计算本章是分析法的基础，在本门课程中起着重要的作用，建议按照以下方式进行学习。首先，回忆高等数学中关于换之间的联系进行展开。重点是关注定要自己认真动笔计算一下。关键知识级数展开的相关内容；要抓住级数和变一变换性质的各种例子，对于这些例子，1 连续时间线性时不变系统对复指数信号的响应一个 LTI 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，也就是说：f (t) est LTI y(t) H (s)est其中，复指数信号 est 为系统特征函数，H(s)为系统特征

34、值。（3-1）若连续时间 LTI 系统的冲激响应为 h(t)，则系统特征值为 H(s)：+ )edsH (s)=h(（3-2）-2 一些典型信号的变换1a j单边指数信号： f (t)=eatu(t), a 0 （3-3）2a a2 2双边指数信号： f (t)=ea|t|u(t) （3-4）f (t) 1,| t | T1 2sin T10,T | t | T（3-5）矩形脉冲：1冲激函数： f (t)= (t) 1（3-6）1阶跃函数： f (t)=u(t) ()（3-7）j复指数信号： f (t)=e j0t 2 ( )（3-8）0余弦信号： f (t)=cos0t ( 0 ) ( 0)

35、正弦信号： f (t)=sin0t j ( 0 ) ( 0)（3-9）（3-10）连续时间信号抽样定理变换的性质设 f(t) 是某一个带限信号，即 f (t) FT F( j)，且，F( j)=0，|， 如果M= 2 2 ，其中，那么 f(t)就唯一地由其样本值 f (nT ), n 0, 1, 2,所确定。sMsT5 线性时不变连续系统的频域分析法。重点讲解重点讲解连续时间信号1连续时间信号（1） 线性变换的性质和线性时不变连续系统的频域分析法。变换的性质f (t) FT F( j)，y(t) FTY ( j) af (t) by(t) FTaF( j) bY ( j)（3-11）（2）时移

36、： f (t) FT F( j) f (t-t ) FT e jt0 F( j)0（3）共轭及共轭对称性： f (t) FT F( j) f *(t) FT F*( j)（3-12）（3-13）f (t) FT F( j) f (t) FT jF( j)（4）微分与积分：（3-14）) f ( )d FT 1 F ( j) F (0) ()t F ( jFTf (t) （3-15）j-（5）时间与频率的尺度变换：f (t) FT F ( j) f (at) FT F ( j )（3-16）1| a |a（6）对偶性： f (t) FT F( j) F( jt) FT 2 f ()（3-17）2

37、12+) |f (t)| dt - |F( j)| d（3-18）2f (t) F ( jFT（7瓦尔定理：-（8）卷积性质： y(t) f (t)*h(t) FT Y ( j) H ( j)F( j)（3-19）1（9）相乘性质： r(t) s(t) p(t) FT R( j) S( j)* P( j)（3-20）2变换F( j) .例 3.1 现在求(a)图 3-1 中信号 f(t)的f(t)11-1-1-1-1-(c)(a)(b)图 3-1变换式求解 F( j) ，而是考虑利不直接对 f(t)应用思路变换的性质。首先，对 f(t)求微分得 g(t)：dg(t) f (t)dtg(t)就是

38、一个矩形脉冲和两个冲激函数的和，如图（b）和（c）。（3-21）g(t)的变换为G( j) 2sin e j e j（3-22）利用积分性质，得F ( j)=G( j) G(0) ()= 2 sin - 2 cos1（3-23）jj2j2+E |f (t)| dt ；2）D f (t)| 例 32 如图 3-2 所示为两个信号的变换。求：1）t 0-F( j)F( j)j 1001tt1112-0.50.5 12 j / 2图 3-2分析：对于问题 1）要求信号能量，而已知的是信号的瓦尔定理。变换，这就需要利用212+E - |f (t)| dt 2 - |F( j)| d（3-24）对于左面

39、的图，有 1 22 1 2258+-0 5-0)| d=2（ （ ）d+（ /2）d）=E=|F( j（3-25）2-1-0 5同理得右图 E=1.对于问题 2），要在频域中求 D，那么首先利用微分性质：g(t) f (t) FT G( j) jF( j)（3-26）11注意到 D g(0) G( j)d jF ( j)d ，经过计算，左图的 D=0，22右图 D=- 。2线性时不变连续系统的频域分析法变换方法能把一个由微分方程表征的 LTI 系统大大方便于对 LTI 系统频域性质的分析。下面举例说明。例 3.3 有一稳定的 LTI 系统，由如下微分方程表征：演变为直接的代数问题，这d 2 y

40、(t)dy(t)df (t)+3y(t) 2 f (t)+4dt2dtdt（1） 求该系统的冲激响应。（2） 若系统的输入是 f (t) etu(t) ，求该系统对应的输出。分析：（1）系统的频响： H ( j) Y ( j) j+2F ( j)( j)2 （4 j）+311然后，利用部分分式展开，得： H ( j) Y ( j) 2 + 2F ( j)j+1j+3反变换，得： h(t) 1 e u(t)+eu(t)1t3t对上式求221j+1变换是： F ( j) （2）输入信号的j 21输出为： Y ( j) H ( j)F ( j) ()()j+1 ( j)2 4 j 3求得该式的反变换

41、为：y(t) 1 e u(t)+te u(t) eu(t)11tt3t424难点1LTI 系统对复指数信号的响应例 3.4 有一稳定的 LTI 系统，由如下微分方程表征：dy(t) +2y(t) f (t)dt若系统的输入是 f (t) e2t， t ，求该系统对应的输出。LTI 系统对复指数的响应这个知识点。对 LTI 系统，当输入为复分析：本例题主要+ )ed s ，所以首先要求该系统的stst指数信号e 时，对应输出 y(t)=eh(冲激响应-h(t)。解：由上述微分方程，得系统频域响应： H ( j) Y ( j) 1F ( j)j+2h(t) e2tu(t)反变换，得冲激响应1+ )

42、ed2 =e2 2 =e2t2t2t对应输出： y(t)=eh(eed4-02级数的计算例 3.5 有一信号 g(t)，基波周期 T=4。求 g(t)的g(t) 级数表示式 dk。1233542101246t 12图 3-3解：分析思路：思路 1：本题本可以用分析公式直接求 g(t)的复杂。思路 2：直接利用对称性周期f(t)f (t) 级数表示式 dk，但这样计算会显得1TT T1T T1T1T10T T1TT T1t图 3-4x(t)的关系以及现在就利用 g(t)与上述级数的性质来求解。比较 g(t)与 f(t)，可以得到它们的关系为： g(t) f (t 1) 12 a e jk /2系

43、数b若 f(t)的级数系数为 ak，那么利用时移性质，f(t-1)的kk0, k 0 在 g(t)中直流偏移这一项（即-1/2 这项）的级数系数 ck 是： c 1 , k 0k2a e jk /2 , k 0 k级数表示式 dk 可表示为 da利用线性性质，g(t)的 1 , k 02k 0sin( k / 2) e jk / 2 , k 0 k得到： dk0, k 0补充材料与学习参考1抽样定理的应用f(t)fr(t)fp(t)p(t图 3-5为一采样与恢复系统，其中 x(t) 为模拟信号， p(t) 为周期冲激脉冲串p(t)=T (t) ns ) ，H(j)为一理想低通滤波器。下面画出各

44、信号的频谱图。图（a）为待抽样的模拟信号频谱，图（c）为理想低通滤波器频谱，其参数值为M w s M 。从图可以看出，经过理想滤波器之后，信号得到了恢复。F()1(a)-MM0Fp()（b）1/Ts-s-Ms0（c）H()（d）Fr()Ts1-MM0-w0w图 3-62通信系统前面几章所建立的许多概念和方法在通信系统的分析和设计中都起着里关于正弦幅度调制和解调系统做一些简单的介绍。调制：将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程。的作用。在这H(j)解调：将载有信息的信号提取出来的过程。调幅（AM）：用被传输的信号调制另一个信号的振幅。 调频（FM）：用载有信息的信号调制另一个信号的频率。（1

45、）调制系统c(t)y(t)=f(t)c(t)f(t)图 3-7如上图所示为调制系统，其中，信号 f(t)称为调制信号（modulating signal），而 c(t)称为载波信号（Carrier signal）。当c(t) e jct 时，为复指数载波的幅度调制。当c(t) cosct 时，为正弦载波的幅度调制。（2）解调系统复指数载波的解调系统：y(t)f(t)图 3-8正弦载波的解调系统图 3-9本章小结1复指数信号是线性时不变系统的特征函数，而系统的特征值为：+ )edsH (s)=h(-2建立了用级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。 k kjk t /T )tf (t

46、) a ea e jk (20k k 3研究了线性时不变系统的频率响应及其对周期信号的响应。4建立了连续时间信号的变换表示。 1 2+) f (t)edt ， f (t) jt )edt jF ( jF ( j-变换 F(j)时，可5研究了变换的许多很有用的性质。在求解复杂图形的将其化为常见基本信号的组合形式，然后利用性质来求解。6卷积性质、相乘性质以及采样定理的应用。7了分析方法用于研究由常系数微分方程描述的线性时不变系统。【阶段测试和解答】1.对于以下 LTI 系统，输出 y(t)和输入 x(t)间的关系为:y(t) x(t 3)若该系统的输入是复指数信号 x(t) e j5t ，求输出信

47、号。解：y(t) e j5(t 3)+-变换为F( j) ，则f (t)dt 1j2.若连续时间信号 f(t)的1解：13判断题。周期信号的频谱具有离散性，离散信号的频谱具有周期性。解：正确4.利用变换性质，求下列信号的变换：x(t) e2(t1)u(t 1)解：e j2 jX ( j) 第四章 离散时间信号与系统的分析导学提示本章采用与上一章相同的方法研究离散时间信号与系统的分析。可以看到，离散时间的频域分析与连续时间的频域分析既有许多相似的地方，也存在一些重要区别。抓住它们之间的相似之处与掌握其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。通过本章的学习，能掌握线性时不变系统对复指

48、数信号的响应、离散时间变换的定义及基本性质，能够运用离散时间课程的作用。本章概要变换分析 LTI 系统，了解本章对后续“数字信号处理”本章学习内容主要包括离散时间线性时不变系统对复指数序列的响应，周期序列展开为级数，非周期序列的表示:离散时间变换（DTFT）， 周期序列的离散离散时间时间变换，离散时间变换的性质，线性时不变系统的频域分析法。需要注意的是，系统可以有初始状态为零或不为零两种情形，这一点在差分方程中未得到反映。由于用变换求解系统响应是以系统的正弦响应为基础，这一点对离散时间系统也不例外，所以按照上述过程求得的 yn，只是系统的零状态响应，如果系统的初始状态不为零，则需补充零输入响应

49、，才能得到系统的全响应。重点：离散时间 LTI 系统对复指数序列的响应；离散时间变换定义和基本性质；运用变换分析 LTI 系统的方法。难点：离散时间 LTI 系统对复指数序列的响应学习建议与实践活动本章的离散时间变换和第三章一起完整地建立了分析方法。本章基本分析之间的类似性来上与第三章所采用的办法相同，即充分利用连续时间和离散时间展开，首先建立离散时间非周期信号的变换表示，接着分析其性质和特点。这样分析基本概念的理解，而且还对比了它做不仅加深了对连续时间和离散时间所共有的们之间的差别。对于本章的学习通过自己的理解熟悉本章内容，归纳和比较了解本章的重点和难点内容，注意和第三章的联系和区别对已给例

50、题进行剖析，然后自己独立完成习题练习，最后将本章知识巩固归纳达到内化和灵活运用的效果。关键知识1. 离散时间线性时不变系统对复指数序列的响应一个离散时间 LTI 系统对复指数序列的响应也是同样一个复指数序列，不同的只是在幅度上的变化，也就是说：zn LTI H (z)zn其中，复指数序列 zn 为系统特征函数，H(z)为系统特征值。（4-1）2. 离散时间变换 f n 1 F (e j )e jnd2 2（4-2）F (e ) f ne jn nj3. 一些典型的离散掌握一些典型信号的很多方便。变换对变换，对于求一些其它信号的变换，将会带来11 ae j单边指数序列： f n=anun,| a

51、 | 1 （4-3）1 a21 2a cos a2双边指数序列： f n=a un,| a | 1 |n|（4-4）4. 离散时间变换的性质周期性，线性，对称性，时移和频移，时间和频率尺度变换，差分与累加，频域微分，瓦尔定理，卷积特性5. 线性时不变系统的频域分析法重点讲解本章重点有：离散时间 LTI 系统对复指数序列的响应；离散时间变换定义和基本性质；运用1. 离散时间变换分析 LTI 系统的方法。下面以举例的方式进行详细说明。变换的定义已知信号 f n anun,| a | 1,求其离散例 4.1变换。分析：用定义式直接求解：F (e j ) f ne jn =ane jn 1（4-5）1

52、 ae jnn02. 离散时间（1）周期性：变换基本性质F(ej ( +2）) F(ej )（4-6）这点与连续时间（2）线性：变换是不同的。af n bf nDTFT aF (e j ) bF (e j )（4-7）1212（3）时移与频移性质f nDTFT F(ej ) f n-n DTFT e jn0 F(ej )0f nDTFT F(ej ) e j0n f nDTFT F(ej(0 ) )共轭和共轭对称性f nDTFT F (e j ) f *nDTFT F *(e j )若fn为实函数，F(e j )=F*(e j )差分与累加f n-fn 1DTFT (1 e j )F(ej )

53、（4-8）（4-9）（4-10）（4-11）f mDTFT 1 F (e j ) F (e j0 ) 2 k（4-12）(1 e j )mk （6）时间反转： f nDTFT F(ej ) f -nDTFT F(e- j )（4-13）dF (e j )dj频域微分： f n F (e ) nf n jDTFTDTFT（4-14）（7）（8）瓦尔定理：f nDTFT F (e j ) n 1 2| f n | | F (e ) | d22j（4-15）2难点1离散时间 LTI 系统对复指数序列的响应例 4.2 已知因果线性时不变系统，且由下列差分方程描述yn- 1 yn 1 2 f n4若输入

54、为序列 f n=(-2)n , n ，求对应输出 yn。分析：对 LTI 系统， 若输入为复指数序列 f n=zn , n ， 则对应输出为yn=zn hkzk 。可见，为了得到输出，首先要求出系统的k 冲激响应 hn。解：由差分方程，得系统的频率响应为：Y (e j )F (e j )2jH (e ) （4-16）1- 1 e- j4经离散反变换，得系统冲激响应： nhn=2un1（4-17）4则输出为：kyn=zn hkzk =(-2)n hk(2)k (-2)2(2)k 16 (-2)nn14（4-18）9k k k 0补充材料与学习参考1.变换的离散性和周期性在时域与变换域的对称关系本

55、章小结1.时间2.3.建立了离散时间周期信号与非周期信号的频域描述方法离散变换。级数和离散通过离散时间变换性质的，研究了信号时域特性与频域特性的关系。对离散时间 LTI 系统建立了频域分析的方法。【阶段测试和解答】1. 若离散时间信号 f n=n 1 ,则 Fe j 解： Fe j e- j变换为 F (e j ) 。求：2. 如图 4-1 所示信号 f n，其（1） F(e ) ? （2）F (e )d ?j 0j-2-31-4-2-1图 4-102n-1解：（1） F (e j0 ) n f n 3 。nf ne jn 0（2）F (e )d 2 f 0 4j-第五章 连续时间信号与系统的

56、复频域分析导学提示复频域分析是前面章节中分析法的一种延伸和推广。引入复频率,任意信号可分时域信号频域信号连续的、非周期的非周期的、连续的连续的、周期的非周期的、离散的离散的、非周期的周期的、连续的离散的、周期的周期的、离散的解为不同复频率 s j 的复指数分量est 之和的形式，从而将频域中的变换推广变换，系统到复频域的变换，以解决变换的局限性问题。主要学习内容有：的复频域分析，系统的典型表示方法及它们之间的相互转换，应用本章概要变换分析具体电路。本章主要内容包括连续时间信号变换及其基本性质，连续时间系统响应的复频域分析，连续时间系统的系统函数与系统特性，以及连续时间系统的模拟几大方面。从换对

57、，变换到变换与变换，单边变换的关系，变换及其存在的条件，常用信号的变换反变换的基本方法，信号单边变变换基本性质，连续系统响应的复频域分析系统函数的概念，以及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。连续系统的模拟框图。重点：数与系统特性。难点：变换的收敛域，常用变换对，变换基本性质，系统函反变换，电网络的分析。学习建议与实践活动分析法在研究涉及信号与线性时不变系统的很多问题都极为有用，但分析分也具有一定的局限性。因此学习本章内容时，首先应该复结前面章节学习过的析方法；在此基础上归纳和比较变换和变换在其性质和应用等方面异同点，学习本章的新知识，掌握本章的重点和难点内容；最后通过本章知

58、识分析所学过的电路分析课程中的具体电路，达到理论和实践相结合的目的。关键知识拉氏变换定义及基本性质；常型信号的拉氏变换对；求解信号拉氏变换(包括正变换和反变换)的基本方法；运用拉氏变换分析 LTI 系统的方法；信号时域特点与拉氏变换收敛域的关系；系统函数 H(s)收敛域与系统因果稳定性的关系；系统的典型表示方法：H(s)、 h(t)、微分方程、模拟框图、信号流图，及他们之间的相互转换；采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法；应用拉氏变换分析具体电路等知识。重点讲解1变换的收敛域变换收敛域的性质：F(s)的收敛域在 S 平面由平行于 j轴的带状区域所组成的。收敛域不包含任何极点。如果 f(

59、t)是有限持续期信号，并且绝对可积，那么收敛域就是整个 s 平面。如果 f(t)是右边信号，其收敛域在最右边极点的右半平面。如果 f(t)是左边信号，其收敛域在最左边极点的左半平面。若 f(t)是双边信号，即无始无终信号，则其收敛域是由 s 平面的一条带状区域组成。2一些常用信号的变换对（1） f (t) eatu(t)LF(s) 1 ,Res Reas a（2） f (t) eatu(t)LF(s) 1 ,Res Reas a（3） f (t) e b t L F(s) 2b , b Res b,b 0s 2 b2（4） f (t) (t) L F(s) 1,ROC为整个s平面（5） f (

60、t) u(t)LF(s) 1 ,Res 0s1（6） f (t) (t ) sT , 1 eRes 0n0（7） f (t) cos t u(t) F(s) LRes 0 s 0s 2 20（8） f (t) sin t u(t) F(s) L Res 00s 2 20其它信号的变换，可利用以上简单信号的变换对再加上性质，可以求解。3拉氏变换的基本性质下列性质的前提条件为 f (t)LF(s), ROC R ， f (t)LF (s), ROC R ，及111f (t)LF (s), ROC R222（1）线性： a f (t) a f (t)La F (s) a F (s), ROC R R