2022年上海地区高一数学知识点归纳

1、名师精编 优秀资料上海高一数学学问点归纳第一章 集合与命题1.1 集合与元素（1）集合的概念常把能够准确指定的一些对象看作一个整体,这个整体就叫做集合 . （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素, 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （5）集合的分类含有有

2、限个元素的集合叫做有限集. . 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集（6）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N 表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集 . 1.2集合与集合C示意图BA名记号意义性质称AB1AA AB子（或A 中的任一元素都2A集BA属于 B 3 如AB且 BC ,就 A4 如AB且 BA,就 AB或真AB AB,且 B中至1A（A 为非空子集）CBA子B（或少有一元素不属于2 如 AB 且 BC ,就 A集A）A AB集ABA 中的任一元素都1AB 合属于 B,B 中的任一相2BA 1元素都属于A 等n 个真子集,它

3、21重要结论：已知集合 A 有n n1个元素,就它有 2 n 个子集,它有 2 n个非空子集,它有n 22非空真子集 . 1.3集合的基本运算名师精编优秀资料交集、并集、补集名记号意义xB（1） A性质C UBA示意图B称AA交ABx xA 且（2） ABA（3） A集并ABx xA 或xBABBAB（1） AAA（2） AA集（3） ABA补CUAx xU,且xA ABBC UABC UA集C UABC UAC UB 1.4命题的形式及等价关系（1）命题 用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句的 p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. （2）逆命题. “ 如 p ,就 q ” 形式

4、的命题中对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题；如原命题为“ 如 p ,就 q ” ,它的逆命题为“ 如 q ,就 p ” . （3）否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,就这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题 .如原命题为“ 如 p,就q” ,就它的否命题为“ 如 p,就 q”. （4）逆否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 就这两个命题称为互为逆否命

5、题；其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题；如原命题为“ 如 p ,就 q ” ,就它的否命题为“ 如 q ,就 p ” ； 1.5 充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件假如 P Q , 那么 P是 Q的充分条件, Q是 P 的必要条件；假如 P Q , 那么 P 是 Q的充要条件；也就是说,命题 P 与命题 Q是等价命题； 1.6 命题的运算命题的非运算命题的且运算命题的或运算 1.7抽屉原就与平均数原就其次章不等式名师精编 优秀资料2.1 不等式的基本性质1. 假如ab ,bc ;那么ac .b ,c,0那么acbc .2. 假如ab ,那么acbc .3. 假如ab

6、 ,c,0那么acbc:假如a4. 假如ab ,cd,那么acbd.5. 假如ab,0cd0 ,那么acbd.11.6. 假如ab0,那么01 .ab7. 假如ab0,那么anbnnN. ab0, 那么nanbnN,n8. 假如2.2 一元二次不等式的解法这个学问点很重要,可依据与 0 的关系来求解, 留意解的区间的表示,不等式组也是一样；解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式；求一元二次不等式2 axbxc0 或0a0,b24 ac0解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. . 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：依据图象写出不等式的

7、解集. 规律： 当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边区间的概念及表示法设 a b 是两个实数,且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b ,或a x b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 , , , ； 满 足x a x a x b x 的实数 x 的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需a b ,（前者可以不成

8、立,为空集；而后者必需成立）2.3 其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化,就f x 0f x g x 0名师精编优秀资料g x 0f x g x 0（“或” 时同理）f x g x 0g x 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 . （2）含肯定值不等式的解法|不等式,有a2解集x|a a0 x|axa|x|a a0 x xa 或xa |axb|c axb|c c0把 axb 看 成 一 个 整 体 , 化 成 |x|a ,两个基本不等式：1. 对任意实数a和b|x|a a0型不等式来求解b22 ab ,当且仅当ab时等号成立； 2. 对任意正数a和b ,有a22b2a

9、b,当且仅当ab时等号成立； 我们把a22b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数；（3）无理不等式的解法 方法：将无理不等式转化为有理不等式求解,f x a a0f x 0或f x 0f x a2f x a a0f x 0f x a2f x g x f x 0g x 0g x 0f x g x f x 2f x 0g x 0f x g x f x 2f x 0g x 0f x g x 名师精编 优秀资料（4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式, 把根标在数轴上, 从右上方依次往下穿 写出不等式的解集 . 2.4 基本不等式及其应用（ 奇穿偶切 ）,结合原式不等号的方向,1.2

10、ab22 ab a,bR, （当且仅当 ab 时取 号） . “ 一正、 二定、2.a2baba,bR, （当且仅当 ab时取到等号） . 用基本不等式求最值时（积定和最小, 和定积最大）,要留意满意三个条件三相等”.2.5 不等式的证明常用方法有： 比较法（作差,作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项,如a1 223a1 22 ;1,k1,4将分子或分母放大（缩小）,如1,1111k2k kk2k k22kk212kkk1k2kN*,k1kk1第三章函数的基本性质3.1 函数的概念在某个变化

11、过程中有两个变量 x, y,假如对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个 确定 的值,依据某个对应法就 f , y 都有 唯独 确定的实数值与它对应,那么 y 就是 x的函数 . 记作：y f x x D x是 自变量 D 是定义域 与 x 对应的 y 值叫做函数值函数值的集合是 值域3.2 函数关系的建立函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系名师精编 优秀资料3.3 函数的运算函数的和：hxfxgx3

12、.4 函数的性质（1）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义fx定义图象判定方法性 质假如对于函数（1）利用定义（要域内任意一个x ,都有先判肯定义域是否函数的fx=fx, 那么函关于原点对称）（2）利用图象（图数 fx叫做 奇函数奇偶性假如对于函数fx定义（1）利用定义（要域内任意一个x ,都有先判肯定义域是否fx=fx, 那 么函 数fx 叫做 偶函数关于原点对称）（2）利用图象（图 象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在x0处有定义,就f00（2）函数的单调性 定义及判定方法函数的定义y图象xx判定方法性 质假如对于属于定义域I 内y=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个

13、（2）利用已知函数自变量的值x1、x2, 当 x1 的单调性函数的x2时,都有 fx1fx2,ofx （3）利用函数图象（在某个区间图那么就说fx在这个区x1x2象上升为增）间上是 增函数（4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内yy=fX（1）利用定义（2）利用已知函数某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当 x1fx2,fx （在某个区间图那么就说fx在这个区x1x 2象下降为减）间上是 减函数（4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去 一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数（ 3）函数的最值一般地,设函数y名师精编优秀

14、资料M 满意：f x 的定义域为 I ,假如存在实数（1）对于任意的 x I ,都有 f x M ；（2）存在 0 x I ,使得 f x 0 M 那么,我们称 M 是函数 f x 的最大值,记作f max M 一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（1）对于任意的 x I ,都有 f x m；（2）（ 2）存在 0 x I ,使得 f x 0 m 那么,我们称 m是函数 f x 的最小值,记作 f max m （4）函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0 成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点；2、函数零点

15、的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根,亦即函数y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：1求函数yfx的零点：yf x的图象联系起来,（代数法）求方程fx0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数并利用函数的名师精编 优秀资料第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质（ 1）幂函数的定义一般地,函数yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第

16、四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1单调性：假如 0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数4.2 指数函数的图像与性质函数名称名师精编优秀资料指数函数定义y1a函数yaaxa0且a1叫做指数函数10a1图象yyxyaxyy10,10,1定

17、义域 值域过定点 奇偶性 单调性函数值的 变化情形a 变化对 图 象 的 影响OxOxR0,图象过定点 0,1 ,即当x0时,y1非奇非偶在 R 上是增函数在 R 上是减函数x a1 x0ax1 x0 x a1 x0ax1 x0 x a1 x0ax1 x0在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低 （趋势）4.3 对数概念及其运算（1）对数的定义如axN a0,且a1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（2）几个重要的对数恒等式log 10

18、, logaa1, logaabb （3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中e2.71828 ）（4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么加法： logaMlog aN名师精编优秀资料aMlogaNlogaMlog a MN减法： logN数乘：nlogaMalogaMnnRa log a NaNlogbNb0,且b1 logabMnn blogM b0,nR换底公式：logNlogba4.4 反函数的概念（ 1）反函数的概念设函数 y f x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y f x 中解出 x

19、,得式子x y 假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x 表示x是 y 的函数,函数 x 叫做函数y f x 的反函数,记作 x f 1 y ,习惯上改写成 y f 1 x （2）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式 y f x 中反解出 x f 1 y ；将 x f 1 y 改写成 y f 1 x ,并注明反函数的定义域反函数的性质 : 原函数 y f x 与反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称函数 y f x 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 x 的值域、定义域如 P a

20、b 在原函数 y f x 的图象上,就 P b a 在反函数 , y f 1 x 的图象上一般地,函数 y f x 要有反函数就它必需为单调函数4.5 对数函数的图像与性质函数函数ylogax a对数函数1叫做对数函数1名称定义0且a图象a10ayx名师精编优秀资料yx1ylogax1ylogax1,0定义域O1,0 x0,Ox值域在 0,R过定点图象过定点 1,0 ,即当x1时,y0奇偶性非奇非偶单调性 上是增函数在 0, 上是减函数函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形logax0 0 x1logax0 0 x1a 变化对 图 象 的在第一

21、象限内,a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高影响4.6 简洁的指数方程指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程 . 1. 留意定义域 2. 娴熟使用指数对数运算公式 3. 娴熟运用函数性质,留意 换元法4.7 简洁的对数方程对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程 . 第五章 三角比5.1 任意角及其度量（1）角的分类1、 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角 2 、角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称为第几象限角第一象限角的集合为k36090kk36090 ,kk其

22、次象限角的集合为k360360180 ,第三象限角的集合为名师精编优秀资料k360270 ,kk360180第四象限角的集合为k360270k360360 ,k假如角的终边落在坐标轴上,就也可以称为轴线角 .终边在 x 轴上的角的集合为k180 ,k终边在 y 轴上的角的集合为k18090 ,k终边在坐标轴上的角的集合为k90 ,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k（2）角的弧度制1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的弧度数的肯定值是l2、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角r3、弧度制与角度制的换算公式：2360 , 1180,118057.35.2 任意角的三角比

23、 1、三角比定义设角是一个任意角,将角置于平面直角坐标系中,角的顶点与原点O重合,的始边与 x 轴的正半轴重合,在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ） , 有点 P 到原点的距离为：sin_rx2y22 xy204yPx,ycos_2rxQyxtan_Ocot_sec_-2csc_-42、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正3、单位圆：圆心在坐标原点,半径为1 的圆（解决任意角,三角比问题的利器）. 4、三角函数线：sin, cos名师精编优秀资料, tan说明：三角函数线是有向线段（向量）,既有长度,又有方向, 方向的正负与对

24、应的三角比值保持一样. y P 作 x 轴的垂线,交xPTOMA x （1）正弦线：无论是第几象限角,过的终边与单位圆的交点轴于 M,有向线段MP的符号与点P 的纵坐标 y 的符号一样,长度等于y所以有MP =ysin我们把有向线段MP 叫做角的正弦线,正弦线是角的正弦值的几何形式（2）余弦线：有向线段OM 叫做的余弦线 . x 轴的垂线）,设的终边或其反向延长（3）正切线：过A（1,0）点作单位圆的切线（线与这条切线交于T 点,那么有向线段AT 叫做角的正切线 . 5.2 任意角的三角比5.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角函数的基本关系式1 sin2k2 cos1sin212 cos,

25、cos21sin2cot；12sin cossintancos,cossin.（ 3） 倒数关系： tantantansin, cos 2 kcos, tan 2 ktank1 sin 22 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, cos名师精编优秀资料tancos, tan5 sin2coscos22sinsin6 sin2cos, cos5.4 两角和与差的余弦,正弦与正切 coscos cossinsin； coscos cos1sinsin； sinsincoscos sin； sinsincoscos sin）；

26、tantantan（ tantantantantan1 tantantantantan（ tantantan1tantan1 tantan5.5 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin222sincos1sin2sin22 cos122sincossincos2cos22 cos2 sin2 2cos11 2sin2sin22升幂公式1cos2cos221,cos降幂公式2 coscos21,2 sincos2半角公式22:cos 21cos;sin1cos222t an 21cossin1cos1cos1cossin万能公式:tan;cos1tan22 2 2 sin2tan1tan1221tan22tan2 tan5.6 正弦定理,余弦定理和解斜三角形1 、 正 弦 定 理 ： 在C中 ,a、b、c分 别 为 角、 C 的 对 边 , 就 有abcC2R R 为名师精编优秀资料 C 的外接圆的半径sinsinsin2、正弦定理的变形公式：a2Rsin,b2Rsin,c2 RsinC ；2 sina, sinb, sinCc；a b csin: sin: sinC ；2R2R2