09函数1教师版初一竞赛进度一

1、第 09 讲函数（1）【知识点】(一)函数定义设 x R ，用x 表示不超过 x 的最大整数。则 y x 称为函数，也叫取整函数。显然， y x 的定义域是 R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即 x x a 0 a 1 。因此，x x x1，0 x 1。这里x 为 x 的整数部分，而 为 x 的小数部分，且(二)函数性质 x 1， 0 x 1 。n x n x, 其中n Z ；1.2.3.对于一切实数 x, y 有x y x y；若x y 1, 则x y x y 1, x, y 为实数。xx 是正实数， n 是正整数，则在不超过 x 的正整数中， n 的倍数共有 个；n设

2、 p 为任一素数，在n!中含 p 的最高乘方次数记为 p(n!) ，则有：p(n!) n ( pm n pm1)pnn。p2pm函数主要有以下几种题型：（1） 求指数 （2）求单个函数值 （3）求多个数的函数值 （4）方程 （5）与函数有关的证明 （6）其他题型1【例题精讲】【例题1】分解 30！为质因数乘积。【例题2】求 2013！末尾 0 的个数。解：只有2 5 10 ，才会使乘积的末尾出现一个 0。2013！中，因子 2 的个数多于因子 5 的个数， 2013 ！ 中因子 5 的好、个数也就是 2013 ！ 末尾 0 的个数。2013 ！ 中因子 5 的个数有 2013 2013 201

3、3 2013 501，在 2013！中末尾有 501 个 0。25 125 625 5【例题3】从 1013 到 2013 的整数中，有多少个数是 7 的倍数？如果7 k |101310142013，求最大的正整数k 。解：（1）由于 2013 287 ，1013 144 ，所以从1013 到2013 的整数中7 的倍数有 287 144 14377个。（2）由于 2013 2013 2013 287 41 5 333727371012 1012 1012 144 20 2 16672737所以 333 166 167 ，则kmax 167.求单个数的函数【例题4】设 5 1 ，求 16 的值

4、。22【例题5】已知0 a 1，且满足 a 2 a，求10a的值。30 【例题6】已 知 xa, b, c R , a b c 1表 示 不 超 过 x的 最 大整数，记M 3a 1 3b 1 3c 1 。求M 的值。111，求S 。【例题7】设 S 1 223220132111由于 。则kk 1k(k 1)1 S 1 (1 1 ) ( 1 。所以S 1 。223111，求S 的值。【例题8】设 S 1 . 23100111解：(1)由 k 1 k 知 2( k 1 k )kk 1 k2k1112( 2 1)2(101 100)则.100不等式两边分别相加得1111 . 232(101 1)

5、18100111由 k 1 k 2( k 1 k )a)知k 1 k2 k 1k 1121 2( 2 1) 2( 100 99)则100上述不等式两边相加得1111 . 23 2( 100 1) 1 19100111综（1）（2）知:18 1 . 23所以S 18 。 19100【例题9】计算 2013 2013 2013 的值（2013 共出现了 2013 次）。解：（提示：由里往外估算。）记an 2013 2013 2013 （共n 个2013 ， n 1,2,2013 ）。由于44 2013 45 ，知452 2013 44 2013 2013 2013 45 462 。则45 2013

6、 2013 46 ，即45 a2 46 。所 以 452 2013 45 2013 a 2013 46 462， 则 45 2013 a2245 a3 46 ，同理45 a3 , a4 , a2012 46 。所以a2013 45 。 46 ， 即41020000【例题10】求出 的个位数字。10 3100求多个函数值【例题11】计算和式 S 23 1 23 2 23 100 的 值 。（ 提 示 ： 若 x y 1, 则101101101x y x y 1, x, y 为实数。）解：显然有：若x y 1, 则x y x y 1, x, y 为实数。由于101 是一个质数，因此 23 n (n

7、 1,2,100) 都不会是整数，但 23n 23(101 n) 23 ，101101101 23n 23(101 n)可见，此式左端的两数的小数部分之和等于 1，于是， 22，故 101 101S 23 1 23 2 23 100101101101 23 1 23 100 23 2 23 99 23 50 23 51 101101 101101 101101 22 50 11005【例题12】将正整数中所有被 4 整除以及被 4 除余 1 的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个 数 列 an ： 2,3,6,7,10,11 ， 数 列 an 的前 n 项 之 和 记 为 Sn ，其中 n 1,2,3, 求S S1 S2 S2013 的值。2014 2013S S S S 1 2 2013 1 2027091220132【例题13】求某天是几的公式1 cM x 1 （