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文档简介

1、实变函数与泛函分析I课程教学大纲（总学时数：48，学分数：3）一、课程的性质、任务和目的实变函数是数学专业必修课之一，是近代分析数学领域的基础。本课程数学思想与方法密集，是进一步掌握现代数学理论，开展理论和应用研究必不可少的基础课程。通过本课程的学习，使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法，为以后进一步的深入学习打下坚实的基础。二、课程基本内容和要求（一）集合1.集合（1）集合的概念（理解）（2）集合的表示（掌握）（3）集合的运算（掌握）2.对等与基数（1）集合的对等（理解）（2）集合的基数（理解）（3）Bernstein定理（掌握）3.可数集合（1）可数集合的概念（理解）（2）可数

2、集合的性质（掌握）（3）常见的可数集合（掌握）4.不可数集合（1）不可数集合的概念（理解）（2）常见的不可数集合（了解）重点：对等、基数、可数集合、不可数集合难点：对等（二）点集1.度量空间（1）距离的概念（理解）（2）度量空间的概念（理解）（3）邻域及性质（掌握）（4）n维欧氏空间（掌握）2.聚点、内点、界点（1）聚点的概念（理解）（2）内点的概念（理解）（3）界点的概念（理解）3.开集、闭集、完备集（1）开集的概念（理解）（2）闭集的概念（理解）（3）完备集的概念（理解）（4）有限覆盖定理（掌握）4. 直线上开集、闭集及完备集的构造（1）直线上开集的构造（掌握）（2）直线上闭集及完备集的构

3、造（掌握）（3）康托尔三分集（了解）重点：聚点、内点、界点、开集、闭集难点：完备集（三）测度论1.外测度（1）外测度的概念（理解）（2）外测度的性质（掌握）2.可测集（1）可测集的概念（理解）（2）可测集的性质（掌握）3.可测集类重点：外测度、可测集的概念及相关理论难点：不可测集的构造。（四）可测函数1.可测函数及性质（1）可测函数的概念（理解）（2）可测函数的性质（掌握）2.叶果洛夫定理（掌握）3.可测函数的构造（掌握）4.依测度收敛（1）依测度收敛的概念（理解）（2）依测度收敛的性质（掌握）重点：可测函数、依测度收敛难点：可测函数的构造（五）积分论1.非负简单函数的勒贝格积分（1）非负简单

4、函数勒贝格积分的概念（理解）（2）非负简单函数勒贝格积分的性质（掌握）2.非负可测函数的勒贝格积分（1）非负可测函数勒贝格积分的定义（理解）（2）非负可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Levi定理（掌握）（4）Foutou引理（掌握）3.可测函数的勒贝格积分（1）可测函数勒贝格积分的概念（理解）（2）可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Lebesgue积分的绝对连续性（掌握）（4）Lebesgue控制收敛定理（掌握）重点：非负函数的积分的定义，可积函数的性质难点：一般可积函数的积分定义、性质。掌握Lebesgue积分的绝对连续性。三、学时分配表序号内容讲授1集合62点集93测度论124可测函数95积分论12合计48四、有关说明（一）先修课程数学分析（二）教学参考书1

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