物理答案固体物理6

1、6.5 晶体能带的对称性一、 En(k)函数的对称性 晶体点群对称操作的算符T()，物理意义：对于任意函数f(r)，有其中，1是的逆操作，其定义为1 r点经操作后变换到r点。 晶体中电子运动的哈密顿量为：将T()和H同时作用在任意函数f(r)上，2在正交变换下形式不变，电子的势能函数U(r) 具有与晶格相同的对称性：由于f(r)是任意函数，所以T()与H可对易 若n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T() n,k(r)也是方程的解，且n,k(r)与T() n,k(r)有相同的能量本征值。在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数n：能带标记，k：简约波矢，对应的能量本征值：En(k) 由

2、于是正交变换，由于 仍以格矢Rl为周期，可以改写为这表明，用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。 证明了在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。上式对所有晶体点群的对称操作 都成立。晶体中电子运动的哈密顿算符由于H是实算符，H*H，晶体中所以，如果n,k(r)是方程的解，那么*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。取复共轭：用k取代k，得 这个结论与晶体的点群对称性无关，而是时间反演对称性的结果。对于同一能带，有来源于晶格的周期性来源于晶体的点群对称性来源于时间反演对称性PPPkxk

3、y二维正方晶格的点群是C4V(4mm)，点群的阶数：8只需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。以二维正方晶格为例：立方晶系的Oh(m3m)点群（48阶），只需研究(1/48)b即可。这部分体积称为简约区的不可约体积。二、波矢星和波矢群对所有晶体点群的对称操作，可得到一组k，它们都是等价的，都具有相同的能量本征值。我们将这组k的集合称为波矢星。1. 所有的k k，或k kGl（除为单位元素外） 这时， k是布里渊区中的一般点，这时k星中的等价波矢量数目等于晶体点群中的元素数（即点群的 阶数）。如二维正方晶格的C4V（4mm）点群（8阶），在第一布里

4、渊区的一般位置k，可以得到8个等价的波矢量k组成k星。 对于简单立方晶格的Oh群，有48个对称操作，那么在简约区中的一般位置k，可以得到48个等价的波矢量组成波矢星。2. 在晶体点群中存在某些对称操作，使得或在这种情况下，k一定是处在简约区中的特殊位置（如对称点、对称轴或对称面）上。这时波矢星中所包含的等价波矢量数目就少于晶体点群的阶数，而只是它的一个分数。k可以证明：k星中的等价波矢量数波矢群的阶数晶体点群的阶数操作的集合构成一个群，称为波矢群，或称为群。 波矢群也是晶体点群的一种，而且一定是这种晶体点群的子群，或者就是晶体点群本身。以二维正方晶格C4V（4mm）为例：XZMkxky-/a/

5、a-/a12mxmy在它的简约区（即第一布里渊区）中有六种具有波矢群的对称点或对称轴：特殊位置kk星中等价k数 群波矢群阶数波矢群中的对称操作点(0, 0)1C4V84z，mx，my，1，2X点(/a, 0)2C2V42z， mx，myR点(/a, /a)1C4V84z，mx，my，1，2轴(k, 0)4CS2my轴(k, k)4CS22Z轴(/a, k)4CS2mxMXRZST简单立方晶格Oh (m3m)点群：特殊位置k群点(0, 0, 0)Oh (m3m)X点(/a, 0, 0)D4h (4/mmm)M点(/a, /a, 0)D4h (4/mmm)R点(/a, /a, /a)Oh (m3m

6、)轴(k, 0, 0)C4V (4mm)Z轴(/a, k, 0)C2V (mm2)轴(k, k, 0)C2V (mm2)S轴(/a, k, k)C2V (mm2)T轴(/a, /a, k)C4V (4mm)轴(k, k, k)C3V (3m)二、自由电子的能带（空格点模型）自由电子的能量为k为广延波矢，不一定在简约区中，一定可以找到唯一一个倒格矢Gn，使得k为简约波矢1. 一维情况k为简约波矢取k的单位：En(0)(k)的单位:第一能带：n=1，n=0相应波函数：第二能带：n=2，n=1相应波函数：第三能带：n=3，n=1相应波函数：0141492. 二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿X（

7、即kx）轴作出En(0)(k)曲线。取kx、ky的单位:En(0)(k)的单位：XZMkxky-/a/a-/a在X轴上，ky=0相应的波函数:当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。（第一布里渊区）（单）相应的波函数：第一近邻倒格点：（单）波函数：0141（双）波函数：（单）波函数：第二近邻倒格点：（双）相应的波函数：494585（双）相应的波函数：(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1) (0,1)(1,1) (1,1)813LXU,KLXU,KEnergy (eV)LXU,K6.6 能态密度和费米面一、能态密度1. 定义能态密度：dSdkkxkyEE+dEdZ：能量

8、在EE+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋）能态密度：能带中单位能量间隔内的电子能态数。dZ=2(k)(k空间中能量在EE+dE两等能面间的体积)2. 近自由电子的能态密度对于自由电子：能量为E的等能面是半径为在球面上的球面 在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。 以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内侧：对自由电子：EP(0)=EQ(0)考虑周期场的影响：EQ(0) EQ ，EP(0)EP在布里渊区边界面的外侧：对自由电子：EN(0)=EM(0),考虑周期场影响：EM(0)

9、 EQEM ENPQQMMN0Gn近自由电子的等能面近自由电子的能态密度EAkxkyACN(E)EECEBN(E)EECEB当EC EB时：出现能带重叠 3. 紧束缚近似的能态密度以简单立方晶格s带为例: 在k=0，即能带底附近，等能面近似为球面，随着E的增大，等能面明显偏离球面。N(E)E0E06J1E02J1E0+6J1E0+2J1E()E(X)E(M)E(R) 在、X、M和R点处，kE=0，称为Van Hove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。二、费米面讨论近自由电子的费米面结构: 对金属：EKBT，在T0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。费米半径的相对变化：在室温下：a. 费

10、米面的构造步骤 按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（圆）；1. 近自由电子费米面的构造法 按照近自由电子作必要的修正。 将处在各个布里渊区中的费米球（圆）分块按倒格 矢平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第 n个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费 米面图形； 根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；b. 修正的依据 电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能 量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发 生畸变，形成向外突出的凸包； 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决 于电子与晶格相互作用的细节； 等能面几乎总

11、是与布里渊区边界面垂直相交；证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：En(k)具有反演对称性： En(k) En(k)En(k)的平移对称性： En(k) En(kGn)在布里渊区边界面附近：kkk在布里渊区边界面上：沿布里渊区边界面的法线方向上，如果沿一个边界面的法线方向上处处都有那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，k的分布密度：设平均每个原子有个价电子，即电子浓度为电子/原子。对于简单晶格：其中为简约区的内切圆半径电子浓度kF/k110.79821.12831.38241.59651.7

12、8461.954kxky简约区中自由电子的费米面=1第一能带=2, 3=4, 5, 6第二能带第三能带第四能带简约区中近自由电子的费米面=2, 3=4, 5, 6第四能带=1第一能带第二能带第三能带2. HumeRothery定律 纯Cu的晶体结构是面心立方，当掺入Zn后，随Zn含量的逐渐增加，其结构将发生一系列变化：由相相相相相。 实验发现，在许多合金体系中，电子浓度是决定合金具有什么相结构的重要参量。一定的电子浓度将出现一定的相，这种现象称为HumeRothery定律。具有一定电子浓度的合金相称为电子化合物。以CuZn合金相图为例： 当Zn的原子浓度大于50时出现相，为复杂立方 结构，每个

13、晶胞中有52个原子，其化学式为Cu5Zn8， 电子原子比（电子浓度）为21/13； 当Zn的原子浓度在38以下时，是以Cu为基的fcc 固溶体，称为相； 当Zn的原子浓度在3850之间时，将出现新相， 称为相，是bcc结构，其化学式为CuZn，电子原 子比（即电子浓度）为3/2，是一种电子化合物； 在纯Zn附近，形成以Zn为基的固溶体相，为近似 密排六方结构，c/a 1.633。 当Zn的原子浓度67时，出现相，为密排六方结 构， c/a 1.633，化学式为CuZn3，电子浓度为7/4； 当考虑电子填充时，随着电子浓度的增加，费米面逐 渐靠近布里渊区边界面；当电子浓度达到一定值时， 费米面将

14、与布里渊区边界面相切。 在近自由电子情况下，当离布里渊区边界面较远时， 其等能面与自由电子基本相同，近似为球面。 当等能面靠近布里渊区边界面时，由于周期场的影 响，等能面将发生畸变，形成向外突出的凸包，从而 使其能态密度大于自由电子的能态密度。 当等能面与布里渊区边界面相切时，能态密度达到极 大值。其后，能态密度随能量的增加而迅速减小。 如电子浓度继续增加，由于能态密度随能量的增加而 迅速减小，电子将不得不往更高的能态上填，从而使 系统的总能量升高，这种结构将不再是稳定的，而趋 于转变为另一种可使系统的总能量降低的结构，即发 生相变。纯Cu的晶体结构：fcc 当掺入的Zn含量较少时，其晶体结构是以Cu为基的fcc固溶体（相）。 设fcc的晶格常数为a，则其倒格子是格常数为4/a的bcc 。 简约区内切球的半径k1()及内切球所对应的饱和电子浓度（电子原子比）1()。其简约区是由8个111面和6个100