线性映射和线性变换

1、关于线性映射与线性变换第一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。第二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2维空间的线性变换第三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3维空间的线性变换第四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2.1 线性映射及其矩阵表示定义1 设V1，V2是数域P的两个线性空间，A 是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意

2、两个向量,和任意数kP ，都有 A(+)= A ()+ A () A (k)=k A ()则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。第五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性映射与变换的举例由数k决定的数乘变换： 事实上， 单位变换(恒等变换)：零变换：I :VV:I ()= ,VO :VV:O ()=0 ,VK:VV:K()= k ,V第六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性映射与变换的举例线性空间Pxn的微分运算是线性变换.I (f(x)=f(x)，f(x) Pxn线性空间Ca，b 的积分运算是线性变换.作为数学分析的两大运算：微分

3、和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I (A)=detA，A P nn不是线性映射。第七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理1 设A 是线性空间V1到V2的线性映射，则 (1) A (0)=0, (2) A (-)=-A () (3)若1, 2 m 是V1的一组向量，k1, k2,kmP,有A (k11+ k22 +km m)=k1A (1)+ k2A (2)+km A (m) (4)若1, 2 m 是V1的一组线性相关向量，则A (1),A (2), , A (m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时， V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。

4、线性映射的性质第八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理2 设A ,B 是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1， 2， n是V1的一组基，并且A (i)=B (i)(i=1,2n),则A = B.注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定第九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2. 线性映射的运算(1)设 A,B 都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为: (A+B)()= A()+B()，任意的 V1。 (2)设 A是V1到V2的线性映射,B 是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)()= B(A()，任意的 V1.(3)设 A是V1到V2的线性映射, kP，定

5、义k与A的数量乘积kA为:(kA) ()=kA()，任意的 V1第十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。第十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3. 线性映射的矩阵表示 是 的基, 是 的基. 设 是线性映射， 记: 则存在唯一的 使得: 称矩阵A为线性映射T在基 与基 下的矩阵第十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与m

6、n矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L(V1,V2)与Pmn同构。注：第十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理7 设T为V1到V2的线性映射， 则: 称为线性映射在基 与基下的坐标变换公式第十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 设V1=Rxn，V2=Rxn-1，取线性映射T：V1V2 T( f (x)=f (x) , f (x) R x n，求T 在Rxn的一组基1,x,xn-1与Rxn-1的基1,x,xn-2下的矩阵D第十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月D( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-

7、1D( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1 解 在R x n中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，则第十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月D( 1, 2 , n)=(1, 2 n-1)即于是D在基1，x, xn-1与1，x, xn-2下的矩阵为D=第十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x, xn-1与1，2x, (n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个

8、线性映射在不同基下的矩阵不同第十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理8 设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射， 1, 2, n和 是V1的两组基,由1, 2, n 到 的过渡矩阵是Q ， 和是V2的两组基。由 到 的过渡矩阵是P， A在基 与基 下的矩阵为A，而在基 与基 下的矩阵为B，则B=P-1AQ，（称A与B相抵）第十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义1 V是数域P上的线性空间，对V 中的任意两个向量，和任意kP，映射T ：VV 满足 (i) (可加性):T(+)= T()+ T() (ii) (齐次性):k T()= T(k) 称T 为V上的线性

9、变换，T()为在变换T下的像， 称为原像。 2.3 线性变换第二十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 对每个x=(1, 2, 3)R3,定义变换 T (x)=(1, 2,0)则变换T 是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）第二十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理1 设T 是线性空间V上的线性变换，则 (1) T(0)=0, (2) T (-)=- T () (3)若1, 2 m 是V的一组向量，k1, k2,kmP,有T (k11+ k22 +kmm)=k1T(1)+ k2T(2)+kmT (m) (4)若1, 2 m 是V的一组线性相关向量，则T(1), T (

10、2), , T (m)也线性相关，当且仅当T 是一一映射时， V中线性无关向量组的像也线性无关。线性变换的基本性质第二十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 L (V,V )表示线性空间V 上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2L(V,V ), V,定义则可以验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.（1）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2()线性变换的运算第二十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月特殊的变换：(1)对任意的

11、kP，定义数乘变换K(x)=kx，(2)恒等变换：I(x)=x，(3)零变换：O(x)=0(4)逆变换：设A 是线性空间V上的线性变换，如果存在V的变换B，使得AB =BA =I，称A可逆，B 为A 的逆变换.(5)线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AAA指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第二十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性变换的矩阵用矩阵表示即为 设1,2,n为数域P上线性空间V的一组基， T为V上的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设第二十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月其中 矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵. 第二十六张，PPT共

12、八十七页，创作于2022年6月单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵； A的第i 列是 在基 下的坐标，它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的. 注：第二十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性变换运算与矩阵运算定理1 设 为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.L(V,V

13、)与Pnn同构；第二十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例2 设线性空间 的线性变换为 求在自然基底下的矩阵. 解： ()=第二十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理2 设T是n维线性空间V的线性变换， 和 是V的两组基,由 到 的过渡矩阵是P ，T在基 与基 下的矩阵分别为A和B，则B=P-1AP，（称A与B相似）在两组基下所对应的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示第三十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月设B=P -1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA

14、=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质第三十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例3 在线性空间 中，线性变换定义如下：（1）求 在标准基 下的矩阵.（2）求在下的矩阵.解：(1)由已知，有第三十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月设 在标准基 下的矩阵为A，即即： 为过渡矩阵，又所以(1, 2, 3)= (1, 2, 3 )P)= (1, 2, 3 )P= (1, 2, 3 )AP第三十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月因而，第三十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 设在1, 2,

15、 3下的矩阵为B，则B=P-1AP（2）求在1, 2, 3下的矩阵.第三十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 定义1 设T是数域P上的线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素，V中都存在一个非零向量 ，使得 T()= 那么称为T的一个特征值，而 称为 T的属于特征值 的一个特征向量。 2.4 特征值和特征向量第三十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月由此可得： 是线性变换T的特征值，则是对应矩阵A的特征值. 是 线性变换T的属于 的特征向量，则 是矩阵A的属于 的特征向量. 设V是数域P上的n 维线性空间，V中取定一组基1 ,2 ， n.设线性变换T在这组基下的矩

16、阵是 A，向量在这组基下的坐标是x,那么我们有 T()=Ax=x第三十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 因此，只要将矩阵A的全部特征值求出来，它们就是线性变换T的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性变换T的属于 的全部特征向量。 第三十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换， 在 V的一个自然基下的矩阵是求线性变换T的全部特征值与特征向量。解： 的特征多项式为第三十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月所以 的特征值是3（二重）与-6。 对于特征值 3，解齐次线性

17、方程组得到一个基础解系： 1=-2 1 0T, 2=2 0 1T,于是 T属于 3的全部特征向量是 k11+ k22,k1,k2P这里 为数域 P中不全为零的数对。第四十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 对于特征值-6 ，解齐次线性方程组得到一个基础解系： 3=1 2 -2T于是T的属于-6的全部特征向量 k3,kP这里k为数域P中任意非零数。第四十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵A的属于特征值0的全部特征向量再添上零向量，可以组成V的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值0特征子空间，记为V0 ，不难看出 V0 正是特征

18、方程组 (0I-A)X=0的解空间。显然，V0的维数是属于0的线性无关特征向量的最大数目，称dim(V0 )为特征值0的几何重数.（2） V0属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 第四十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月（3） 设1, 2, r, 是A的r个互不同的特征值， i 的几何重数为qi, ，i1, i2, iqi, 是对应于i的qi 个线性无关的特征向量，则所有这些特征向量 11, 12, 1q1, 21, 22, 2q2, r1, r2, rqr,仍然是线性无关的。第四十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月由代数基本定理知，n阶矩阵A在复数域内恰有n个特征值1,

19、2, n，其中i作为特征方程的根的重数，称为i的代数重数,记为mi (A)，矩阵A的特征值的全体称为A的谱，最大特征值的模称为A的谱半径，记为(A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。 (5) A是 n阶矩阵，其特征值为1,2, n，则 第四十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义1 数域 P上的n维线性空间V的一个线性变换T 称为可以对角化的，如果V中存在一组基，使得T在这个基底下的矩阵为对角矩阵。定义2 如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。(单位矩阵只和自己相似) 2.5 矩阵的相似对角形第四十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理1

20、n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；定理2 若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A是可对角化的。（注：不是充要条件）定理3 n阶矩阵A可对角化的充要条件每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 第四十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 判断矩阵是否可以对角化？ 解： 先求出A的特征值第四十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月于是A的特征值为 （二重）由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是 从而不相似对角矩阵。第四十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例2 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换， 在

21、V的一个基1, 2, 3 下的矩阵是判断线性变换T是否可对角化。解： 根据上一节例1的讨论可知 T有3个线性无关的特征向量:第四十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月由基 到基 的过渡矩阵是于是有因此，T可以对角化，T在这组基下的矩阵是第五十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义1 设T是数域P的线性空间V上的线性变换 ,W是V的子空间。如果对任意向量 都有 ，则称W是T的不变子空间。2.6 线性变换的不变子空间*（Invariant subspace）第五十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义2 设T 是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令R(T)=Im(T)

22、=T(a)|aVKer(T )=N(T)=aV|T( a)=0称R(T)是线性变换T的值域，而Ker(T)是线性变换的核。R(T)的维数称为T的秩，Ker(T)的维数称为T的零度。线性变换的值域与核第五十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理1 设T是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令T 在V的一组基1,2,n下的矩阵表示为A，则（1）R(T)和Ker(T )都是V的子空间；（2）R(T)=span(T(1),T(2),T(n) （3）rank(T)=dim(R(T)=rank(A) （4）dim(R(T )+dim(Ker(T )=n第五十三张，PPT共八十七页，创作于202

23、2年6月证明（1）显然R(T )是V的非空子集，对任意T(),T() R(T )，kP 有 T()+T()=T(+) R(T ) kT()=T(k) R(T )所以R(T )是V的子空间 又T(0)=0,所以Ker(T )是V的非空子集,对任意, Ker(T )，kP T(+)=T()+T()=0Ker(T ) T(k)=kT()=0Ker(T )所以Ker(T )是V的子空间 第五十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 设线性变换 T在4维线性空间V的基1, 2, 3,4 下的矩阵为（2）求Im(T )的一组基;（1）求Ker(T ) 的一组基;第五十五张，PPT共八十七页，创作

24、于2022年6月解（1）对任意有0=T()=T (x13+x44)因此AX=0,对A做初等变换第五十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解得其基础解系则 的基为第五十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月（2）由于从而这说明Im(T)=span(T1, T2,T3,T4)= span(T1,T2)第五十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例2 线性空间 和零子空间 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间。 例3 线性空间V上的线性变换T的值域Im(T)和核Ker(T) 都是V的不变子空间。 第五十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例4 线性空间V上的线性变换T

25、的对应于某个特征值 的所有特征向量加上零向量 组成的集合也是 的子空间，称为 的特征子空间(eigenspace) 。进一步， 也是 的不变子空间。第六十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理2 线性变换T的不变子空间的交与和仍然是T的不变子空间。定理3 设线性空间V的子空间W=span1, 2, m，则W是线性变换T的不变子空间的充要条件是T(i)W(i=1,2,m)第六十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理4 线性空间V上的线性变换T有非平凡的不变子空间的充要条件是T在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？第

26、六十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理5 线性空间V上的线性变换T在V的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件是V可以分解为T的若干个非平凡不变子空间的直和。不变子空间是特征值的根子空间定理6 n维线性空间V上的线性变换T在V的某个基下的矩阵表示为对角矩阵 的充要条件是V可以分解为T的n 个一维特征子空间的直和 V= V1 V2Vn这里 为T的两两不同的特征值。第六十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。第六十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义：设A 为一个n 阶

27、复矩阵，如果其满足 AAH=AHA=I则称A是酉矩阵，一般记为AUnn。 设A为一个n 阶实矩阵，如果其满足 AAT=ATA=I则称A 是正交矩阵,一般记为AEnn。 2.7 酉变换与酉（正交）矩阵Unitary transformation and Unitary matrix（Orthogonal matrix）第六十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1是一个正交矩阵是一个正交矩阵第六十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月是一个酉矩阵第六十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月酉矩阵与正交矩阵的性质：设 A,B是酉矩阵，那么设 ，那么定理1： 设 ，A是一个酉矩阵

28、的充分必要条件为A 的 n个列（或行）向量组是标准正交向量组。第六十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义2 设T是n为酉（欧氏）空间V的线性变换，如果对任意的，V都有则称T是V的酉（正交）变换。正交变换保持V中的内积不变，根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。酉（正交）变换第六十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理2设 是欧氏空间 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：（1） T是正交变换；（2） T保持向量的长度不变，即 |T|=|;（3） 若 是V的一组标准正交基，则 也是V的标准正交基；（4） T在V的任意一组标准正交

29、基下的矩阵表示 A为正交矩阵。第七十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月证明： 若线性变换保持长度不变，即展开上式同样有 根据定义显然成立。左式=(T, T)+2(T(), T()+(T, T)=(,)+2(T(),T()+(, )右式=(, )+2(,)+(, )化简得(T(), T()=(,) #第七十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月因此则 对任意 ，令 显然成立。第七十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 设 在 下的矩阵为 ，即由于 也是标准正交基，所以 A 是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此 A是正交矩阵。第七十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月

30、设 是正交矩阵，则所以 也是标准正交基。第七十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。 补充：两种基本的图形变换第七十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间 中的所有向量均绕原点顺时针旋转角 ，这时像 与原像 之间的关系为第七十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例2（反射变换或Householder变换）将 中任一向量x 关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2) 与原像 (x1,y1)之间的关系为第七十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 从几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：第七十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月一般形式的Givens矩阵为：第j列第i列对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换：在n维欧式空间中取一组标准正交基e1,e2en，沿平面ei,ej旋转。第i行第