2023届高考数学一轮复习计划 第一节　数列的概念与表示 学案

1、第一节数列的概念与表示通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数 重点一数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的第n项与项数n数列an的第n项为an，an在数列an中的项数为n通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式一般用anf(n)表示前n项和数列an中，Sna1a2an称为数列an的前n项和逐点清1(选择性必修第二册5页练习4题改编)数列an的前几项为eq f(1,2)，3，eq f(11,2)，8，eq f(21,2)，

2、则此数列的通项公式可能是()Aaneq f(5n4,2)Baneq f(3n2,2)Caneq f(6n5,2)Daneq f(10n9,2)解析：A数列为eq f(1,2)，eq f(6,2)，eq f(11,2)，eq f(16,2)，eq f(21,2)，其分母为2，分子可表示为15(n1)5n4，因此通项公式可能为aneq f(5n4,2)重点二数列的分类及性质逐点清2(选择性必修第二册9页习题7题改编)已知an2na(1n)若数列an是递减数列，则实数a的取值范围是_解析：an2na(1n)，an(2a)na，数列an是递减数列，2a2答案：(2，)重点三数列的表示方法1列表法列出表

3、格来表示数列an的第n项与序号n之间的关系见下表：序号n123n项ana1a2a3an2图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)3通项公式法如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数的表达式4递推公式法如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式逐点清3(选择性必修第二册8页练习2题改编)在数列an中，a11，an1eq f(1n,an1)(n2)，则a5()A

4、eq f(3,2)Beq f(5,3)Ceq f(8,5)Deq f(2,3)解析：Da21eq f(12,a1)2，a31eq f(13,a2)eq f(1,2)，a41eq f(14,a3)3，a51eq f(15,a4)eq f(2,3)4(易错题)设函数f(x)的定义如下表，数列an满足a12，且对任意的nN*，均有an1f(an)，则a2 022_x12345f(x)41352解析：由题意，数列an满足a12，且对任意的nN*，均有an1f(an)，可得a12，a2f(2)1，a3f(1)4，a4f(4)5，a5f(5)2，所以an是周期为4的数列，所以a2 022a50542a21

5、答案：1记结论1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，nN*.)2在数列an中，若an最大，则eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1；)若an最小，则eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)提速度(多选)(2022天津模拟)在数列an中，an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n，则数列an中的最大项可以是()A第6项B第7项C第8项D第9项解析：AB由结论2可得(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n(n2

6、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n1且(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)nneq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n1，所以eq blcrc (avs4alco1(n1f(7,8)n2，,f(7,8)n1n，)即6n7，所以最大项为第6项和第7项故选A、B由an与Sn的关系求通项公式1已知Sn2n3，则an_解析：当n1时，a15；当n2时，anSnSn12n3(2n13)2n1，当n1时，2111a1所以aneq blcrc (avs4alco1(5，n1，,2n1，n2.) 答案：eq blcrc (avs4alco1(5

7、，n1，,2n1，n2) 2(2022福州质检)已知数列an满足a12a222a32n1aneq f(n,2)，nN*，则数列an的通项公式为_解析：a12a222a32n1aneq f(n,2)，当n2时，a12a222a32n2an1eq f(n1,2)，得，2n1aneq f(1,2)，aneq f(1,2n)(n2)，又a1eq f(1,2)也适合式，aneq f(1,2n)(nN*)答案：aneq f(1,2n)(nN*)1已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)即可求出当n2时an的表达式；(3)注

8、意检验n1时的表达式是否可以与n2时的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解；(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解 由数列的递推关系求通项公式(1)(2022泰安质检)在数列an中，a1100，an1an3n(nN*)，则通项公式an_；(2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式an_；(3)(2022衡水检测)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Sn1，nN*，则数列an的通项公式为_解析(1)由an1

9、an3n，nN*，得a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1(n2)将这(n1)个等式累加并整理得ana13323n1100eq f(313n1,13)eq f(1,2)3neq f(197,2)(n2)显然a1100也适合上式，故通项公式aneq f(1,2)3neq f(197,2)，nN*(2)由nan1(n1)an(n2)，得eq f(an,an1)eq f(n,n1)(n2)所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(n2,n1)e

10、q f(3,4)eq f(2,3)1eq f(2,n1)(n2)，又a1也满足上式，所以aneq f(2,n1)(3)因为Sn12Sn1，所以Sn12Sn1，所以Sn112(Sn1)因为a1S11，S112，所以Sn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn12n，即Sn2n1当n2时，anSnSn12n1，a11也满足此式，所以an2n1，nN*答案(1)eq f(1,2)3neq f(197,2)，nN*(2)eq f(2,n1)(3)an2n1，nN*由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；(2)已知a1(a10)，且eq f(an

11、,an1)f(n)，可用“累乘法”求an；(3)已知a1且an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，可把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中teq f(q,1p)，再利用换元法转化为等比数列求解 1(2022重庆模拟)在数列an中，a13，an1aneq f(1,nn1)，则通项公式an_解析：an1aneq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，当n2时，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)，an1an2eq f(1,n2)eq f(1,n1)，a2a11eq f(1,2)，以上各式相加得，ana11eq f(1,n)，an4eq f(1,n)

12、，a13适合上式，an4eq f(1,n)答案：4eq f(1,n)2已知数列an的首项是a1eq f(1,2)，且an1eq f(nan,n2)，则数列an的通项公式为_解析：由题意得eq f(an1,an)eq f(n,n2)，当n2时，eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)eq f(1,3)eq f(2,4)eq f(3,5)eq f(n1,n1)(n2)，所以eq f(an,a1)eq f(2,nn1)(n2)，因为a1eq f(1,2)，所以aneq f(1,nn1)(n2)因为a1eq f(1,2)满足上式，所以aneq f(1,

13、nn1)答案：aneq f(1,nn1)3若数列an满足a11，an1eq f(2an,an2)，则数列an的通项公式an_解析：因为an1eq f(2an,an2)，a11，所以an0，所以eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)又a11，则eq f(1,a1)1，所以eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1为首项，eq f(1,2)为公差的等差数列所以eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)eq f(1,2)eq f(n,2)eq f(1,2)，所以aneq f(2,n1)答案：a

14、neq f(2,n1)数列的性质与应用考向1数列的周期性若数列an满足a12，an1eq f(1an,1an)(nN*)，则该数列的前2 023项的乘积是()A2B6C3D1解析因为数列an满足a12，an1eq f(1an,1an)(nN*)，所以a2eq f(1a1,1a1)eq f(12,12)3，同理可得a3eq f(1,2)，a4eq f(1,3)，a52，所以数列an每四项重复出现，即an4an，且a1a2a3a41，而2 02350543，所以该数列的前2 023项的乘积是a1a2a3a4a2 0231505a1a2a33故选C答案C解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数

15、列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和 考向2数列的单调性(2022滕州模拟)设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为()A1，)B(3，)C2，)Deq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，)解析数列an是单调递增数列，对任意的nN*，都有an1an，(n1)2b(n1)n2bn，即b(2n1)对任意的nN*恒成立，又n1时，(2n1)取得最大值3，b3，即实数b的取值范围为(3，)故选B答案B解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列；(2

16、)作商比较法：根据eq f(an1,an)(an0或an0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断 考向3数列的最大(小)项(2022金陵质检)已知数列an满足a128，eq f(an1an,n)2，则eq f(an,n)的最小值为()Aeq f(29,3)B4eq r(7)1 Ceq f(48,5)Deq f(27,4)解析由an1an2n，可得ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)28242(n1)28n(n1)n2n28，eq f(an,n)neq f(28,n)1，设f(x)xeq f(28,x)，可知f(x)在(0，eq r(28) 上单调递减，在(

17、eq r(28)，)上单调递增，又nN*，且eq f(a5,5)eq f(48,5)0时，f(an1,an)1)，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0eq blc(rc)(avs4alco1(或an0时，f(an1,an)0，an1an，故选A2(2022福州模拟)已知数列an满足an1eq f(1,1an)，若a1eq f(1,2)，则a2 023()A1Beq f(1,2)C1D2解析：B由a1eq f(1,2)，an1eq f(1,1an)得a22，a31，a4eq f(1,2)，a52，可知数列an是以3为周期的周期

18、数列，因此a2 023a36741a1eq f(1,2)3已知数列an的通项公式为aneq f(n2,2n11)，前n项和为Sn，则当Sn取得最小值时n的值为_解析：当aneq f(n2,2n11)0n1或n6，a20，a30，a40，a50，所以tan3恒成立，即t(an3)mina133，所以tmax35(多选)(2022泰安模拟)大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则下列说法正确的是()A此数列的第20项是

19、200B此数列的第19项是182C此数列偶数项的通项公式为a2n2n2D此数列的前n项和为Snn(n1)解析：AC观察此数列，偶数项通项公式为a2n2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n1a2n2n，由此可得a202102200，A、C正确；a19a2020180，B错误；Snn(n1)n2n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Snn(n1)，D错误故选A、C6(多选)(2022潍坊一模)已知数列an的通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(3n1，n为奇数，,22n，n为偶数，)则()Aa619Ba7a6CS522DS6S5解析：BC因为aneq

20、blcrc (avs4alco1(3n1，n为奇数，,22n，n为偶数，)所以a14，a22，a310，a46，a516，a610，a722，所以A错误，B正确；S5a1a2a3a4a54(2)10(6)1622，故C正确；因为a610，所以S6S5a60，所以S61；当n6时，an1，由题意知，a1a2ak是an的前n项乘积的最大值，所以k5答案：58已知数列an中，a11，an1ann(nN*)，则a4_，an_解析：由题意可得a11，an1ann，则当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1123(n1)1eq f(nn1,2)eq f(n2n2,2)，又a11也适合上式

21、，故aneq f(n2n2,2)，则a4eq f(4242,2)7答案：7eq f(n2n2,2)9(2022北京质检)已知数列an满足21a122a223a32nan(n1)2n12(nN*)，则数列an的通项公式an_解析：2a122a223a32n1an12nan(n1)2n12，2a122a223a32n1an1(n2)2n2(n2)，两式相减，得2nann2n，即ann(n2)，当n1时，a11，适合ann，故ann(nN*)答案：n10如果连续自然数数列a1，a2，an，满足lg 2lgeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a1)lgeq blc(rc)(avs4al

22、co1(1f(1,a2)lgeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,an)lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn解：由已知得：2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,an)n，即2eq f(a11,a1)eq f(a21,a2)eq f(a31,a3)eq f(an1,an)na1，a2，an，为连续自然数，上式可化简为2eq f(an1,a1)n，即2eq f(a1n,a1)n，2n2a1na1，即(n2)(a12)4若要n最大，且n

23、N*，则只能有eq blcrc (avs4alco1(n24，,a121，)eq blcrc (avs4alco1(n6，,a13，)该数列最多有6项，首项为3，S634567833B级综合应用11设数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1)naneq f(1,2n)，则S1S3S5()A0Beq f(17,64)Ceq f(5,64)Deq f(21,64)解析：D数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1)naneq f(1,2n)，当n为偶数时，SnSnSn1eq f(1,2n)，即有Sn1eq f(1,2n)，所以S1S3S5eq f(1,4)eq f(1,16)eq f(1,64)eq f

24、(21,64)故选D12在数列an中，a12，eq f(an1,n1)eq f(an,n)lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，则an()A2nln nB2(n1)ln nC1nln nD2nnln n解析：D由题意得，eq f(an1,n1)eq f(an,n)ln eq f(n1,n)，则eq f(an,n)eq f(an1,n1)ln eq f(n,n1)，eq f(an1,n1)eq f(an2,n2)ln eq f(n1,n2)，eq f(a2,2)eq f(a1,1)ln eq f(2,1)，由累加法得，eq f(an,n)eq f(a1,1)ln eq f(n,n1)ln eq f(n1,n2)ln eq f(2,1)，即eq f(an,n)a1lneq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)f(n1,n2)f(2,1)，则eq f(an,n)2ln n，所以an2nnln n，故选D13请写出一个符合下列要求的数