2023届黑龙江省安达市第七中学高考数学一轮复习：向量法求空间角 练习题（含答案）

1、向量法求空间角练习一、选择题1.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cos m，neq f(r(3),2)，则l与所成的角为()A.30 B.60 C.120D.1502.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.eq f(r(10),10) B.eq f(1,20) C.eq f(1,20) D.eq f(r(10),10)二、填空题3.已知点M(0，1，2)，平面过原点，且平面的法向量n(1，2，2)，则点M到平面的距离为_.4.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_.5.在空

2、间中，已知平面过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a0)，如果平面与平面Oxy所成的角为45，则a_.三解答题6.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.7.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角.8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PAe

3、q r(15)，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：ABPM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.9.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.10.在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQAeq r(5)，QC3.(1)证明：平面QAD平面ABCD；(2)求平面BQD与平面AQD夹角的余弦值.11.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.(1)证明

4、：OACD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.12.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.13.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求平面CPB与平面APB夹角的余弦值.14.在三棱锥ABCD中，已知CBCDeq r(5)，BD2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO2，E为AC的中点

5、.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BFeq f(1,4)BC，设平面DEF与平面CDE夹角的大小为，求sin 的值.15.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM.(1)求BC；(2)求二面角APMB的正弦值.16.如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为eq f(1,3)，求线段CF的长.17.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面AB

6、CD，ABBCeq f(1,2)AD，BADABC90，E是PD的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.答案：1. B2. D3. 24. 305. eq f(12,5)6. (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC.(2)解：设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCOeq r(3).如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，eq r(3)，2)，A(0，eq r(3)，0)，B(1，0，0)

7、，C(0，eq r(3)，0)，D(1，0，0)，所以eq o(PB,sup6()(1，eq r(3)，2)，eq o(AC,sup6()(0，2eq r(3)，0).设PB与AC所成角为，则cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(o(PB,sup6()o(AC,sup6(),|o(PB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(6,2r(2)2r(3)eq f(r(6),4).(3)解：由(2)知eq o(BC,sup6()(1，eq r(3)，0).设P(0，eq r(3)，t)(t0)，则eq o(BP,sup6()(1，eq r(3)，t).设平面PBC的法向量m

8、(x，y，z)，则eq o(BC,sup6()m0，eq o(BP,sup6()m0，所以eq blc(avs4alco1(xr(3)y0，,xr(3)ytz0，)令yeq r(3)，则x3，zeq f(6,t)，所以meq blc(rc)(avs4alco1(3，r(3)，f(6,t).同理，平面PDC的法向量neq blc(rc)(avs4alco1(3，r(3)，f(6,t).因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即6eq f(36,t2)0，解得teq r(6)，所以PAeq r(6).7. 解：以B为原点，分别以直线BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图).设AB

9、1，则B(0，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，Feq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，C1(1，0，1)，所以eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，eq o(BC1,sup6()(1，0，1).于是coseq o(BC1,sup6()，eq o(EF,sup6()eq f(o(BC1,sup6()o(EF,sup6(),|o(BC1,sup6()|o(EF,sup6()|)eq f(f(1,2),f(r(2),2) r(2)eq f(1,2)，所以直线EF和B

10、C1所成角的大小为60.8. (1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且M为BC的中点，所以CM2，CD1，DCM60，易得CDDM.又PDDC，且PDDMD，PD，DM平面PDM，所以CD平面PDM.因为ABCD，所以AB平面PDM.又PM平面PDM，所以ABPM.(2)解：法一因为PMMD，由(1)知PMDC，又MD，DC平面ABCD，MDDCD，所以PM平面ABCD.连接AM，则PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以AMeq r(7).又PAeq r(15)，所以PM2eq r(2).由(1)知CDDM，过点M作MECD交AD于点E，则MEMD.

11、故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(eq r(3)，2，0)，P(0，0，2eq r(2)，C(eq r(3)，1，0)，所以Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2)，所以eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(5,2)，r(2).易知平面PDM的一个法向量为n(0，1，0).设直线AN与平面PDM所成的角为，则sin |coseq o(AN,sup6()，n|eq blc|rc|(avs4alco1(f(o(AN,sup6()n

12、,|o(AN,sup6()|n|)eq f(f(5,2),r(15)eq f(r(15),6).故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为eq f(r(15),6).法二由(1)知AB平面PDM，所以NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角.连接AM，因为PMMD，由(1)知PMDC，又MD，DC平面ABCD，MDDCD，所以PM平面ABCD.又AM平面ABCD，所以PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以由余弦定理得AMeq r(7).又PAeq r(15)，所以PM2eq r(2)，所以PBPC2eq r(3).连接BN，结合余弦定理得BNeq r(11).连接AC，则由余弦定理得AC

13、eq r(21)，在PAC中，结合余弦定理得PA2AC22AN22PN2，所以ANeq r(15).所以在ABN中，cosBANeq f(AB2AN2BN2,2ABAN)eq f(11511,2r(15)eq f(r(15),6).设直线AN与平面PDM所成的角为，则sin cos BANeq f(r(15),6).故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为eq f(r(15),6).9. (1)证明：由已知得AMeq f(2,3)AD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNeq f(1,2)BC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.

14、因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解：取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AEeq r(AB2BE2)eq r(AB2blc(rc)(avs4alco1(f(BC,2)sup12(2)eq r(5).以A为坐标原点，eq o(AE,sup6()的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(eq r(5)，2，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(PM,sup6()(0，2，4)，eq o(PN,sup6()eq blc(rc)

15、(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2).设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则eq blc(avs4alco1(no(PM,sup6()0，,no(PN,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(2y4z0，,f(r(5),2)xy2z0，)可取n(0，2，1).于是|cosn，eq o(AN,sup6()|eq f(|no(AN,sup6()|,|n|o(AN,sup6()|)eq f(8r(5),25).直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为eq f(8r(5),

16、25).10. (1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QAQD，OAOD，则QOAD.又AD2，QAeq r(5)，故QOeq r(51)2.在RtODC中，COeq r(OD2CD2)eq r(5).因为QC3，故QC2QO2OC2，故QOC为直角三角形且QOOC.因为OCADO，OC，AD平面ABCD，故QO平面ABCD.因为QO平面QAD，故平面QAD平面ABCD.(2)解：在平面ABCD内，过O作OTCD，交BC于T，则OTAD，结合(1)中的QO平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系，则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，1，0)，故eq o(BQ,sup6()

17、(2，1，2)，eq o(BD,sup6()(2，2，0).设平面QBD的法向量为n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(no(BQ,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(2xy2z0，,2x2y0，)取x1，则y1，zeq f(1,2)，故neq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2).易知平面QAD的一个法向量为m(1，0，0)，故cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,1f(3,2)eq f(2,3).所以平面BQD与平面AQD夹角的余弦值为eq f(2,3).11.(1)证明：因为ABAD，O为

18、BD的中点，所以OABD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD.又CD平面BCD，所以AOCD.(2)解：法一如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.因为OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OCOBOD1，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，0).设A(0，0，a)，a0，因为DE2EA，所以Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，0，f(2a,

19、3).由题意可知平面BCD的一个法向量为n(0，0，1).设平面BCE的法向量为m(x，y，z)，因为eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，0)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0，f(2a,3)，所以eq blc(avs4alco1(mo(BC,sup6()0，,mo(BE,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(f(3,2)xf(r(3),2)y0，,f(4,3)xf(2a,3)z0，)令x1，则yeq r(3)，zeq f(2,a)，所以meq blc(rc

20、)(avs4alco1(1，r(3)，f(2,a).因为二面角EBCD的大小为45，所以cos 45eq blc|rc|(avs4alco1(f(mn,|m|n|)eq f(f(2,a),r(4f(4,a2)eq f(r(2),2)，得a1，即OA1.因为SBCDeq f(1,2)BDCDsin 60eq f(1,2)21eq f(r(3),2)eq f(r(3),2)，所以VABCDeq f(1,3)SBCDOAeq f(1,3)eq f(r(3),2)1eq f(r(3),6).法二因为OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OCOBOD1，所以BCD是直角三角形，且BCD90，

21、BCeq r(3)，所以SBCDeq f(r(3),2).如图，过点E作EFAO，交BD于F，过点F作FGBC，垂足为G，连接EG.因为AO平面BCD，所以EF平面BCD.又BC平面BCD，所以EFBC.又FGBC，且EFFGF，EF，FG平面EFG，所以BC平面EFG，又EG平面EFG，所以BCEG，则EGF为二面角EBCD的平面角，所以EGF45，则GFEF.因为DE2EA，所以EFeq f(2,3)OA，DF2OF，所以eq f(BF,FD)2.因为FGBC，CDBC，所以GFCD，则eq f(GF,CD)eq f(2,3)，所以GFeq f(2,3)，所以EFGFeq f(2,3)，所

22、以OA1，所以VABCDeq f(1,3)SBCDAOeq f(1,3)eq f(r(3),2)1eq f(r(3),6).12. (1)证明：连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABeq oal(2,1)AB2BBeq oal(2,1)2ABBB1cosABB13，AB1eq r(3)，BBeq oal(2,1)AB2ABeq oal(2,1)，AB1AB.又ABC为等腰直角三角形，且ABAC，ACAB.ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，ABB1C.(2)解：AB1eq r(3)，ABAC1，B1C2，B1C2ABeq oal(2,1)

23、AC2，AB1AC.如图，以A为原点，以eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()，eq o(AB1,sup6()的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，eq r(3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，eq o(BB1,sup6()(1，0，eq r(3)，eq o(BC,sup6()(1，1，0).设平面BCB1的一个法向量为n(x，y，z)，由eq blc(avs4alco1(o(BB1,sup6()n0，,o(BC,sup6()n0，)得eq blc(avs4alco1(xr(3)z0，,xy0，)令z1，得xyeq

24、r(3)，平面BCB1的一个法向量为n(eq r(3)，eq r(3)，1).eq o(AC1,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BB1,sup6()(0，1，0)(1，0，eq r(3)(1，1，eq r(3)，coseq o(AC1,sup6()，neq f(o(AC1,sup6()n,|o(AC1,sup6()|n|)eq f(r(3),r(5)r(7)eq f(r(105),35)，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为eq f(r(105),35).13.(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA垂直于圆所

25、在的平面，得PA平面ABC.由BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.又因为BC平面PBC，据面面垂直判定定理，平面PAC平面PBC.(2)解：过点C作CMAP，由(1)知CM平面ABC.如图所示，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中，AB2，AC1，所以BCeq r(3).又PA1，所以A(0，1，0)，B(eq r(3)，0，0)，P(0，1，1).故eq o(CB,sup6()(eq r(3)，0，0)，eq o(CP,sup6()(0，1，1).设平面CPB的法向量为n

26、1(x1，y1，z1)，则eq blc(avs4alco1(n1o(CB,sup6()0，,n1o(CP,sup6()0.)eq blc(avs4alco1(x10，,y1z10.)不妨令y11，则z11，故n1(0，1，1).设平面APB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由eq blc(avs4alco1(n2o(AB,sup6()0，,n2o(AP,sup6()0.)同理可得n2(1，eq r(3)，0).于是|cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq f(r(3),r(0212（1）2)r(12（r(3)）202)eq f(r(6),4).平面CPB与平面APB夹

27、角的余弦值为eq f(r(6),4).14.解：(1)如图，连接OC，因为CBCD，O为BD的中点，所以COBD.又AO平面BCD，OB，OC平面BCD，所以AOOB，AOOC.以eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(OA,sup6()为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BD2，CBCDeq r(5)，AO2，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).因为E为AC的中点，所以E(0，1，1)，所以eq o(AB,sup6()(1，0，2)，eq o(DE,sup6()(1，1，1)，所以|coseq o(AB,sup6()，

28、eq o(DE,sup6()|eq f(|o(AB,sup6()o(DE,sup6()|,|o(AB,sup6()|o(DE,sup6()|)eq f(|102|,r(5)r(3)eq f(r(15),15).因此，直线AB与DE所成角的余弦值为eq f(r(15),15).(2)因为点F在BC上，BFeq f(1,4)BC，eq o(BC,sup6()(1，2，0)，所以eq o(BF,sup6()eq f(1,4)eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(1,2)，0).又eq o(DB,sup6()(2，0，0)，故eq o(DF,sup6(

29、)eq o(DB,sup6()eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)，f(1,2)，0).设n1(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，则eq blc(avs4alco1(o(DE,sup6()n10，,o(DF,sup6()n10，)即eq blc(avs4alco1(x1y1z10，,f(7,4)x1f(1,2)y10，)取x12，得y17，z15，所以n1(2，7，5).设n2(x2，y2，z2)为平面DEC的一个法向量，又eq o(DC,sup6()(1，2，0)，则eq blc(avs4alco1(o(DE,sup6()n20，,o(

30、DC,sup6()n20，)即eq blc(avs4alco1(x2y2z20，,x22y20，)取x22，得y21，z21，所以n2(2，1，1).故|cos |eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq f(|475|,r(78)r(6)eq f(r(13),13).所以sin eq r(1cos2)eq f(2r(39),13).15.解：(1)因为PD平面ABCD，AD，DC平面ABCD，所以PDAD，PDDC.在矩形ABCD中，ADDC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设BCt，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(t

31、,2)，1，0)，P(0，0，1)，所以eq o(PB,sup6()(t，1，1)，eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)，1，0).因为PBAM，所以eq o(PB,sup6()eq o(AM,sup6()eq f(t2,2)10，得teq r(2)(teq r(2)舍去)，所以BCeq r(2).(2)由(1)可得eq o(AP,sup6()(eq r(2)，0，1)，eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1，0)，eq o(MB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2

32、),2)，0，0)，eq o(PB,sup6()(eq r(2)，1，1).设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，则eq blc(avs4alco1(n1o(AP,sup6()0，,n1o(AM,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(r(2)x1z10，,f(r(2),2)x1y10，)令x1eq r(2)，则z12，y11，所以平面APM的一个法向量为n1(eq r(2)，1，2).设平面PMB的法向量为n2(x2，y2，z2)，则eq blc(avs4alco1(n2o(MB,sup6()0，,n2o(PB,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(f

33、(r(2),2)x20，,r(2)x2y2z20，)得x20，令y21，则z21，所以平面PMB的一个法向量为n2(0，1，1).cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(3,r(7)r(2)eq f(3r(14),14)，所以二面角APMB的正弦值为eq r(1cos2n1，n2)eq f(r(70),14).16.解：依题意，建立以A为原点，分别以eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0

34、，0，2).设CFh(h0)，则F(1，2，h).(1)证明依题意，eq o(AB,sup6()(1，0，0)是平面ADE的一个法向量，又eq o(BF,sup6()(0，2，h)，可得eq o(BF,sup6()eq o(AB,sup6()0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，eq o(BD,sup6()(1，1，0)，eq o(BE,sup6()(1，0，2)，eq o(CE,sup6()(1，2，2).设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则eq blc(avs4alco1(no(BD,sup6()0，,no(BE,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(xy0，,x2z0，)不妨令z1，可得n (2，2，1).因此有coseq o(CE,sup6()，neq f(o(CE,sup6()n,|o(CE,sup6()|n|)eq f(4,9).所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为eq f(4,9).(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则eq blc(avs4alco1(mo(BD,sup6()0，,mo(BF,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x1y10，,2y1hz10，)不妨令y11，