2022年三角函数的图象与性质

1、1三角函数的图象与性质情形：前面我们学习了三角函数的诱导公式,我们是借助于单位圆推导出来的摸索：我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢？1“ 五点法”作正弦函数图象的五个点是,答案: 0,0 ,1 ,0 3 2,1 2,0 22“ 五点法”作余弦函数图象的五个点是,第 1 页,共 19 页答案: 0,1 ,1 3 2 ,0 2,1 2 ,0 3作正,余弦函数图象的方法有二：一是 来画的几何法答案: 描点法 三角函数线；二是利用4 作正弦函数的图象可分两步：一是画出的图象,二是把这一图象向 个单位长度连续平行移动每次平移2答案: ysin x,x0,2 左右；余弦曲5正弦

2、曲线关于对称；正弦函数是线关于对称,余弦函数是偶函数答案: 原点奇函数y 轴6正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从1 增大到1；在每一个闭区间上都是减函数,其值从1 减小到1. 答案: 2k ,2k kZ 2k ,2k3 2 222 kZ 7余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从1 增大到1；在每一个闭区间上都是减函数,其值从1 减小到1. 第 2 页,共 19 页答案: 2 k,2k kZ 2k,2k kZ 8正弦函数当且仅当x时取得最大值1,当且仅当x时取得最小值1. 答案: 2k 2 kZ 2k2 kZ 9余弦函数当且仅当x时取得最大值1,当且仅当x时取得最小值1. ,值域为答

3、案: 2kkZ 2k kZ 10正切函数ytan x 的定义域是；正,余弦函数的定义域是,值域是答案: x xk ,kZ RR 1,1 211正切函数为函数填“奇”或“偶” 答案: 奇12正切函数ytan x 在每一个区间内均为答案: k, k kZ 增函数2213利用正切线可以得到ytan x 在内的图象,把所得图象左右连续平移个单位,可得ytan x 在整个定义域内的图象答案: , 22第 3 页,共 19 页14正切曲线的简图可以用“三点两线法”,这里的三个点为,；两直线为 ,答案: k ,1 k,0 k,1 kZ 44xk xk 22 kZ 15正切函数ytan x 的对称中心为答案:

4、 k ,0 kZ 216正,余弦函数的图象是连续的,而正切函数的图象不连续,它被许多条垂直于x 轴的直线分隔开来而正切答案: xk 2 kZ 17正,余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间,函数在每一个上都是增函数答案: k ,k kZ 22第 4 页,共 19 页五点法画图 函数ysin x 在x0,2 的图象上,起着关键作用的点只有 以下五个：0,0, ,1 ,0,3 2,1 ,2,02事实上,描出这五个点后,函数ysin x 在x0 ,2 的图象的形状就基本上确定了因此,在精确度要求不太高时,我们经常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就可得到正弦函数的简图今后,我们将经

5、常使用这种近似的“五点 画图法”同样,在函数ycosx,x0,2 的图象上,起着关键作用的 点是以下五个：0,1, ,0 ,1,3 2,0 ,2,12与画函数ysin x,x0,2 的简图类似,通过这五个点,可 以画出函数ycosx 在x0,2 的简图正弦函数,余弦函数的性质正弦函数ysin x,余弦函数ycos x,xR 的性质：1定义域正弦函数,余弦函数的定义域都是实数集 R. 2值域正弦函数,余弦函数的值域都是1,11,当且仅正弦函数当且仅当 x2 2k kZ 时取得最大值第 5 页,共 19 页当 1；而余弦函数当且仅当x x2 2k kZ 时取得最小值2kkZ 时取得最大值 得最小值

6、1. 3周期性1,当且仅当x2kkZ 时取正弦函数,余弦函数都是周期函数,并且周期都是 2 . 4奇偶性正弦函数是奇函数,其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数,其图象关于y 轴对称5单调性 正弦函数在每一个闭区间22k,22k kZ 上都是单调增函数,其值从1 增大到 1 ；在每一个闭区间 3 22k,22k kZ 上都是单调减函数,其值从1 减小到1. 类似地,余弦函数在每一个闭区间2 k1,2k kZ 上都是单调增函数,其值从1 增大到1；在每一个闭区间2k,2k1 kZ 上都是单调减函数,其值从 正切函数的图象与性质 正切函数ytan x,xR,x 2 k,kZ 的图象,叫做正 切曲线如

7、下图所示正切函数的性质：1定义域为 x xR,且x 2 k,kZ. 2值域为实数集R. 第 6 页,共 19 页3周期性正切函数是周期函数,周期是 . 4奇偶性奇函数,图象关于原点对称5单调性每个开区间 kZ 都是函数y 2 k,2 k tan x 的单调增区间难点释疑：正切曲线是被相互平行的直线 所x2 k,kZ 隔开的无穷多支曲线组成的,直线x2 k,kZ 是图象的渐近线 由于正切函数的定义域必需去掉x2k,kZ 各点,故正切函数图象与直线 x2k,kZ 无交点；又由于正切函数的值域为R,无最大值,最小值,故其图象向上,下无限延长；由于周期是 ,所以图象每隔 长度重复显现；由于正切函数的单

8、调性表现为在每一个单调区间内只增不减,故图象是由一系列重复显现的上升曲线构 成,而在,2 2 内,当x 向右无限接近于x时,函数值不断增 2 大,趋于正无穷大,图象无限接近于x2 ,但永不相交；当 x 向左 无限接近于x2 时,函数值不断变小,趋于负无穷大,图象无限 接近于x2 ,但永不相交,故 x 为正切函数图象的渐近线,2第 7 页,共 19 页由周期性知,直线 x2 k,kZ 是图象的渐近线基础巩固1以下函数的图象相同的是Aysin x 与ysinx Bysin x 与ysin x 22Cysin x 与ysinx Dysin2x与ysin x 答案：D 2函数y1sin x,x0,2上

9、的大致图象是答案：B 3把函数ysin x 的图象向 可得ycos x 的图象答案：左 2平移个单位长度第 8 页,共 19 页4函数fxsin 2x3 2的奇偶性为答案：偶函数5已知a R,函数fxsin 于答案：0 x|a|,xR 为奇函数,就a 等6使函数ysin2x为奇函数的 值可以是 C 3 D. 2A. 4 B. 2 答案：C 7y3tan 1 2 x 的一个对称中心是3A. ,0 B. 2 3,3 36C. 2 ,0 D0,0 3答案：C 8函数y2sin x 0 x 9的最大值与最小值之和为63C 1 D13A23 B0 答案：A 9函数fxtan x0 的图象的相邻两支截直线

10、y 所得4线段长为 ,就f 的值是 44 A. 4 B0 C1 D2 第 9 页,共 19 页解析：ytan x 的周期T , ,故 y4 与ytan x 的图象的交点中相邻两点间的距离为 ,4,f xtan 4x. 4f tan 4 tan 0,应选B. 44答案：B 10函数ysin xtan x 的定义域为答案：x|2k x2k ,kZ x|x2k,kZ 211函数ylg tan x16x2的定义域为答案：, 0, ,4 22才能升级为12已知fxxsin x,xR.就f ,f1及f 的大小关系4 3解析：f sin 4 sin sin ,sin sin 1sin . 3 3 33第 1

11、0 页,共 19 页f f1f . 0 xf1f 3413已知fx是定义在3,3上的奇函数,当的图象如下列图,那么不等式fxcos x0 的解集是解析：fx是3,3上的奇函数,gxf x cos x 是3, 3 上的偶函数,从而观看图象可知解集为：,1 20 , 1. 2 ,3 答案：2,1 0,12,3 1 ,x2,2的单调递增区间14求函数ycos 2 x3 解析：令z1x2 3 . 函数ycosz 的单调递增区间是2k,2k,kZ. 由2k21 4 x 3 2k 得4k3 x4k3 2 kZ 取k0,得4 x 2 ,33而4 2 ,32,2,3第 11 页,共 19 页因此,函数ycos

12、 1 x2 3,x2,2 的单调递增区间是4 ,2 . 332x 的单调区间3 1 sin 15求函数y2 4 解析：y1sin 2 43 2x 2 1sin 2x 3 4 . 故由 2k2 3 4 2k 2x 2 kZ . 3k3 8x3k9 8 kZ ,由2k2 2x 3 4 2k2 3 kZ. 3k8 9 x3k 21 3 9 8 kZ 函数的单调递减区间为 3k8 ,3k8 kZ ,9 21 kZ 单调递增区间为3k8 ,3k816已知函数fx3sin 象的对称轴完全相同,如x x6和gx2cos2x1的图 0,2,就fx的取值范畴是 解析：由题意知,2,x0,2, 5 .由三角函数图

13、象知：2x6 6 ,6第 12 页,共 19 页 3 f x的最小值为3sin 6,最大值为3sin 3,f x 的取 2 2值范畴是3,3 . 2答案：3 ,3 217使sin xcosx 成立的x 的一个区间是 A. 3 , A 选项才能中意4B. 2 ,42 3 D0, C. 4 ,4解析：作出它们的图象,在四个选项中,只有正弦图象在余弦图象下方答案：A 18函数y3cos2x4cos x1,x0,2的值域是 34 解析：y3 cos xcos x341431 2 时,ymax15 4,函数y 932 2 1. cosx3 3 x0,2 ,cos x12 ,1 . 32 当cos x3 时,ymin 1 3；当cos x的值域为1 15 3,4 . 第 13 页,共 19 页答案：1 15 3 419如函数ysin x2|sin x|,x0 ,2 的图象与直线 yk 有且仅有两个不同的交点,就解析：ysin x2|sin x|图象如下：k 的取值范畴是3sin x,sin x 0,sin x,sin x0的周期之和为3 ,且f g ,f 3g 22244求这两个函数,并求gx的单调增区间2 3解析：由条件得k k 2 ,k2. 由f g ,得a2b.2 2 由f 3g 1,得a22b.4 41由解得a1,b2 . f xsin