集合及集合的表示知识讲解

1、集合及集合的表示【学习目标】了解集合的含义，会使用符号七”气”表示元素与集合之间的关系.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感 受集合语言的意义和作用.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、 解集和一些基本图形的集合等.【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础， 一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上另一方面，集合论 及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东

2、西是否属于这个总体.一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合 (set)，也简称集.关于集合的元素的特征确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对 象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1, 3, 2组成一个集合，它们都表示同一个集合.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A,记作ae A如果a不是集合A的

3、元素，就说a不属于(not belong to)A,记作a wA集合的分类空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作：0.有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之 外还常用列举法和描述法来表示集合.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于 等于8的偶数构成的集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内

4、.如：1，2, 3, 4,5， x2, 3x+2, 5y3-x, X2+y2,；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们 常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法 称为韦恩（Venn）图法.如下图，就表示集合3,4 .2, 3,【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？（1）著名的数学家；（2）比较小的正整数的全

5、体；（3）某校2011年在校的所有 高个子同学；（4）不超过20的非负数；（5）方程x2-9 = 0在实数范围内的解；（6） 豆的近似值的全体.答案：（4）、（5）解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以（1）、（2）、（3）不是集合，同理（6）也不是集合.（4）、（5）可构成集合，故答案是（4）、 （5）.点评:（1）判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对 于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元 素的互异性、无序性.（2）“有限集”和“无限集”是通过集

6、合里面元素的个数来定义的，集合里 面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它 是有限集还是无限集.（1）你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；（2）举办2008年奥运会的城 市；（3）高一数学课本中的所有难题；（4）在2011年3月11日日本地震海啸中 遇难的人的全体；（5）大于0且小于1的所有的实数.答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.（1）你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集 合，且为有限集；

7、（2）举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；（3）不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于 一道数学题是否是“难题”无法客观判断.（4）在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而 能构成集合，是有限集.（5）大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能 构成一个集合，是无限集.例2.集合A由形如m*n（mc Z,n eZ）的数构成的，判断工是不是集合A2 如3中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，-L3 = 2 +睿.由题中集合A可知m = 2,n = 1,均有 m e Z, ne Z， :.2 +3 e A，

8、艮P 一二 e A .2 - *3点评:(1)解答本题首先要理解与右的含义，然后要弄清所给集合是由一 些怎样的数构成的，工能否化成此形式，进而去判断工是不是集合A中2 - ；32 -寸 3的元素.(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这 个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合 中元素所具有的形式.举一反三：【变式 D 设S=xlx=m+x/2n,m,n e Z若aeZ，则是否有aeS?对S中任意两个元素x，x，则x +x，x x，是否属于集合S?121212答案：ae S是解析：(1)若 aeZ，则有 aeS，即 n=0 时，xeZ，A

9、aeS；(2)vx ， x eS，则 x =m + *2n ,x =m + % 2n (m ,n ,m ,n eZ) 121 11 222 1 1 2 2.工 + 工 =(m + m ) + 2(n + n ) e S (m + m e Z, n + n e Z) TOC o 1-5 h z 1212121212x - x =(m +2n ) - (m +2n )=m m +2n n +% 2(m n +m n )121122121 21 22 1*.*m，n， m，n eZ，.mm+2nn e Z，m n +m n eZ11221 21 21 22 1.*.x1 x2 e S.类型二：元素与

10、集合的关系例3.用符号七”或“冬”填空.2的妇 x 43x I x = n 2 +1, n e N ,5x I x = n 2 +1, n e N ；(1,1)y I y = x2,(1,1)(x, y) I y = x2.解析：给定一个对象a,它与一个给定的集合A之间的关系为a e A，或者a史A , 二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才 能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先 将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3, x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.2、：3 =、

11、宓 、；!，. 2、；3 宅x I x 吊=4, 3克 e x I x 4 令 3 = n2 +1，则 n = /2 史 N，二 3 史x I x = n2 +1, n e N ；令5 = n2+1，则 n = 2,其中2 e N , 5 e x I x = n2+1，n e N ；V (-1, 1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2, (1,1)金y I y = x2,(1,1) e (x, y) I y = x2.点评：第(1)题充分体现了 “化异为同”的数学思想另外，“见根号就平方” 也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合x I x = n2+1, n e

12、N 这个“口袋”中是装了些X呢？还是装了些n呢？要特别注 意描述法表示的集合，是由符号“I”左边的元素组成的，符号“I”右边的 部分表示X具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合 y I y = x 2这个“口 袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合 (x, y )I y = x2是由抛物线y = x 2上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】用符号“”或“”填空 若 A=Z,则1A ； 2 A.2 若B = 12x2 x 1 = 0则1B ； 2 B .2 答案： , e (2) e , 类型三：集合中元素性质的应用例 4.定义集合运算：Ad B

13、= z I z = xy(x + y),x e A, y e b-设集合 A = 。, #，B = 2,3，则集合AaB的所有元素之和为A. 0 B. 6 C. 12 D. 18答案：D解析：A B = z I z = xy(x + y),x e A, y e B ， 当 A = 0,1,B = 2,3时， Ad B = 0 , 6 ,，1于是B的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成 某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算 和新法则等类型.举一反三：【变式 1】定义集合运算：A * B = z I

14、z = xy, x e A, y e B，设 A = 1,2，B = 0,2， 则集合A * B的所有元素之和为()A. 0 B. 2 C. 3 D. 6答案：D解析： :z = xy, x e A, y e B， 且 A = 1,2 ，B = 0,2，z的取值有：0, 2, 4故 A * B = 0,2,4 ，集合A * B的所有元素之和为：0+2+4=6.高清课程：集合的表示及运算例5.设集合A = （x e R | ax2 + 2x +1 = 0 ，当集合A为单元素集时，求实数a的 值.答案：0，1解析：由集合A中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方 程并没有注明

15、是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当aN0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的 根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.例6.已知集合A =a + 2,（ a +1）2, a 2 + 3a + 3），若1e A，求实数a的值及集合A .答案：a = 0，A = 1,2,3.解析:（1）若 a + 2 = 1,则 a = -1.所以A = 1,0,1，与集合中元素的互异性矛盾，则a = -1应舍去.（2）若（a +1）2 = 1，贝V a = 0 或 a = -2，当a = 0时，A = 2,1

16、,3满足题意；当a = -2时，A = 0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，则a = -2应舍去.（3）若a2 + 3a + 3 = 1，则a = -1或a = -2，由上分析知a = -1与a = -2均应舍去.综上，a = 0，集合 A = 1,2,3 .点评：本题中由于1和集合A中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此 类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解 的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合A = ? + 2,a2 + 2，3 e A，求实数a的值答案：a = -1解析：当a + 2 = 1，即

17、a = -1时，A = 3,3，与集合的概念矛盾，故舍去当a2 + 2 = 3,即a = 1时，a = 1不满足题意舍去，故a = -1.类型四：集合的表示方法例7.试分别用列举法和描述法表示下列集合：方程X2 -3 = 0的所有实数根组成的集合；由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案： (1) 、3- .君; (2) 16,17,18,19,20,21,22,23,24 。解析:(1)设方程x2 -3 = 0的实数根为X，并且满足条件X2 -3 = 0因此，用描述法表示为A = x I x2 -3 = 0, x e R；方程X2 -3 = 0有两个实数根点-V3因此，用列举法表示为A

18、= 3，-*.(2)设大于15小于25的整数为X，它满足条件xe Z，且15x25，因此，用描述法表示为B = x I15 x -x (5) M =x(6)P=x|x(x-a)=0， aE R解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什 么.A=(1， -2， -1， 2B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)C=(0，1，2，3D=(0，0) M=0(6)当 a#0 时，P=0，a；当 a=0 时，P=0.点评：此例题（2）与（3）, （4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6） 考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母ae R，需要分类讨 论.【变式2】用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3的数；（2）方程x2 + y2 -4x + 6y +13 = 0