苏教版高中数学选择性必修一第5章5.3.1第3课时《函数单调性的应用》课件

1、苏教版高中数学课件函数单调性的应用一、由单调性求参数的取值范围问题1对于函数f(x)x3，我们发现，它的导函数f(x)3x2并没有恒大于0，当x0时，有f(0)0，这是否会影响该函数的单调性？提示在x0的左右两侧，都有f(x)0，且该函数在x0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.问题2对于函数yf(x)，f(x)0是f(x)为增函数的充要条件吗？提示不是，因为这里的“”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f(x)0成立的条件是f(x)0，即该函数无增区间.对于函数yf(x

2、)，如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的 ；如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的 .若函数f(x)在某区间上是增函数，则 ；若函数f(x)在某区间上是减函数，则 .注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)mf(x)恒成立mf(x)max；mf(x)恒成立mf(x)min(需要对等号进行单独验证).知识梳理增函数减函数f(x)0f(x)0例1已知函数f(x) x3ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.解f(x)x2a，因为f(x)是R上的增函数，故f(x)x2a0在R上恒成立，即ax2，所以a0.经验证，a0时成立，故a0.延伸探

3、究1.本例函数不变，若函数f(x)在 上是增函数，求实数a的最大值.即ax2恒成立，即a1，故实数a的最大值是1.经验证a1时成立，故amax1.2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，)上是增函数，求实数a的取值范围.解由题意知f(x)x2a在(2，)上有f(x)x2a0恒成立，即ax2恒成立，即a4.经验证a4时成立，故a4.反思感悟(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“”时是否满足题意.(

4、2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).跟踪训练1(1)函数y x3x2mx2是R上的单调函数，则m的取值范围是A.(，1) B.(，1C.(1，) D.1，)即yx22xm0或yx22xm0(舍)在R上恒成立，44m0，解得m1.(2)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不单调，则实数k的取值范围是A.(，31,13，)B.(3，1)(1,3)C.(2,2)D.不存在这样的实数k解析由题意得，f(x)3x2120在区间(k1，k1)上至少有一个实数根.又f(x)3x2120的根为2，且f(x)在x2或2两侧导

5、数异号，而区间(k1，k1)的区间长度为2，故只有2或2在区间(k1，k1)内，k12k1或k12k1，1k3或3k1，故选B.二、比较大小例2(1)已知实数x，y满足2x2xy B.xyC.x0，所以函数f(t)在R上是增函数，由题意得f(x)f(y)，所以xy.故f(x)在(0，)上是增函数，又e，故f(e)f() B.f(e)f(c)f(d) B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d)解析由导函数f(x)的大致图象知，当xc时，f(x)0恒成立，f(x)为增函数，又abf(b)f(a).三、函数图象的增长快慢的比较问题3观察下图，试分析函数增长

6、或减少的速度与导数的大小关系？提示由图象可知若f(x)0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f(x)0，则f(x)是减函数，显然 越大，函数f(x)减少的就越快.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上：知识梳理导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.例3如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是解析由导函数的图象，可

7、知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.反思感悟如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.跟踪训练3若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是解析函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，对任意的ax1x2b，有f(a)f(x1)f(x2)f(b)，即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的.A满足上述条件；对于B，存在x1f(x2)；对于C，对任意的ax1x2b，都有f(x1)f(x2)；对

8、于D，对任意的xa，b，f(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.1.知识清单：(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.(2)根据单调性比较大小.(3)函数图象增长快慢的比较.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.课堂小结随堂演练1.函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象的大致形状是解析由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f(x)先小于零后大于零最后等于0.123412342.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A.f(a)f(b)f(0) B.f(0)f(c)f(d

9、)C.f(b)f(0)f(c) D.f(c)f(d)f(e)解析由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(0)f(c)，B，C错误；f(c)f(d)1时，g(x)1，b1.1234课时对点练基础巩固123456789101112131415161.设函数f(x)2xsin x，则A.f(1)f(2) B.f(1)0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)0 B.k1 C.k0 D.k1所以kx22x，因为x22x(x1)211，所以k1.123456789101112131415163.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上

10、为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a等于解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，即2x2a在x(1,2)时恒成立，有a2，a2.4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，有f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0 D.f(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上都是增函数，f(x)在(，0)上是增函数，g(x)在(，0)上是减函数，当x0，g(x)2当a0时，2x200ac123456789101112131415169.已

11、知函数f(x)x3ax1.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；解由f(x)，得f(x)3x2a.因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0对xR恒成立，即a3x2对xR恒成立，只需a(3x2)min，而(3x2)min0，所以a0，经检验，当a0时，符合题意，故a的取值范围是(，0.12345678910111213141516(2)若函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.解因为函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，所以f(x)0，得x3；若f(x)0，得0 x3，f(x)的增区间是(3，)，减区间是(0,3).1234567891011121314

12、1516(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求a的取值范围；则a2x24x2恒成立，令g(x)2x24x22(x1)2，则ag(x)min即可，而g(x)在2，)上的最小值为g(2)2.a2.12345678910111213141516(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.即g(x)2x24x2a0，即a0.12345678910111213141516综合运用11.若函数f(x)(x2cx5)ex在 区间上是增函数，则实数c的取值范围是A.(，2 B.(，4C.(，8 D.2,4解析易得f(x)x2(2c)xc5ex.1234567891011121314151612345678

13、91011121314151612.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则不等式 的解集为解析若图中实线部分曲线为函数yf(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数yf(x)的图象，由导函数yf(x)的图象可知，若图中实线部分曲线为导函数yf(x)的图象，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516令h(x)2x22bx1，14.已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上是减函数，则实数m的取值范围是_.解析令f(x)0，即3x2120，解得2x2.f(x)的减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，1,1)12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag ，b ，cg(3)，则a，b，c的大小关系为A.abc B.cbaC.bac D.bc0时，f(x)f(0)0，且f(x)0，又g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，且g(x)xf(x)为偶函数，ag(log25.1)g(log25.1)，又2log25.13,120.82