2022年上海各区数学高三二模试卷和答案

1、宝山 2022 二模 一,填空题（本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1 : 6 题每题 4 分,第 7 : 12 题 每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 . 1.如集合 A x | x 0 , B x | x 1,就 A B 2.已知复数 z 中意 2i z 1i（ i 为虚数单位） ,就 z 3.函数 f x sin x cosx 的最小正周期是 cosx sin x 4.已知双曲线 x a2 y 2 81 1 a 0 的一条渐近线方程 y 3x ,就 a 25.如圆柱的侧面开放图是边长为 4 的正方形,就圆柱的体积为 x y 06.已知 x, y 中意 x y 2

2、,就 z 2 x y 的最大值是 x 2 07.直线 x t 1（ t 为参数）与曲线 t x 3cos （ 为参数）的交点个数是 y 2y 2sin 8.已知函数 f x 2x x 0 x 1的反函数是 f 1x ,就 f 12log 2 x 0 x 项的系数 9.设多项式 1 x 1 x 21 x 3L1 x nx 0,n N*的开放式中 为 Tn ,就 lim nTn n2和 p ,每道 ,就 10.生产零件需要经过两道工序,在第一,其次道工序中产生的概率分别为 工序产生废品相互独立,如经过两道工序得到的零件不是废品的概率是 pur 11.设向量 m r x, y , n x, y ,P

3、 为曲线 ur r m n 1 x 0上的一个动点, 如点 P 到直线 x y 1 0 的距离大于 恒成立,就实数 的最大值为 12.设 x1, x2 ,L , x10 为 1,2, L ,10 的一个排列, 就中意对任意正整数 m, n ,且 1 mn 10 , 都有 xm mxn n 成立的不同排列的个数为 第 1 页,共 120 页二,选择题（本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分）每题有且只有一个正确 选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 . 13.设 a,b R ,就“ ab 4 ”是“ a 1 且 b 3 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必

4、要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14.如图, P 为正方体 ABCD A1B1C1D1 中 AC1 与 BD1 的交点,就 VPAC 在该正方体各个 面上的射影可能是（ ） A. B. C. D. 15.如图,在同一平面内,点 P 位于两平行直线 l1 , l 2 同侧,且 P 到 l1, l2 的距离分别为 1, 3. uuuur uuur uuuur uuur 点 M , N 分别在 l1, l2 上, PM PN 8 ,就 PM PN 的最大值为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 16.如存在 t R 与正数 m ,使 F t m F t m

5、 成立, 就称“函数 F x 在 x t 处存在 距离为 2m 的对称点” ,f x 2 x x x 0 ,如对于任意 t 2, 6,总存在正数 设 2m 的对称点” ,就实数 的取值范畴是（ ） m ,使得“函数 f x 在 x t 处存在距离为 1,2 D. 1,4 A. 0,2 B. 1,2 C. 三,解答题（本大题共有 5 题,满分 76 分）解答以下各题必需在答题纸的相应 第 2 页,共 120 页位置写出必要的步骤 . 17.（此题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分） 如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E , F 分别是线段 BC ,

6、 CD1 的中点 . （1）求异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小； （2）求直线 EF 与平面 AA1B1B 所成角的大小 . 18.（此题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分） 2 已知抛物线 y 2 px p 0 ,其准线方程为 x 1 0 ,直线 l 过点 T t,0 t 0 且与 抛物线交于 A, B 两点, O 为坐标原点 . uuur uuur（1）求抛物线方程,并证明： OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （2）如 P 为抛物线上的动点,记 PT 的最小值为函数 d t ,求 d t 的解析式 . 19.（此题满分 14 分,第 1 小题

7、6 分,第 2 小题 8 分） 对于定义域为 D 的函数 y f x ,假如存在区间 m, n D m n,同时中意： f x 在 m, n 内是单调函数；当定义域是 m,n 时, f x 的值域也是 m, n 就称函 数 f x 是区间 m,n 上的“保值函数” . 2（ 1）求证：函数 g x x 2x 不是定义域 0,1 上的“保值函数” ； （ 2）已知 f x 2 1 12 a R, a 0 是区间 m, n 上的“保值函数” ,求 a 的取 a a x 值范畴 . 20.（此题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分） 第 3 页

8、,共 120 页数列 an 中,已知 a1 1, a2 a, an 1k an an 2对任意 n N*都成立, 数列 an 的 前 n 项和为 Sn .（这里 a, k 均为实数） （1）如 an 是等差数列,求 k ； 的等比数列, 且任意相邻三项 am, am 1 , am 2（2）如 a 1,k 1, 求 S ; 2（3）是否存在实数 k ,使数列 an 是公比不为 1按某次序排列后成等差数列？如存在,求出全部 k 的值；如不存在,请说明理由 . 21.（此题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分） 设 T R, 如存在常数 M0

9、,使得对任意 t T ,均有 t M,就称 T 为有界集合, 同时称 M为集合 T 的上界 . （1）设 A1y | y 2x 1, x R, A2 x | sin x 1,试判定 A1 , A2 是否为有界集 2x 12合,并说明理由； 2（ 2 ）已知 f x x u ,记 f x f x , f x f f n 1 x n 2,3,L . 如 mR, u 14 , ,且 B f n m | n N * 为有界集合,求 u 的值及 m 的取值范畴； 2 2 2（3）设 a , b , c 均为正数,将 a b , b c , c a 中的最小数记为 d ,是否存 在正数 0,1 ,使得 为

10、有界集合 C y | y 2 d2 2 , a b c , , 均为正数 的上界, a b c 如存在,试求 的最小值；如不存在,请说明理由 . 第 4 页,共 120 页宝山区答案 1. 0,1 3. 5. 6. 3 7. 2 8. -19. 110. 11. 22213. B 14. C 17. （ 1） arctan 2（ 2） arctan 222 18.（1） y 4 x ,证明略 （2） d t 2 t 1,t 2 t,0 t 2 19. （ 1）证明略 （2） a 1或 a - 32220. （ 1） k 1 2（2） Sn 2 nn2k 1,k Nn, n 2k, k N（3）

11、 k 2 521.（1） A1为有界集合,上界1； A2 不是有界集合 为 （2） u 1, m 1 1 , 2 2 fn mN*4（3） 1 5解析：（ 2）设 a0 m, a1 f m ,an f an 1,n 1,2,3,. ,就 an a 1f mm2u1,就 a 2a 12 a 1a 1ua 112u1 4042且 a nan1an 1 12u10a nan124M , n 如 B f m | n N* 为有界集合,就设其上界为 M0,既有 an第 5 页,共 120 页 an an an 1an 1an 2. a2 a1 a1 an an 1an 1an 2. a2 a1 2a1

12、an 112u1an 212u1. a1 12u1m2u242424an 112an 212. a1 12m2nu1unu1u22244如 an M 0 恒成立,就 nu1uM 0 恒成立,又 u1u10444 u1, f x x2 144设 m1 2（i） 0 ,就 a 1a 0f mm12112a 1a 012422 a nan1. a 1m12记 g x f x x x 12,就当 x x 21时, g x g x 222 g an 1f an 1an 1an an 1gma1 a0 2 an a1 2n1,如 an M 0 恒成立,就 0 ,冲突； （ii ） 0 ,由（ i）可知 a

13、n an 1. a1 m1,中意题意； 2（iii ） 0 ,同样有 a 1a 0f mm12112a 1a0242如 a 111211 ,就由（ i）可知, 0 ,不行能； 222如 1 ,就 m1,a1 1,就由（ ii）可知, an an 1. a1 1,中意题意； 222如 10 ,就 21211,0 ,就 244a1 a0 2m21211 , 4 2 2第 6 页,共 120 页就存在 11,0 ,使得 a1 11,故存在 21,0 ,使得 a2 1222以此类推,存在 an1,0 ,使得 an 1n2此时 1a 12. an1,如 a nM , n N*,就 M 可取 1,中意题意

14、； 422综上所述 1,0 , m1 , 1 2 2 a c 23ac 5d 3ac ,（3）不失一般性,不妨假设 c b a（i）如 ba c ；设 d a2c 2, 2此时 a2b22 c a22 c a c 2a c 222 d113ac 113ac c2 1112ac 5c2a2 b 2 c2 55a 2 b 2 c2 55a 2 a c 2552 5a 2 ac 42 5a 12 ac 2 5c 5a212 c 20,1 y a2d2 c 1 0, 52ac 25b2c ab c 2估计 y 1,即 min 155（ii ）如 abb c ,即 a2b c 0 时, d此时 5d a

15、2b22 c 5 b c 2a2b22 c 5 b c 22b c 2b22 c 2 6bc 3c 0即 2 ad2 c 1c ,即 0 a 2b c 2bdab2b25（iii ）如 abb时, 此时 5d a2b22 c 5 a b2a2b22 c 2 4a 2 10ab 4b 2 c 2a 2b 2a b2 c 0即 dc 2 1b 2 5a 2 第 7 页,共 120 页综上所述, 0y 1,集合 Cy | y a2d2 c , a b c , , 均为正数 的上界 存 5b2在, 1 5第 8 页,共 120 页长宁区 2022 二模 一,填空题（本大题共有 12 题,满分 54 分

16、,第 16 题每题 4 分,第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1已知集合 A x x 1,x R,集合 B x x 2, x R,就 AI B 2已知复数 z 中意 2 3i z 3 2i （ i 为虚数单位） ,就 | z | . 3函数 f x sinx 2cosx 的最小正周期是 2cosx sinx 4已知双曲线 a x 2 2y 2 2a 3 1a 0的一条渐近线方程为 y 2x,就 a 5如圆柱的侧面开放图是边长为 4cm的正方形,就圆柱的体积为 3 cm （结果精确 到 ） 3x y 06已知 x,y 中意 x y 2 ,就 z 2x y 的最大

17、值是 x 2 07直线 x t 1 （ t 为参数）与曲线 x 3cos （ 为参数）的交点个数是 y 2 t y 2sin 8已知函数 f x 2 x, x 0, log2x,0 x 1的反函数是 1 f x ,就 f 1 1 2= . 2 9设多项式 1 x 1 x 3 1 x Ln 1 x x 0,n N 的开放式中 x 项的 系数为 Tn ,就 lim nTn . n210生产零件需要经过两道工序,在第一,其次道工序中产生废品的概率分别为 和 p , 每道工序产生废品相互独立如经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 , 就 p = . 第 9 页,共 120 页11已知函数 f x

18、x x a ,如对任意 x1 2,3 , x2 2,3 , x1 x2 ,恒有 f x1 2x2 f x1 2f x2 ,就实数 a 的取值范畴 为 12对于给定的实数 k 0,函数 f x k 的图像上总存在点 C ,使得以 C 为圆心, 1 为x 半 径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 1,就 k 的取值范畴是 二,选择题（本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 13设 a,b R ,就“ a b 4”是“ a 1 且 3 ”的（ ） b （ A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （

19、 C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 14如图, P 为正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 AC1 与 BD1 的交点,就PAC 在该正方体各 B 个面上的射影可能是（ ） D1 C1 A1 B1 A DPP B CC（ A） （B） （C） （ D） 15如图, AB 为圆 O 的直径且 AB 4 , C 为圆上不同于 uuur uuur 的任意一点,如 P 为半径 OC 上的动点,就 PA PB A , B uuur PC 的 C最小值是（ ） （ C） 2 （D） 1A P O （ A） 4 （B） 3 16设 x1,x2,L,x10为 1,2,L,10的一个排列,就中意对

20、任意 第 15 题图 正整数 m ,n ,且 1 mn 10 ,都有 xm mxn n 成立的 不同排列的个数为（ ） （ A） 512 （ B） 256 （ C） 255 （D） 64 三,解答题（本大题共有 5 题,满分 76 分） 解答以下各题必需在答题纸的相应位置写出 必要的步骤 17（此题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分） 如图,在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中, E,F 分别是线段 BC, CD1 的中点 第 10 页,共 120 页（ 1）求异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小； A1 D1 F B1 C1 （ 2）求直线 EF 与

21、平面 AA1B1B 所成角的大小 DCE A B 18（此题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分） 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室, 地面形状如图所 示,已知已有两面墙的夹角为 （即 ACB ）,墙 AB 的长度为 6 米（已有两面墙的可 3 3利用长度足够大） ,记 ABC （ 1）如 ,求 ABC 的周长（结果精确 米）； 4 到 （ 2）为了使小动物能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室面积即 ABC 的面积 尽可能大问当 为何值时,该活动室面积最大？并求出最大面积 A CB 19（此题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分

22、,第 2 小题满分 8 分） 已知抛物线 y2 2 px（ p0）,其准线方程为 x 1 0 ,直线 l过点 T t , 0（ t 0 ） 且与抛物线交于 A , B 两点, O 为坐标原点 第 11 页,共 120 页（ 1）求抛物线方程,并证明： OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （ 2）如 P 为抛物线上的动点,记 | PT |的最小值为函数 dt ,求 d t 的解析式 20（此题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分） 对于定义域为 D 的函数 y f x ,假如存在区间 m, n D ,其中 m n ,同时满 足：

23、 f x 在 m, n 内是单调函数； 当定义域是 m, n 时, f x 的值域也是 m, n 就称函数 f x 是区间 m, n 上的“保值函数” ,区间 m, n 称为“保值区间” （ 1）求证：函数 g x x 2 2 x 不是定义域 0,1 上的“保值函数” ； （ 2）如函数 f x 2 1 1（ a R , a 0 ）是区间 m, n 上的“保值函数” , a a 2 x 求 a 的取值范畴； （ 3）对（ 2）中函数 f x ,如不等式 | a 2 f x | 2 x 对 x 1 恒成立,求实数 a 的取值 范畴 21（此题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题

24、满分 6 分,第 3 小题满分 8 分） 已知数列 an 中, a1 1, a2 a , an 1kan an 2 对任意 n* N成立, 数列 an 的前 n 项和为 Sn am （ 1）如 an 是等差数列,求 k 的值； 1 的等比数列且任意相邻三am ,am 1, （ 2）如 a 1 , k 1 ,求 Sn ； 2（ 3）是否存在实数 k ,使数列 an 是公比不为 项 2按某次序排列后成等差数列？如存在,求出全部 k 的值；如不存在,请说明理由 第 12 页,共 120 页长宁区 答案 一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题, 1-6 每题 4 分, 7-12 每题

25、 5 分考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果 . 1 1,2 ； 2 1； 3 ； 4 3 ； 5 ； 6 3 ； 7 2 ； 8 1； 9. 1； 10. ； 211 3, ； 12. 0,2 . 二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 13. B ； 14. C； 15 C ； 16. A . 5 分,否就一律得零分 . 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题,解答以下各题必需在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 . 17. 此题满分 14 分）此题共 2 小

26、题,第（ 1）小题 8 分,第（ 2）小题 6 分 . 解：（ 1）设正方体棱长为 2 ,以 D 为原点,直线 DA , DC , DD 1 为 x , y , z 轴,建立 空间直角坐标系, 就 D0 , 0 , 0 , B2 , 2 , 0 , C0 , 2 , 0 , D10 , 0 , 2 , 故 E1, 2 , 0 , F 0 ,1,1 , uuur EF uuur 1, 1,1 , AA1 0,0,2 4 分 第 13 页,共 120 页设异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小为 ,向量 uuur EF uuur 与 AA1所成角为 ,就 8 分 10 分 ,就 12 分 14

27、分 cos cos uuur uuur uuur uuur EF gAA1 EF gAA1 6 分 13arccos 3333即异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小为 arccos 3 3（2）由（ 1）可知,平面 r AA1B1B 的一个法向量是 n 1, 0 , 0 ,设直线 EF 与平面 AA1B1 B 所成角的大小是 ,向量 uuur EF r 与 n 所成角为 sin cos uuur r EF gn uuur r, EF gn sin 3arcsin 3, 33即直线 EF 与平面 AA1B1 B 所成角的大小为 arcsin 3 3不用建立空间直角坐标来解相应给分 18（此题

28、满分 14 分）第（ 1）小题满分 6 分,第（ 2）小题满分 8 分 . 解：（ 1）在 ABC 中,由正弦定理得 7 632, 2 分 AB AC BC , sin 3sin 4sin 344 分 化简得, AC 2 6 , BC 43 sin 12 所以, c AC BC AB 3 62 米, 6 分 即 ABC 的周长为 米； （2） S ABC 1AC BC sin 8 分 23第 14 页,共 120 页=12 3 sin sin 33sin 2 10 分 12 3 sin 1 sin 23 cos 22 6 3sin 3 sin cos 631 cos 2 2212 分 6 3

29、sin 2 3 3 6由于 02 ,所以当 2 3 14 分 2, 6即 时, S 3ABC 取到最大值 93 平方米 19. 此题满分 14 分）此题共 2 小题,第（ 1）小题 6 分,第（ 2）小题 8 分 . 解：（ 1）由题意, p 2 ,所以抛物线的方程为 y 2 4 x 2 分 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x t ,就 At , 2 t , Bt , 2 t , 2OA OB t 4t 3 分 当直线 l 的斜率 k 存在时,就 k 0 ,设 l 的方程为 y k x t , A x1 , y1 , B x2 , y2 , 由 y 2 4x , 消去 x ,得

30、 ky 24 y 4kt 0 ,故 y y k 4 , y k x t , y y 2 4t , 2 2所以, OA OB x x 1 2 y y 2 y1 y2 16 y y 1 2 t 2 4t 5 分 综上, OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关 6 分 2 2 2 2（2）设 P x0, y0 ,就 y0 4x0 , | PT | x0 t y0 x0 t 2 4t 4 , 8 分 由于 x0 0 ,所以 d t 2t 1 , t 2 , 14 分 t , 0t 2 . 20. 此题满分 16 分）此题共 分. 3 小题,第（ 1）小题 4 分,第（ 2）小题 6 分,第（ 3

31、）小题 6 解：（ 1）函数 g x x2 2 xx 0,1 时的值域为 1,0 , 2 分 在不中意“保值函数”的定义, 第 15 页,共 120 页因此函数 g x x 2 2x 不是定义域 0,1 上的“保值函数” 4 分 （2）由于函数 f x 2 1 12 在 m, n 内是单调增函数, a a x 因此 f m m, f n n , 6 分 因此 m, n 是方程 2 1 12 x 的两个不相等的实根, a a x 等价于方程 a x 2 2 2a 2ax 1 0 有两个不相等的实根 8 分 由 2a 2a 2 4a 2 0 解得 a 32 或 a 12 10 分 （3） a 2f

32、 x 2a 2a 1, | a 2 f x | 2 x a 2 f x 2 2 2a 2a 1x 2 , x x x 即为 2a 2a 22 aa 2 x 12x, x 1 , 对 x 1 恒成立 12 分 x 令 h x 2 x 1 ,易证 h x 在 1, 单调递增,同理 g x 1 2 x 在 单调递减 x x 1, 因此, hxmin h1 3, g xmax g 1 1 14 分 2所以 2a 2a 2a a 3, 1, 解得 32 a 1 15 分 又 a 3或 a 1,所以 a 的取值范畴是 1a 1 16 分 2 2 221. 此题满分 18 分）此题共 3 小题,第（ 1）小

33、题 4 分,第（ 2）小题 6 分,第（ 3）小题 8 分. 解：（ 1）如 an 是等差数列, 就对任意 nN,an 1an an 2an 1 ,即 2an 1an an 2, ana4 分 5 分 故 k 1 2 1时, an 1 1a nan 2 ,即 2a n1n2, （2） k 22an 1 an 1an an 2an 1an 1an ,故 an 3an 2 an 2所以,当 n 是偶数时, 第 16 页,共 120 页S a 1 a 2 a 3 a 4 a n1 a n n a 1 a n ； 7 分 2当 n 是奇数时, a2 a3 a1 a2 2 , Sn a1 a2 a3 a

34、4 an 1 an a1 a2 a3 a4 a5 an 1 an n11 2 2 n 8 分 2综上, Sn 2 n , n 2k 1 , k N *10 分 n , n 2k （3）如 an 是等比数列,就公比 q a 2a ,由题意 a 1, a1 m1 m m1故 am a, am 1 a, am 2 a 11 分 如 am 1 为等差中项,就 2am 1 am am 2 ,即 2a ma m1a m 1 , 2a 1 a 2, 解得 a 1（舍去）； 13 分 如 am 为等差中项,就 2am am 1 am 2 ,即 2a m 1 a m a m1, 2 a a 2, m由于 a 1

35、,解得 a 2 , k a m am a 1m2 a m 1 aa m 1 1 aa 2 5 2； 15 分 如 am 2 为等差中项,就 2 am 2 am am 1 ,即 2 a m1 a m a m1, 2a 2 a 1, 由于 a 1,解得 a 1, k a2 2 17 分 2 1 a 52综上,存在实数 k 中意题意, k 18 分 5第 17 页,共 120 页杨浦区 2022 二模 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题, 1-6 每题 4 分, 7-12 每题 5 分；考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 1234564 分,否就一律得零分

36、 1. 行列式 789中 , 元素 5 的代数余子式的值为 . . 2. 设实数 0 , 如函数 f x cos x sin x 的最小正周期为 , 就 3. 已知圆锥的底面半径和高均为 4. 设向量 a r 2,3 , 向量 b r1, 就该圆锥的侧面积为 . r r6, t . 如 a 与 b 的夹角为钝角 , 就实数 t 的取值范畴 .5 的解 为. 5. 集合 A 1,3, a 2 , 集合 B a 1, a 2 . 如 B A A , 就实数 a 6. 设 z1, z2 是方程 z2 2z 30的两根 , 就 | z1 z2 | . 7. 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 , 当

37、 x 0 时 , f x 2x 3 . 就不等式 f x 为. x y 12, 2x y 0, 8. 如变量 x, y 中意约束条x 2 y 0, 就 z y x 的最小值为 . 9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子 件 , 两人相互独立地进行 . 就小明掷出的点 数不大于 2 或小红掷出的点数不小于 3 的概率为 . 10. 设 A 是 椭 圆 2 x a2 y 41a0上 的 动 点 , 点 F 的 坐 标 为 2,0 , 如 满 足 a22| AF | 10 的点 A 有且仅有两个 , 就实数 a 的取值范畴为 . 11. 已知 a 0 , b 0 , a 2 4b 1取到最小值时

38、 , b.ab 当 12. 设函数 fa x | x | | x a | . 当 a 在实数范畴内变化时 , 在圆盘 2 x 2 y 1 内 , 且不在 任一 fa x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为 . 二,选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 第 18 页,共 120 页答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否就一律得零分 . 13. 设 z C 且 z 0 . “ z 是纯虚数”是“ 2 z R”的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 14设等差数列 an 的公差为 d, d0

39、 . 如 an 的前 10 项之和大于其 前 21 项之, 就 和 A d 0 B d 0 C a16 0 D a16 015如图 , N, S 是球 O 直径的两个端 . 圆 C1 是经过 N和 S 点的大圆 , 圆 C 2 和圆 C3 分 点 别是所在平面与 NS 垂直的大圆和小 . 圆 C1 和 C2 交于点 A ,B , 圆 C1 和 C3 交于点 C ,D . 圆 设 a , b , c 分别表示圆 C1 上劣弧 CND 的弧长,圆 C2 上半圆弧 AB 的弧长,圆 C3 上半圆 弧 CD 的弧长 . 就 a,b, c 的大小关系为 NA ba c B DCC3 B b c aO C

40、 b a c A C2 C1 D b c aS 16对于定义在 R上的函数 f x , 如存在正常数 a,b , 使得 f x a f x b 对一切 x R 均成立 就称 f x 是“把握增长函数” ；在以下四个函数中： f x x 2x 1 f x | x | f x sin x 2 f x x sin x 是“把握增长函数”的有 A B C D 三,解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题,解答以下各题必需在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 17（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分 . 如图 , 正方体 ABC

41、D A1 B1C1D1 中 , AB 4 . P , Q 分别是棱 BC 与 B1C1 的中点 . 第 19 页,共 120 页1 求异面直线 D1P 和 A1Q 所成的角的大小 ; . A 1 D 1 Q C 1 2 求以 A1 , D1 , P, Q 四点为四个顶点的四周体的体积 DB 1 CP A B 8 分 . 18（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 已知函数 f x 22x 1. x 1 21 判定函数 f x 的奇偶性 , 并证明 ; 2 如不等式 f x log9 2c 1有解,求 c 的取值范畴 . 19（此题满分 14 分）

42、此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 如以下图 : 扇形 ABC 是一块半径为 2 千米 , 圆心角为 60 的风景区 , P 点在弧 BC 上 , 现欲 在风景区中规划三条商业街道 . 要求街道 PQ 与 AB 垂直 , 街道 PR 与 AC 垂直 ,线段 RQ 表 示第三条街道 . 1 假如 P 位于弧 BC 的中点 ,求三条街道的总长度 ; 2 由于环境的缘由 , 三条街道 PQ , PR, QR 每年能产生的经济效益分别为每千米 300 万 元 , 200 万元及 400 万元 ,问 :这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少 .精确到 1万 元.

43、 CRP A Q B 20（此题满分 16 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 第 20 页,共 120 页小题满分 6 分. 设数列 an 中意 an A 4 n B n , 其中 A, B 是两个确定的实数 , B 0 . 1 如 A B 1 , 求 an 的前 n 项之和 ; 2 证明 : an 不是等比数列 ; 3 如 a1 a2 , 数列 an 中除去开头的两项之外 , 是否仍有相等的两项 . 并证明你的结论 . 21,（此题满分 18 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8

44、 分. 2y 设双曲线 的方程为 x 2 3 1.过其右焦点 F 且斜率不为零的直线 l1 与双曲线交于 A, B 两点 , 直线 l2 的方程为 x t , A, B 在直线 l 2 上的射影分别为 C, D 1 当 l1 垂直于 x 轴 , t 2 时 , 求四边形 ABDC 的面积 ; | AC | | FB | 2 当 t 0 , l1 的斜率为正实数 , A 在第一象限 , B 在第四象限时 , 试比较 | BD | | FA | 和 1 的大小 , 并说明理由 ; 3 是否存在实数 t 1,1, 使得对中意题意的任意直线 l1 , 直线 AD 和直线 BC 的交点总 在 x 轴上

45、, 如存在 , 求出全部的 t 的值和此时直线 AD 与 BC 交点的位置 ; 如不存在 , 说明理 由. 第 21 页,共 120 页杨浦区答案 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题, 1-6 每题 4 分, 7-12 每题 5 分；考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否就一律得零分 1. 12 2. 2 3. 2 4. , 4 5. 2 6. 22 7. , 3 8. 47 1 39. 9 10. 8,12 11. 4 12. 4二,选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填

46、上正确的答案,选对得 5 分,否就一律得零分 . 13, A 14, C 15, D 16,C 三,解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题,解答以下各题必需在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 17,（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 以 D 为原点 , uuur DA uuur 方向为 x 轴正方向 , DC 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分 . uuuur 方向为 y 轴正方向 , DD1 方向为 z 轴正方向 建立空间直角坐标系 . （2 分） （ 10 分） （12 分） （14 分） 得 D10,0,4 , P2,4,0 , A14,

47、0,4 , Q2,4,4 . uuuur uuur 故 D1P 2,4, 4 , A1Q 2,4,0 . （ 4 分） 设 D1P 与 A1Q 所成的角的大小为 . cos uuuur uuur | D1P A1Q | uuuur uuur | D1P | | A1Q | 16 45. （ 6 分） 36 20 5就 故 D1P 与 A1Q 所成的角的大小为 arccos 5. （8 分） 52 该四周体是以 V A1D1Q 为底面 , P 为顶点的三棱锥 . P 到平面 A1QD 1 的距离 hPQ 4 . V A1D1Q 的面积 S 1S A1B1 C1D1 8. 2因此四周体 V A1D

48、1 PQ 的体积 1Sh 14 8 32 . 333第 22 页,共 120 页18,（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 1 奇函数 （ 2 分） 证明：定义域 x R（ 4 分） f x 2 2x 1 x 12 2 2x 1x 2 122 12x x 1 f x 2（ 6 分） 所以 f x 为奇函数 x 2 令： 2 t 就 t 0t 1y t 0原函数为 2t 2（ 8 分） 11y , 值域为 2 2 （ 10 分） 由于不等式 f x log 9 2c 1 有解 1log 9 2c 1所以 2 有解 （12 分） 即：

49、0 2c 131c 22（ 14 分） 19,（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 由题意 , PAQ 30 , 因此 PQ 2sin 30 1 , 同理 PR 1（ 2 分） QPR 360 2 90 60 120 , 故 QR PQ 33（ 4 分） 因此三条步道的总长度为 23 千米 （6 分） 3（ 8 分） 设 PAQ 0, 3. 就 PQ 2sin , PR 2sin 第 23 页,共 120 页A, Q, P, R 均在AP 为直径的圆上 3以QR AP 2得 QR 3（ 10 分） 由正弦定理 sin RAQ T 300

50、 2sin 200 2sin 3400 3效益 200 3sin 3 cos sin 400 3200 7 sin arctan 3400 3 （12 分） 2当 2arctan5 3 0, 3时 T 的最大值为 200 7400 31222 万元 （ 14 分） 20,（此题满分 16分）此题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 小题满分 6 分. n1 an 4 n , 故前 n 项之和 2 nSn 4 4 L 4 1 2 L n . （2 分） n44 1 1nn 1 4 4 n1 1nn 1 4 1 2 3 2（ 4 分） 2 a1 4A B , a2

51、 16 A 2 B , a 3 64 A 3B . 2如 an 是等比数列 , 就 16A 2B 4 A B64 A 3B （ 6 分） 即 256 A 264 AB 4B 2 256 A 2 76AB 3B 2, 即 B 212AB . 因 B 0 , 故 B 12A , 且 A 0 . （8 分） 此时 , a2 40 A , a 3 100 A , a4 304 A , 不中意 a3 2a2 a4 . 因此 an 不是等比数列 . （ 10 分） 3 a1 a2 即 4 A B 16 A 2B , 即 B 12 A , 且 A 0 . 第 24 页,共 120 页此时 , an n A

52、4 12n . （ 12 分） 12 1 3 4 12 0, 设 cn 4n12n, n N*. 12n n 3 4 cn 1cn n 1 4 n 12 n 1 4 c2 c3 c4 L. 当且仅当 n 1 时等号成立 , 故 c1 即除 c1 外 , cn 的各项依次递增 . （ 14 分） 因此 an 中除去 a1 和 a2 之外 , 没有其它的两项相等 . （ 16 分） 21,（此题满分 18分）此题共有 小题满分 8 分. 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 31 右焦点的坐标为 F 2,0 . 故 l1 : x 2 . （1 分） , 得到 （8 分

53、） x 2, 联立 2 x 2 y 1解得 y 3 . 故 | AB | 6 , （ 3 分） 3又 | AC | 4 ,故四边形 ABDC 的面积为 24 . （4 分） 2 设 l1 的方程为 x my 2 , 这里 m 0 . 将 l1 的方程与双曲线方程联立 2 3 my 2 y2 30, 即 3m21 y212 my 90. （6 分） 由 y1 y2 0 知 3m 210, 此时 , | AC | | FB | | AC | | BF | x A | y | 12 y A | yB | 112 y A 33| BD | | FA | | BD | | AF | xB | yA |

54、12 y B | y A | 112 yB 33由于 12 m y A yB 0, 故 y A yB 0 | y A | | yB | , 即 0, 故 112 y A 2 yB . 2 3m 1| AC | | FB | 1 | FA | . （ 10 分） 因此 | BD | 3 设直线 AB : x my 2 , 2 x 2 y 1联立得 3与 第 25 页,共 120 页2 3 m 2 1 y 12 my 90 . 有两交点表示 m3故 yA yB . 3设 Ax A , yA , BxB , yB , 就 Ct , yA , Dt, y B . xA , xB 的确定值不小于 1,

55、故 xA t , 且 xB t . 又因直线斜率不为零 , y yB x t 直线 AD 的方程为 y A yB xA t . y y A x t 直线 BC 的方程为 yB y A xB t . （ 12 分） 如这两条直线相交在 x 轴上 , 就当 y 0 时 , 两方程的 x 应相同 , 即 x t yB xA t t y A xB t . y A yB yB yA 5（ 18 分） 故 yA myB 2 t yB myA 2 t 0, 即 2myA yB 2 t yA yB 0. （14 分） yA yB 现 91 , y A y B 12m 2 3m 2 3m 1 , 代入上式 ,

56、得 18m 122 tm 0 对一切 m3都成立 . 3即 18 24 12t , t 1（16 分） 2 . 此时交点的横坐标为 x t yB xA t yA y B 1y my A 2t 12 t y A 2yB 2 t yB 12 t 2y A yB 2yA y B 224 . 综上 , t 存在 , t 1此时两直线的交点为 5 ,0 4. 2 , 第 26 页,共 120 页徐汇区 2022 二模 一,填空题（本大题共有 12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每 题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 设全集 U1,2,3,4 ,集合 A

57、2 x | x 5x 4 0, x Z ,就 CU A = 2. 参数方程为 x t 2 2t （ t 为参数）的曲线的焦点坐标为 y 3. 已知复数 z 中意 z 1,就 z 2的取值范畴是 4. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,如 Sn 12an n * N ,就 lim nSn = 35. 如 x 1 n n 2 x 4, n * N 的 二 项 展 开 式 中 前 三 项 的 系 数 依 次 成 等 差 数 列 , 就 n 6. 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 分别写在 10 张形状大小一样的卡片上,随机抽取一张卡片,就抽到 写着偶数或大于 6 的数的卡片的概率为

58、 124（结果用最简分数表示） x 7. 如行列式 cos 2x sin 2cos x20中元素 4 的代数余子式的值为 1,就实数 x 的取值集合为 2sin x 2 8 8. 中意约束条件 x 2 y 2 的目标函数 z y x 的最小值是 9. 已知函数 f x log2 x ,0 x 25,x 92如函数 g x f x k 有两个不同的零点,就实 2 x 3数 k 的取值范畴是 10. 某部门有 8 位员工, 其中 6 位员工的月工资分别为 8200 ,8300,8500,9100,9500,9600 （单位：元） ,另两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为 17000 元,

59、就这 8位员工月工资的中位数可能的最大值为 元 A 11. 如图： 在 ABC 中, M 为 BC 上不同于 uuur uuuur uuur uuur uuurAN 2 NM 如 AN x AB y AC B,C 的任意一点, 点 N中意 B NC, 就 x2 9 y2 的 最 小 值 为 M 第 27 页,共 120 页12. 设单调函数 y p x 的定义域为 D ,值域为 A ,假如单调函数 y qx 使得函数 y pqx 的值域也是 A,就称函数 y qx 是函数 y p x 的一个 “保值域函数 ” 已知定义域为 a,b 的函数 h x 2,函数 f x 与 g x 互为反函数,且

60、h x 是 x 3f x 的一个 “保值域函数 ”,gx 是 hx 的一个 “保值域函数 ”,就 ba 二,选择题（本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分）每题有且只有一个正确 选项 考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 13. “x 1”是 “ 1x 1”的（ ） （ A）充分非必要条件 （ B）必要非充分条件 （ C）充要条件 （ D）既非充分也非必要条件 14. 九章算术是我国古代数学著作,书中有如下问题： “今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺,问：积及米几何？ 处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一） ”其意思为： “在屋内墙角 ,米堆底部的弧长为 8 尺