拉氏变换与逆变换

1、拉普拉斯(Laplace)变换2022/8/121复数与复变函数1.复数(,为实数)2. 复变函数3. 复数的代数表示法4. 复数的模与幅角2022/8/122设函数 若满足： （1）当 时， （2）当 时，实函数 的积分 在s的某一域内收敛，则定义 的拉普拉斯变换为 一、 拉普拉斯变换的定义：（s = + j） 称为 的象函数； 称为 的原函数. 2022/8/123拉氏逆变换拉氏变换与拉氏逆变换一一对应2022/8/1242010-10-751、单位脉冲函数 (t)二、 常用函数的拉氏变换2022/8/1252、单位阶跃函数1(t)2022/8/1262010-10-773、单位斜坡（速度

2、）函数2022/8/1272010-10-784、单位抛物线（加速度）函数2022/8/1285、幂函数：f(t)=tn6、指数函数： f(t)=eat (a为常数)2022/8/1297、正弦函数和余弦函数2022/8/1210三、拉氏变换的基本性质1、线性性质（叠加原理） 设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，它们的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，a和b是两个任意实常数，Laf1(t)+ bf2(t) = aL f1(t) + bLf2(t)= aF1(s) + bF2(s) L-1aF1(s) + bF2(s) = af1(t)+ bf2(t)2022/8/1211例：求函

3、数 的象函数。f(t)=K(1-e-at)解：LK(1-e-at)=LK -LKe-at 根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。2022/8/12122、微分性质函数f(t)的象函数F(s)与其导数的象函数之间有如下关系:零初始条件下：2022/8/1213解：例：利用导数性质求余弦函数的象函数。2022/8/12143、积分性质若Lf(t)= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则n重积分2022/8/12154、延迟性质 若 Lf(t)= F(s)，则例：求e-b(t-a) 的拉氏变换，a、b为任意实数

4、。 5、位移性质若Lf(t)= F(s)，则F(s-a)= Lf (t) eat2022/8/12166 、初值定理7、终值定理条件：sF(s)的所有极点都在S左半平面2022/8/1217 2）卷积定理设则 3）卷积定理的应用 线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响应，则：8、卷积定理 1）两个时域函数的卷积2022/8/1218常用函数拉氏变换表2022/8/12191） A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点四、拉氏逆变换的部分分式法，按代数定理将F(s)展开为部分分式：分三种情况：2） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点3） A(s)=0有一对共轭复根2022/8/12201). A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点四、拉氏逆变换的部分分式法，2022/8/1221例：求 的拉氏逆变换。解：求2022/8/1222 解： 将方程两边取拉氏变换，得 整理得 故 例：解方程 ,其中应用拉氏变换求解线性常系数微分方程2022/8/12232） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点2022/8/1