风险投资的数学模型

1、PAGE 风险投资的数学模型姓名：罗燕 学号:2008010402 指导老师: 陈华（新疆石河子大学 师范学院 832000）摘 要：风险投资在我国近年来发展十分迅速，它是一种高风险投资，其运作过程中存在着多种不确定性和风险。如何有效地控制风险是证券投资最终取得成功的关键。从我国证券市场的不同板块中选取了业绩较好的五只股票为研究样本，以2011年3月至2012年的3月间，每月开盘价及收盘价为初始数据，利用EXCEL强大的制表功能及强大的函数引用功能，求得每只股票的单项期望，及五只股票彼此间的协方差矩阵，由此构建均值一方差资产组合模型目标规划方程及多目标规划方程，并求解分析。关键词：风险组合投资

2、；均值一方差模型；多目标模型；实证分析一、引言长期以来，金融资产固有的风险和由此产生的收益一直是金融投资界十分关注的课题。在风险最低的条件下，使投资获得最高的长期回报。投资组合管理者以长期投资目标为出发点，为提高回报率时常审时度势改变各主要资产类别的权重。特别既要使风险最小，又要使收益最大的多目标规划，更能满足投资者的需求，研究构建多目标规划模型证券组合投资方程求解，有很强的实用价值。在证券市场中，马科维茨投资组合理论在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。目前在多元投资组合的研究领域中对风险的定义不同产生了不同研究方法，有定性分析法也有定量分析法。在现代的行为证券组合

3、理论中，所建立的行为证券组合投资决策模型仅具有理论价值，无法应用于组合投资管理实践；另外，由于投资对象较多，导致了证券组合投资决策模型的求解算法过于复杂。因而对其求解算法的研究是必要的，因此，我们采用了有确定性的算法、模糊算法以及神经网络算法等对模型加以求解。假设能成功的将我们的研究成果用于证券、股票、基金等投资项目，那我们所带来的收益将是不可估量的。首先，它解决了投资者如何选择投资方案的难题，它为投资者的提供了直接有效的投资方案，是科学理财的首选，而且方便、快捷便于操作。其次，投资组合方案的合理性保证了效益的客观性。投资，为的就是赚钱，而这恰是我们研究项目的具体价值所在，只有很好的保证好顾客

4、的收益才会实现研究的意义。二、理论基础马克威茨的现代投资组合理论是证券投资基金进行投资的理论基础。马克威茨认为，可以通过组合投资把投资分散到几种证券上。风险投资的风险可以分为系统性风险和非系统性风险，前者是指某些因素会对所有的证券市价都会带来损失的可能性，如自然灾害、市场因素、政策与政治等；后者是指某些因素对单个证券市价造成损失的可能性，如经营管理不善造成单个企业效益下降，市场变化导致某种产品需求减少等。其中非系统风险可以通过证券投资的分散化，即组合投资来降低。组合投资是指将各类证券按一定条件组成一个投资集合，从概率论的角度看，分散可以降低风险产生的概率。在分散和集合双重条件下的组合投资，分散

5、是组合的前提，分散是经验型、定性型、低层次的简单投资；组合是在分散条件下，对分散进行科学性、定量型、高层次的提炼。分散固然能够降低风险，但并不是越分散越好，分散也有一定限度，过度分散不仅无助于进一步减低风险，管理成本也会进一步上升。分散的适度与科学的分散在定量上的体现就是组合。为了较好地模拟公司的投资，可以将投资公司的投资方案倾向分成三类：1、稳妥型。此方案追求的是风险与投资均衡，即高风险高收益或低风险低收益。2、保守型。此方案追求的是风险低，而不在意收益较低。3、激进型。此方案追求的是收益高，而不在意风险相当高。三、引例分析本文将从投资方案倾向型（稳妥型、保守型、激进型）的角度进行投资权重分

6、析。首先引入实例，随后进行样本数据的收集和计算。分别构建均值一方差模型目标规划方程、多目标规划方程求解，并比较这两种方程解的优劣。当两种方案拥有相同的净收益率时，如果其中一个的风险比另一个小时，我们就称前者的满意度较高；当两种方案拥有相同的风险时，如果其中一个的净收益率比另一个小时，我们就称后者的满意度较高；当两种方案一个的净收益率比另一个高，同时风险比后者低时，我们称前者的满意度较高；在其他情况下，二者满意度无法比较。3.1 证券组合投资实例引入 曹兴、彭耿的(Markowitz投资组合理论在中国证券市场的应用一文得出，为了达到组合风险充分分散的目的，随机股票组合大致需要913只股票而不同行

7、业股票组合只需要58只股票。依据该文结论，从我国证券市场的不同行业中，选取了收益较好的5只股票，分别是亨通光电（600487）、恒邦股份（002237）、上港集团（600018）、长江通信（600345）、福建高速（600033）。下表是这5只股票在2011年3月至2012年的3月间每股收益（万元）情况。股票名称及代码12-03-3111-12-3111-09-3011-06-3011-03-31平均亨通光电（600487）恒邦股份（002237）上港集团（600018）长江通信（600345）福建高速（600033）0.14700.23620.03940.05000.04970.89701.

8、24000.20200.18000.16300.74000.91500.16220.11700.14740.40000.76420.11230.09400.09870.12500.36050.05950.06000.05510.46180.703180.115080.10020.10278下表是这5只股票在2011年3月至2012年的3月间的任意两天的价位浮动区间。股票名称及代码最高最低平均亨通光电（600487）恒邦股份（002237）上港集团（600018）长江通信（600345）福建高速（600033）21.5938.882.8713.352.5520.5638.182.8313.112

9、.4921.5638.532.8513.232.52分别将上述股票记作进行证券投资组合，在满足不同约束条件所构建的投资模型下，分别求得以这5只股票进行证券投资组合的解，即对这5只股票的投资比例。首先对这5只股票进行了评估，估算出了这一时期内购买的平均收益率。3.2 构建投资模型且求解3.2.1 构建均值一方差模型且求解基本假设1、投资者总是追求较高的收益和较低的风险，即投资者都是理性的和风险厌恶者。2、五种股票的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或协方差来表示。3、不存在无风险资产。4、对收益率和风险的预测值是可信的。5、投资组合不允许出现卖空的情形。设 表示对第只股票

10、投资的投资权重；=，其中表示第只股票收益率期望值；协方差,表示两种资产之间的关联程度,其值越大,表明其关联程度越大。由基本假设可知各股票之间没有联系，因此的值为零。这5只股票的协方差矩阵： （3.1）建立不允许买空情况下的均值-方差模型如下: （3.2） 其中可根据投资者的要求，来选择0-1间的正实数，表示所要求收益率的最低限度。当然的选取不可能过大。使用Matlab软件求解时发现，当取0.0409时解为,即表明：5只股票中只需将全部资金投入股票5，就可使收益率不小于0.0409时无解，而当0.0409时无解。表明：想使收益率大于或等于0.0409的前提下，风险最小的解是不存在的。3.2.1.

11、1 均值一方差模型评价除马科维茨理论不允许买空和卖空的假设与我国当前的金融证券市场的情况比较吻合外，但是该理论与我国证券市场投资者组合投资实践尚存在众多的问题。1、风险分散方式问题。现代证券投资组合理论的风险分散方式虽然也能够得到一个最优结果，但这种最优结果仅仅是由投资数量结构调整所产生，并非是由改进风险的收益和成本所决定，因而风险分散方式的最优结果缺少经济学的内涵和必不可少的经济动力。2、风险的测度问题。Markowitz 均值方差模型是效用函数的特例，只有在证券收益率服从正态分布条件下，方差才是风险的有效测度。事实上，投资者对风险、收益的理解不对称，更谈不上均匀分布在均值左右并不一定服从正

12、态分布。3、模型参数估计时效性问题。现实证券市场，证券收益具有非常强的时效性，这就要求证券投资决策方法也具有时变特性，而Markowitz 的均值方差模型中各参数进行估计时，要求样本长度足够长，而样本长度导致模型参数不能充分反映证券收益率的最新变化情况，因而它的时效性较差。4、交易费用问题。Markowitz模型没有考虑证券组合投资过程中的交易费用。在证券组合投资过程中，忽略交易费用的证券会导致非有效的证券组合投资。另外，该模型还假定投资者在作决策时仅持有一定数量的资本金，而没有持有任何证券，在实际进行组合投资决策时，投资者往往已经持有一定数量的证券，投资者进行投资决策，就是重新调整各风险证券

13、的持有量。5、市场有效性问题。只有当股票市场上股票价格能够及时且不偏不倚地充分反映市场上的所有信息时，市场才是有效的。由于市场本身可能存在失灵的现象，完全有效的股票市场是一种理想境界。更何况在我国，上市公司信息披露存在着大量的虚假性、不充分性和不及时性，使得股票市场的有效性更低。6、理论运用的局限。现代证券投资组合理论运用的条件要求非常高，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备。更重要的是要对证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因而，从本质上讲，现代证券投资组合理论运用的局限，是由该理论运用过程中的成本所决定的。此

14、模型正是在马克维茨均值-方差模型的基础上,提出了一个多目标的投资组合优化模型,并给出了对于该模型的求解方法。通过该模型的具体的实证分析来研究证券投资中的投资组合优化问题。3.2.2 构建多目标函数模型且求解投资管理者之所以要进行组合管理，其意义是：一是可降低证券投资的风险，二是可实现证券投资收益的最大化。前面构建的两个模型的实证分析，都是事先使收益率或效用不低于某个确定而使投资风险最小。而在实际证券投资组合模型中，管理者往往既想使收益最大化又想使得风险最小化。因此，这种多目标的证券组合投资建模及求解就有了强大的使用价值。于是就基于均值-方差模型对前面得例子建立多目标函数模型。同样设表示对第只股

15、票投资的投资权重；=。其中表示第只股票收益率期望值。这5只股票的协方差矩阵： 建立多目标规划方程如下： （3.3）为了求解多目标规划方程，一般都是将其转化为单目标方程，有时还可适当加以转化。为了简单起见可将其转化为单目标方程如下： （3.4）同样使用Matlab计算软件求得最有解为：3.3 两种模型解的比较及评价我们将多目标规划方程所得的解代入中，可获取的收益率可达0.0930，对应方差为0.0021。按此最优解对各股安排投资比例进行投资，要比按均值方差模型(3.1)获利大，风险还小。(因为均值一方差模型最大收益率小于0.409，此时对应的方差为0.0043)。于是，从该例可以看出，建立多目标

16、规划方程求解，更能达到组合投资优化的目的。上述模型的建立是从投资方案倾向型稳妥型角度进行投资权重分析。要求有一定的是收益率的同时而风险最小。通过对以上结果的分析，我们发现模型中未体现出市场状态对收益率的影响，另外由于是不同行业，在市场发生变化下的影响程度也会不同。所以有必要考虑市场状态这个因素对模型的影响，这些显然都是不符合实际情况的，因此我们需要对条件进行完善，需要引进了风险因子，从而建立起更加符合实际条件的模型。四、条件完善的模型不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的范围内视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。因此，只要对利益和

17、风险的相对要求发生改变就可以建立不同的模型。如果我们把未来市场划分为好、中、差三个等级.通过调查，其发生的概率分别为0.2,0.7,0.1.这就是我引进的风险因子。通过在网上查找资料（具体整理过程暂不附上），调查了2008年1月至2012年3月的收益情况，认为投资于亨通光电（600487）、恒邦股份（002237）、上港集团（600018）、长江通信（600345）、福建高速（600033）每季度的收益（万元）在风险因子的影响下为下表：股票名称及代码=0.2=0.7=0.1亨通光电（600487）恒邦股份（002237）上港集团（600018）长江通信（600345）福建高速（600033）0

18、.380.740.080.160.160.240.330.050.060.080.060.120.03-0.030.01我们首先考察数学期望（万元）下面我们来计算下他们各自的方差从平均收益来看恒邦股份（002237）、亨通光电（600487）、福建高速（600033）的收益比较大。但从方差来看上港集团（600018）、福建高速（600033）、长江通信（600345）的风险比较小。因为方差越大，则收益的波动大，从而风险也相对越大。所以我们可以建立以下模型进行投资：同样设表示对第只股票投资的投资权重； 建立如下模型，其中（=0.0001）为模型的不可避免的系统误差。 （4.1） 使用Matlab

19、计算软件求得最有解为：五、对模型的评价以上模型建立比较合理，把风险和收益以及投资者的偏好因素都考虑进去了。运用大量的数学知识，例如矩阵论，期望，方差，协方差等很多知识，并且在计算得时候运用了控制变量法求得了最优解，而且任举一个例子，用来证明建立模型的适用合理。把已知和跟投资环境相适应的虚设条件代入，即可求出最优解，即各种投资项目投资比例，按照此比例投资，就会达到投资者的目的。因此，以上模型具有很广泛的应用价值。六、成果的科学价值、应用前景及效益 多元投资组合是指将一定量的资金投资于有限个投资对象，资金的一种分配方案就称为一种投资组合。由于是多个投资对象，因此也称为多元投资组合。多元投资组合的目

20、的是投资收益最大化、风险最小化。如何做到收益最大化、风险最小化及找出此情况下模型的解是本课题研究的科学价值所在,而我们也确实找到了模型的解。我们将拿出具体的方案在具体情境进行有效地分析，确定风险因子及收益状况并确定出适当的投资比例。投资组合是规定了投资比例的有价证券的投资方案，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的

21、风险。均值方差分析方法和投资组合有效边界模型。因此，多元投资组合模型解得存在性的应用前景就具有宽泛性也具有实效性。投资组合理论研究“理性投资者”如何优化投资组合。所谓理性投资者，是指：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。另外,对于风险的度量也是人们所关注的。在证券市场中，马科维茨投资组合理论及衍生出来的理论在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。目前在多元投资组合的研究领域中对风险的定义不同产生了不同研究方法，有定性分析法也有定量分析法。在现代的行为证券组合理论中，所建立的行为证券组合投资决策模型仅具有理论价值，无

22、法应用于组合投资管理实践；另外，由于投资对象较多，导致了证券组合投资决策模型的求解算法过于复杂。因而对其求解算法的研究是必要的，因此，我们采用了有确定性的算法、模糊算法以及神经网络算法等对模型加以求解。假设能成功的将我们的研究成果用于证券、股票、基金等投资项目，那我们所带来的收益将是不可估量的。首先，它解决了投资者如何选择投资方案的难题，它为投资者的提供了直接有效的投资方案，是科学理财的首选，而且方便、快捷便于操作。其次，投资组合方案的合理性保证了效益的客观性。投资，为的就是赚钱，而这恰是我们研究项目的具体价值所在，只有很好的保证好顾客的收益才会实现研究的意义。七、课题完成情况及自我评价我研究

23、的是风险投资的数学模型。它是在Markowitz模型的理论基础上开始研究的多元投资组合的数学模型，他具有高度的科研价值和较高的难度，但我通过自身的努力，充分运用各方面的才能去完成任务。在论文写作的初期经历了很多困难，但我努力不放弃，终于在后期较为出色的完成了任务。尽管我有时候很迷茫，但我们没有迷失自我。我坚定了自己的方向，就像坚定我们自己的人生信条一样，去出色地完成项目课题的研究。本课题通过用数学方法结合建立数学模型,即数学建模来对马克维茨投资组合模型存在的不足和缺陷问题进行研究，定量研究经济类问题,比用纯粹的经济手段更具有说服力，把各个因素细分，控制变量法，用到期望和方差更好的反映平均收益的

24、大小和风险波动的幅度,最后把各种情况综合考虑，具有很高的准确性和可靠性和可信度,基本上已找到模型最优解存在性的理想条件。即本项目与一般的常规方法研究不同，与常规方法研究程序相反,过程在求解，但最终目标是找到解的存在条件，先给理想情况下：投资者的投资风险最小，投资者的收益最大，并且把两者综合起来考虑时，收益减去风险后获利最多，这也是本项目与其它一般方法研究的独特之处所在,这是投资者的目的所在。正是如此，只要投资者在投资时满足此最优解存在的理想条件，就能达到投资者投资赚钱的目的，所以此项目的成果能够被广大投资者所借鉴，也正是如此具有巨大的应用前景。通过此次毕业论文设计，我学到了许多东西。如：收集资

25、料的能力，需要我对所收集到的资料进行有益的筛选，从中发现对自己研究有价值的信息；能掌握资料收集的一般方法，做好信息资料的积累工作。观察能力，有较强的观察意识，能经常捕捉到有价值的信息，并且观察具有一定的准确性和可靠性。推理想象思维能力，思维具有一定的创新性，研究中能够运用类比、归纳、演绎分析、综合等方法。操作表达能力，能提出和设计研究方案，并完成方案中的各项内容和要求。有较强的成果意识，能写出成果报告，有较强的文字处理能力，文笔流畅，叙述清晰，并且善于与他人交流研究成果，思维活跃，想象力丰富，对周围的一切事物感兴趣。有强烈的求知欲，喜欢看书，爱提问题和专研问题；有较强的意志和自控能力，在研究中

26、有不达目的誓不罢休的意志品质。研究习惯可以从侧面反映我整体的科学素养水平。八、结束语风险投资的资本组合就是在对未来不确定因素判断、评估的基础上，投资于某个或多个项目，以减少未来不确定因素对项目的冲击所造成的损失，获得较高综合收益的风险投资策略。风险投资中投资项目的风险随着内、外环境因素的变化而变化，客观存在、而又不确定。高风险性决定了风险资本的运作必须采取与之相适应的投资方式，通过合理的投资组合，分散和化解风险，这样才能降低失败率，提高成功率，保证整体投资高收益。证券投资能否获得成功的关键在于能否成功地实施有效的风险控制，亦即风险控制的手段是否完善。虽然证券投资面临的风险客观存在于多个方面，但

27、证券投资公司可在其运行的各个阶段选择相应的手段来控制和化解各类风险。因此，证券投资公司要想运作成功，必须建立起一套良好的风险控制体系。从目前证券投资发展的趋势来看，其投资选择越来越谨慎，风险控制的手段也将随着实践不断得到发展和完善。证券投资由于其投资对象具有高风险高回报的特点而受到投资者瞩目。证券投资的目的是使投资的净效用(收益带来的效用减去风险带来的负效用)最大化，因此，受益最大化和风险最小化是证券投资的两大目标。以上通过逐步深化的方法，给出了分散投资的一种最优组合模型，并通过实例演算证明是行之有效的。当我们关于投资的信息比较详细时，也就是说所有投资的协方差矩阵获得时，我们以上所给的方法可以

28、进行最优组合求解。本文给出的风险投资决策模型，考虑的是股票的预期收益率不变的情况。在现实的金融市场中，股票的预期收益率是经常变化的，股票间一般都具有相关性。而且，由于我国证券市场是新型市场，新的品种不断涌现，证券组合的品种数必然也要作相应的调整。对于我们这样一个属于资金比较稀缺，资金对于利润率的要求较高的发展中国家而言，研究风险资本对风险的控制和化解就尤为重要。主要参与文献1姜启源.数学模型（第3版).高等教育出版社 19982盛骤.概率论与数理统计.高等教育出版社20043张家驹.决策分析.首都大学出版社19984朱道元.数学建模精品案例.东南大学出版社19995韩德瑞.动态计量经济学.上海

29、人民出版社19986解可新，韩立兴，林友联最优化方法M天津：天津大学出版社，19977谭浩，赵羚，严哲峰.1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题8曹兴，彭耿Markowitz投资组合理论在中国证券市场的应用J中南大学学报，9(6)9马永开，唐小我不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型J系统工程理论与实践，2000，20(2)：374310邹长贵，欧阳植证券组合有效性研究及实证分析J数量经济技术经济研究，1996，(5)：4044The mathematical model of the investment riskLuoYan Student ID: 2008010402 Ins

30、tructor: GhenHua(Shihezi University, Xinjiang Shihezi 832000)Summary: venture capital in China in recent years developing very rapidly, It is a high risk investment, in the course of its operation, there are a variety of uncertainties and risks. How to effectively control risk is venture capital key to a successful end. When the substantial evidence studies， I choose 5 better achievement stocks from stock markets different board in our nation as study sample and take every month opening quotation and closing quotation from March 2011 to March