《数学归纳法》第2课时示范课教学设计【高中数学】

1、数学归纳法教学设计第2课时教学目标1了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法教学重难点 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题. 课前准备 PPT课件教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第4750页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法（2）前面学生已经学了数学归纳法本节课在

2、上节课的基础上继续学习数学归纳法，学习利用数学归纳法证明与正整数有关的命题培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养问题2：什么叫数学归纳法？一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当（）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k（，k）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立. 设计意图：通过复习数学归纳法

3、的定义，温故知新，引入新课 【探究新知】知识点1利用数学归纳法证明与正整数有关的命题首先，数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一是证明当时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递推.这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立.设计意图：进一步理解数学归纳法的证题步骤进一步说明可用数学归纳法证明关于正整数有关的命题发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养思考：用数学归纳法证明命题：下面的证明过程是否正确，若不正确，请说明理由并给出正确解法证

4、明：（i）当时，左边，右边，命题成立（ii）假设当时命题成立，即，则当时，命题也成立根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立师生活动：让学生根据数学归纳法的证题步骤来回答本题预设的答案：不正确没有用上“归纳假设”，此法不是数学归纳法需要将“则当时，”后面改为如下过程：，等式也成立说明：缺了第（ii）步，就没有了归纳递推的过程；在证明时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了强调：第（i）步成立是推理的基础，第（ii）步是推理的依据，结论使整个数学归纳法的过程顺利完成，所以“两个步骤和一个结论”缺一不可教师总结：用数学归纳法证明命题时，“两个步骤和一个结论”缺一不可.即递推

5、基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉设计意图：通过该题，让学生进一步体会数学归纳法的证题步骤【巩固练习】例1. 利用数学归纳法证明对任意正整数n成立师生活动：让学生板演，让学生修改，教师点评完善预设的答案：证明：（1）当时，左边=右边，命题成立（2）假设当时，命题成立，即当时，左边右边因此，若时命题成立，可推出时命题成立综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立设计意图：学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力例2 已知数列an满足a1=0, 2an+1-anan+1=1(nN*),试猜想数列an的通项公式，并用数学归

6、纳法加以证明师生活动：先将数列an的递推关系2an+1-anan+1=1化为（nN*).让学生通过计算a2,a3,a4,a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想预设的答案：由2an+1-anan+1=1,可得(nN*).由a1=0,可得,同理可得, ,归纳上述结果，猜想(nN*). = 1 * GB3 下面用数学归纳法证明这个猜想（1)当n=1时， = 1 * GB3 式左边a1=0,右边,猜想成立（2)假设当n=k(k N*)时， = 1 * GB3 式成立，即,那么,即当n=k+1时，猜想也成立由（1)(2)可知，猜想对任何nN*都成立设计意图：通过该典型例题，让学生明白可以

7、利用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1, 1+x, (1+x)2,(1+x) n-1,.的前n项和为Sn,试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善预设的答案：解法1:由已知可得Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2 + (1+x) n-1.当n=2时，S2=1+(1+x)=2+x,由x0,可得S2 2;当n=3时，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2,由x0,可得S3 3.由此，我们猜想，当x R*, nN*且n1时

8、，Snn.下面用数学归纳法证明这个猜想（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立（2)假设当n=k(kN*，且k2)时，不等式成立，即Sk k,由x0,可得1+x1,所以（1+x) k 1.于是Sk+1= Sk + (1+x) k k+ (1+x) k k+1,所以，当n=k+1时，不等式也成立由（1)(2)可知，不等式Snn对任何大于1的正整数n都成立解法2:显然，所给数列是等比数列，公比为1+x,于是Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2+ (1+x) n-1当n=2时，S2= =x+2,由x0,可得S2 2;当n=3时，S3=x2+3x+3,由x0,可得S3 3.由此，我们猜想，当x

9、0, nN*,且n1时，都有Snn.下面用数学归纳法证明这个猜想（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立（2)假设当n=k(kN*,且k2)时，不等式Skk成立，即由x0,知.所以Sk+1=1+ (1+x) + (1+x) 2+ (1+x) k 1xk+k+1.又x0,所以Sk+1 k+1.所以，当n=k+1时，不等式也成立由（1)(2)可知，不等式Snn对任何大于1的正整数n都成立设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明与正整数有关的不等式命题发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养方法总结：该问题中涉及两个字母x和n,x是正实数，n是大于1的正整数一种思路是不求和，而直

10、接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn,再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想例4 是否存在常数使得等式对于一切正整数n都成立，并证明你的结论师生活动：教师先分析，然后学生分组讨论，派代表发言，教师进一步完善预设的答案：假设存在符合条件的常数，则将代入得，于是对于，有下证上述等式对于一切正整数n都成立：当n=1时，由上述知等式成立；假设当n=k时，则当n=k+1时，左边 即当n=k+1时等式成立；由得，等式对于一切正整数n都成立，即存在常数使得等式成立.设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握

11、数学归纳法在证明关于正整数有关的命题发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养方法总结：对于探索性命题，一般是先假设存在，按条件求解，求得出来就存在，求不出来就不存在练习：教科书P51 练习1 、2、3、4设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养 【课堂总结】1板书设计：4. 4数学归纳法（2）一、探索新知二、初步应用1数学归纳法的应用例1知识讲解1：例2例3例42总结概括：通过本节课的学习：问题1. 你能说出数学归纳法的步骤有哪些？问题2. 如何用数学归纳法探求数列的通项公式？问题3. 如何用数学归纳法处理与正整数有

12、关的不等式的证明问题？师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力3课堂作业：教科书P51 习题4.4 3 、4、5【目标检测设计】1用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（ ）ABCD设计意图：进一步熟悉用数学归纳法证明不等式的步骤；同时，在证明过程中，培养学生逻辑推理能力2证明：“对任意的正整数n成立”设计意图：进一步巩固用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤；在证明过程中，培养学生逻辑推理能力3已知数列中，（1）求，的值；（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.设计意图：进一步巩固用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式的方法和步骤；进一步培养学生数学运算、数