导数中的构造函数（解析版）

1、1. 构造方法示例 条件 构造条件 构造f x g x F(x) f(x)g(x) f(x)a(a 0) F(x) f(x)ax( ) ( )f x g x F(x) f(x)g(x) f(x)x F(x) f(x)x( ) ( )f x f x ( ) e ( )( ) ( ) F x f xxf x x ( ) ( )( ) ( ) F x f x enxf x f x ( ) e2 ( )( ) 2 ( ) xF x f xf x x ( ) ( )( ) ( ) F x f xenxf x f x ( ) ( )( ) ( ) F x f xexf(x)f x f x( ) 2 ( )

2、 F(x)e2xf x x F(x) (x)( ) ( ) x x ( ) ( )( ) ( ) F x x f xn2f(x)(x) F(x) x2 f(x) x x ( ) ( )( ) ( ) 0 F x f xxnf(x) x f x ( ) 2 ( ) 0F(x)x2 x f x F(x) f(x)( ) ( ) 0 xx f(x)sinx f(x) F(x)sinx f(x) x f(x)sinx f(x) ( ) cos F x xf(x)x f(x)sinx f(x) ( ) sinxF x x f(x)sinx f(x) F(x)x f(x)f(x)(e xb f(xeax(

3、axb)f(x)(x (x f(x) x) ex x f(x)2. 奇偶性结论奇奇偶，奇奇偶，奇偶奇；构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键；构造原函数，本质上离不开积分知识；二、解答策略类型一、巧设“ y f(x)g(x)型可导函数【例 】（2020银川一中模拟）设奇函数 f(x)在R上的可导函数，当0时有 f(x)0，则当x0时，有（ ）A f(x)x f(0) B f(x)x f(0)C f(x)x f(0) D f(x)x f(0)【答案】A【解析】联想f(x)x f(x)x，可设g(x) f(x)x ，则g(x)在0在上为减函数，又 f(x)为奇函数，故g(x)也为奇函数，所以g(

4、x)在(上也为减函数，故当x0时，g(x)g(0)，即 f(x)x f0 f(0)【点睛】 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“ f(x)g(x)”时，不妨联想、逆用“ f(x)g(x)f(x)g(x”，构造可导函数 y f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题【举一反三】12020 f (x)在R上存在导数 f(x),xR，有f(x) f(x) x2，在(0,)上 f(x) x，若 f(4) f()84m，则实数m的取值范围为A2 B2,) C0,) D(,2【答案】B【解析】令 gf)12x，则gxgx0 ，函数是奇函数，且g00 ，在 上，gx f xx0 ，函数gx 单调

5、递减，由题意可得 g在 R 递减，ffgm122g(122gg)+8484m，ggm，4，解得：2，故选 22020 f (x)在R上存在导函数 f x)，且在(0,)上f x) x ，2若 fm) f(m) 1 )3 3 m m ，则实数m的取值范围为（ ）3A , 1 1 B( , 1 1, ) 2 2 2 2 1 1C(, D , ) 2 2【答案】D1【解析】由 f 1m f m 得： 1 m m 3 331 1f) ) f() m ，构造函数3 33 31g x f x x ，g(x) f(x)x2 0故（）在单调递减，由函数 f x为奇函数可得( ) ( )331g(x)为奇函数，

6、故g(x)在R 上单调递减，故1mmm 选D2点睛：本题解题关键为函数的构造，由 f x x 要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们2需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；2 532020上的函数 f x满足 x f x f ，则关于x的 22不等式 f ex13 的解集为（ ）exAe Be C2 D,ln22 2,【答案】D【解析】1F x f x F x 0，即函数Fx为增函数，而 【分析】构造函数 ，利用已知条件求得 xF23，由此求得e 2x ，进而求得不等式的解集. ，依题意可知 1 x f x 11【详解】构造函数 F x f x ，即函数在 F x f x

7、0 x x x2 21 1上单调递增.所求不等式可化为 F f ，而 e e 3 F 2 f 2 3，所以x xe 2xex 2，解得x2，故不等式的解集为,2 .【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件x fx 的应用通过观察分析所求不等式，转化为2 11 1f ，可发现对于 e 3 ，它的导数恰好可以应用上已知条件x2 fx1从而可F x f x xe xx以得到解题的思路.42020R上的可导函数 f x满足f 1，且2f x1，当 x , 2 2 时，不等式2 x 3f(2x)2sin 的解集为(

8、)2 2 4, ,A B3 3 3 3 C D 3 , 33 【答案】D【解析】1 1【分析】构造函数gx f x x ，可得gx在定义域内R上是增函数，且g0，2 2进而根据2 x 3f x 转化成g(2x) g，进而可求得答案(2 ) 2sin 02 2【详解】令g x f x 1 x1，则 ) ) 1 0 ( ) ( ) g x f x ，g x f x 1 x1，则 ) ) 1 02 2 2 在定义域R上是增函数，且g(x) 1 1g f 0， 2 2 = (2 ) 2sin2 3 1 xg(2cosx) f(2cosx) x f x ， 2 2 2 (2 ) 2sin2 3 0 xf

9、 x 可转化成g(2x) g，得到2 22x1，又x ,3 2 2 ，可以得到 , x 3 3，故选D5定义在0上的函数 f(x)满足(x)10 f 1，则不等式 f 2x2x1的解集是_ 【答案】1 1，2 【解析】F(x) f(x)x，则F (x) f (x) 1 xf (x) 1 ，而(x)10，且x 0，F(x)0，x x即F(x)在0上单调递减，不等式f 2x2x1可化为f 2x2x11，即F2xF，故 2x 1 02x11，解得：1 1x ，故解集为：21 1， 2类型二 巧设“ f(x)g(x)型可导函数【例】（2020南昌一模）设函数 f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数

10、和偶函数，当x 0时，f x g x f x g x 且g=0，则不等式 f(x)g(x)0的解集是（ ）( ) ( ) ( ) ( ) 0A(3 ， ) B(30) ，C( ， ) D( ，【答案】A【解析】联想f(x)g(x f(x)g(x) f(x)g(x)，可知函数F(x) f(x)g(x)在(0)内递增，又 f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，F(x)为奇函数，则F(x)在0内也为增函数又g=0，F(F0不等式 f(x)g(x)0的解集是(3 ， )【点睛】当题设条件中存在或通过变形出现特征式“ f(x)g(x) f(x)g(x)”时，可联想、逆用“ f(x)g(x)

11、 f(x)g(x)f(x)g(x”，构造可导函数，然后利用该函数的性质巧妙解决问题【举一反三】1（2020锦州模拟）已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，当x 0时， f(x) (x)0，若f(2)0，则不等式xf(x)0的解集为（ ）Ax 2 x0 或0 x Bx x2 或x 【答案】D【解析】令F(x)(x)，则F(x)为奇函数，且当x 0时，F(x) f(x)(x)0恒成立，即函数F x 在0，0上单调递减，又f(2)0，则F(2) F(2)0，则xf(x)0可化为( )F(x) F(2)或F(x)F(2)，则x 2或0 x 2故选 D点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及导数与函数的单

12、调性；本题的易错点在于“利用函数F(x)在0上单调递减”得到“F(x)在R上单调递减”，忽视了“F(2)F(0)F(2)0”，即函数F(x)在R上不可能单调递减22020陕西高考模拟）已知定义在R上的函数 f(x)的导函数为 f (x)，对任意xR满足f(x) f (x)0，则下列结论正确的是（ ）Ae2f(2)e3f Be2f(2)e3fCe2f(2)e3f De2f(2)e3f【答案】A【解析】令g(x)ex f(x) g(x)ex(f(x) f (x 0，所以g(2) g 即 e2f 2 e3f 3 ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要

13、构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 f(x) f(x)构造 ( ) ( ) f xg x ， f(x) f(x)0构造exg x e f x ，(x) f(x)构造g(x) f(x)( ) x ( ) ，(x) f(x)0构造g(x) (x)等x32020海南高考模拟）已知函数 f(x)的导函数 f x)满足 f(x)(x f x)0对xR恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A f(0)02f B0 f(0)2fC02f f(0) D2f 0 f(0)【答案】B【解析】【分析】根据题意及选项构造函数gxxf x，然后求导判断出函数gx的单调性，再根据【详解】由题意设gxxf x，则gx

14、 f xxf x0，所以函数gx在R上单调递增，所以g g0 g，即0 f 02f 故选【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小42020上的函数 = ()满足函数 = (1)的图象关于直线 = 1对称，且当 (,0),()+() B D 【答案】A【解析】令() = ()，则当 (,0),() 0，因为函数 = (1)的图象关于直线 = 对称，所以函数 = ()的图象关于直线 = 对称，即 = ()为偶函数， = ()为奇函数，

15、因此当 (0,+),() 0，即 = ()为(0,上单调递减函数，因为 =12(log2 =121 1( ) = ( ), =2 2(ln2)(ln2) = (ln2), = 2(log121 1) = 2(2) = (2)，而4 2 ln2 A.5.（2020 南充质检） f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时， x2 1 f(x)2xf(x)0，且 f(2)0，则不等式 f(x)0的解集是（ ）A2 ， B20 ，C20 ， D2 ，【答案】C【解析】构造函数 g x x2 f x ，则g x x2 f x ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )又 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 g

16、(x) x 1 f(x)为奇函数，2且当x 0时，g x x f x xf x ，g(x)在0上函数单减，( ) 1 ( ) 2 ( ) 02f x g x 又g(2)0，所以有 f(x)0的解集20 ， 故选( ) 0 ( ) 0问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的形状变换不等式“形状”以构造恰当的函数；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数6（2020荆州模拟）设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR )的导函数，当

17、x 0时，x 1 f(x) ，x则使得 x2 1 f(x)0成立的x的取值范围是（ ）A10 ， B ， C10 ， D ，【答案】D.【解析】设g(x)x ，当x 0时，g (x) 1 f(x) (x) 0 ，xg x 在0上为减函数，且g 0，( )当x0时，g(x)0，lnx 0，f(x)0，(x2 f(x)0；当x1时，g(x)0，x 0，f(x)0， x2 1 f(x)0， f(x)为奇函数，当x10时，f(x)0， x2 1 f(x)0；当x时，f(x)0， x2 1 f(x)0综上所述：使得x f x 成立的x的取值范围是 ，2 1 ( ) 0【点睛】构造函数，借助导数研究函数单

18、调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x与 f(x)的积或商，x2与 f(x)的积或商，ex与 f(x)的积或商，lnx 与 f(x)的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式72020河北高考模拟）已知 f(x)是定义在R上的可导函数，且满足(x f(x) x)0，则（ ）A f(x)0 B f(x)0 C f (x)为减函数 D f (x)为增函数【答案】Ag x x g(x)e (x f(x)(x0 g(x)( ) e ( (,)上单调

19、递增，又因为g(0)0，所以当x0时，g(x)0，则 f(x)0，当x0时，g x ，则 f(x)0，而xf x x0恒成立，则 f(0)0；所以 f(x)0；故选A.( )0点睛：本题的难点在于如何利用xf x x0构造函数 ( ) e ( g x x x 。8已知 y f(x)为R上的连续可导函数，且(x) f(x) f(x)，则函数 ( ) ( ( ) 1 g x x f x 在21上的零点个数为_【答案】【解析】令函数F(x) (x) f(x)，因为F(x) (x) f(x) f(x)0，所以函数F(x) (x) f(x)在1上单调递增，则函数 ( ) ( ( ) 1 g x x f

20、x 在1上也单调递增，且21 1g f ，故该函数在1上无零点，应填答案0 02 2点评：解答本题的关键是构造函数F(x) (x) f(x)，然后借助导数的有关知识判定函数g x x f x 1 的单调性，从而确定函数 ( ) ( ( ) 1( ) ( ( )g x x f x 与 x轴没有一个交点，2 2即函数的零点的个数是 类型三 巧设“f(x)g(x)型可导函数【例 】（2020大连模拟）已知定义在R上的函数 f(x)，g(x)，满足： f(x)0，g(x)0，且f x g x f x g x 若abR且a b，则有 （ ）( ) ( ) ( ) ( ) 0f g f ab g ab A

21、 ( ) ( )a b a b2 2f g f ab g ab B ( ) ( )a b a b2 2f g ab g f ab C ( ) ( )a b a b2 2f g ab g f ab D a b ( ) a b ( )2 2【答案】D【解析】构造函数F(x) f(x) f (x)g(x) f(x)g (x) ，则F(x) g (x)g(x) 2 f(x)g(x) f(x)g(x)0，F(x0，即F(x)为减函数a b2F F ab ，即 a bf f ab a b 22 a b g ab g2又 f(x)0，g(x)0， f g ab f ab g 故选Da b a b2 2【点睛

22、】当题设条件中存在或通过变形出现特征式“ f(x)g(x) f(x)g(x)”时，可联想、逆用“ f (x)g(x) f(x)g (x) f(x) g(x2g(x)”，构造可导函数yf(x) ，然后利用该函数的性质巧妙解决问题 g(x)【举一反三】上的函数，()为其导函数，且()12020内蒙古高考模拟）已知定义在(0,2 sin 2( ) 3( ) 2( )2 6 4 3 C3( ) ( ) D(1) 0,所以() (0, 因此( ) ( ) 6 3(6)sin6(3)sin3 3( ) ( ) , ( ) ( ) 6 3 4 3(4)sin4(3)sin3 3( ) 2( ,( ) 4 3

23、 6( ) 2(6)sin6(2)sin2 2( ) ( , ( ) (1) 6 2 6(6)sin6(1)sin1 ) (1),所以选 C.6点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如() ()构造() = ()()+() 0构造() = ()，() ()构造() = ()，()+() 1.故选D.点睛：本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题.构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰.42020九江一模）定义在（，+ x）的导函数为 （xx（0+）都有

24、1x ，则（ ）f (x)x) f(x)xA12（）3（4）（8） B3（4）122）（8）C8）3（）（2） Df8）122）3/（4）【答案】C【解析】【分析】令 （x ，求出函数的导数，由 （xxlnx（1+）（），求出函数的单调性，得到 （）（）（8【解答】解：由 （x）lnx （x）得，（x）xlnx（1+）（即 （x）xlnx（1+）（x）0，令 gx ，则 g（x） ，由 （x）xlnx（1+）（x）0，x（011+）时，g（x）0，g（）在区间（0.1）和（1+）上单调递增，g（）g（）g（8，即 （）34）1225 2020 R f(x) f (x) f(x)2的导数，则（

25、）Aff(2)(0) ， f(0) 2 2 ， f(0) 2f(2)B f(2)2f(0)4f(2)Cff(2)(0) ， f(0) 2 2 ， f(0) 2f(2)D f(2)2f(0)4f(2)【答案】B【解析】令 ( ) (2 )f xg x ，2x ，2f (2x)2x f(2x)2x 2 2f (2x) f(2x)ln2则 ( )g x (2 ) 2x 2 x又因为 (2 ) ln2f x ，2所以2f(2x) f(2x)ln20，即g(x)0，所以函数g(x)在R 上单调递增，所以g gg(，即f(2) f(0) f(2) ，所以 f(2)2f(0)4f(2)，故选 2 2 20

26、1点睛：本题主要考查了抽象函数的单调性，根据已知条件构造符合题意的函数是解决本题的关键，一般构造函数的来源有两个：一是，利用已知条件转化为两个函数的乘积或商式的导数式；二是，根据选项，可以提示从结构上应该构造什么样的函数62020黑龙江高考模拟）设 f x)是函数f(x)的导函数，且 f x)2f(x)(xR)， 1f e2（e fx) x2的解集为（ ） eA 21 e e B(0, e) C , , e D e 2 2【答案】B【解析】【分析】构造函数 （x= f xe2x，求出导数，判断 （x）在R 上递增原不等式等价为 （lnx）F（12 12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集【

27、详解】可构造函数 （x）= f xe2x，（x）= (e2x)2= f x 2f xe2x，由 （x）（x （x）0，即有 （x）在 R上递增不等式 f（）2 f lnxx21x f lnxe2lnx1，0即有 （12）=f1 2=1 （lnx）（e12由 （x）在R 上递增，可得 lnx12，解得 x e故不等式的解集为（0， e 7（2020浙江模拟）设函数 f(x)是函数 f(x)(xR)的导函数， f(0)1，且 ( ) 1 ( ) 1 f x f x ，则34f(x) f(x)的解集为（ ）Aln4， Bln2， C 3， D e 3 3 2 3【答案】B【解析】由已知得 f(x)3

28、f(x)3，考虑到基本初等函数的导数， f(x)与函数 ye3x有关，因此设f x a 3 b， f(x)e3x，( ) e x由题意 f(x)3f(x3， ae3x 3 ae3x b 3，b1，又 f(0)1，所以 f(0)a11，a 2，所以 f(x)3x 1，不等式4f(x) f(x)为e3x 2，3x ln2，即 ln2 x 故选 3方法 ：由题得：3f(x) f(x)3 ，f x f x ，即( ) 3 ( ) 3e x e x3 3f(x)e3x 3x ，e c f(x)3x 1，又 f1，c 2所以 f(x)3x 1反思：题中若已知函数值，则函数解析式能求出来或者零点可推测。点睛

29、：已知导数与原函数的不等关系，可构造新函数，利用已知条件判断新函数的单调性，从而解决问 题，如已知(x) f(x)0，可设g(x) f(x) ，因此g(x)是增函数，类似 ，则g (x) 0 xf (x) f(x) x 2x地还可以设g(x) xf(x)，g(x)ex f(x)，g(x) ( ) 等等；本题已知的是 ( ) 1 ( ) 1f xf x f x ，如果设ex3g x f x ，则g(x) f(x)，因此已知条件变为g(x)g(x)，这样可联想应该有g(x)e3x ，从而( ) ( ) 18.（2020 大连一模）设函数 f(x)满足 2 ( ) 2 ( ) ex f x xx ，

30、xe2f ，则x 0时， f(x)（ ）(2)8A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C即有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【答案】D【解析】由题意知x 2f(x) e 2x f(x)x 2e f (x)x x3 3x令g(x)ex 2x2 f(x)，则x x x x2 2 2e ex( 2)x g (x) e 2x f (x) 4xf(x) e x f (x) 2xf(x ex x由g(x)0，得x 2，当x 2时，e2g(x) e 22 0，2 2min8即g(x)0，则当x 0时，g(x) ，f (x) 0 x3故 f(x)在(0)上单调递增，即无极大值也无极小值【强化训练】

31、一、选择题1【2020银川模拟】已知函数 f(x)的导函数 f(x)满足2f(x)(x) x2(xR)，则对xR都有（ ）Ax2 f(x)0 Bx2 f(x)0Cx2f(x)0 Dx2f(x)0【答案】A【解析】构造函数F(x) x2 f(x)，则F(x)2(x)x2f(x)x(2f(x)(x，当x 0时，F(x)x3 0，F(x)递增；当x 0时，F(x)x3 0，F(x)递减，所以F(x) x2 f(x)在x 0时取最小值，从而F(x)x2 f(x)F(0)0，故选 A2.【2020 届高三第二次全国大联考】设 = ()是定义在上的可导偶函数，若当 0时，()+ 时，+2() 0时， ，故

32、函数 = 在(0,上单调递减，由偶函数的性质可得函数在(,0)上单调递增所以() (0) = 02 = 0，所以方程() = ，即2 = 无解，所以函数() = 1没有零2点故选A3.【新疆乌鲁木齐 2019届高三第二次质量检测】的定义域是(0,，其导函数为，若()= 1ln，且() = 2（其中( )A B4(3) 0时， 0【答案】C【解析】设() =() ()()，则 = 2 =1()( ) =1ln则() = ln12(ln2 +又() = 2() = ()= ln12(ln)2 + = 即112+ = ，所以 = 12即() = ln12(ln2 +12 = 1ln=ln， 0由 1

33、ln 0，得0 ，此时函数()为增函数由 01ln ，此时函数为减函数(2) 2则(2) (1)，即(1) 1，则 ，故错误(3) 3(3) (4)，即(4) 4，则4(3) 3(4)，故错误当= 0时，取得极小值() = 即当 0，() () = ，即 ，即() 0，故错误当 = 0时，()取得极小值() = 此时()=()= ，则()取得极大值() = 2本题正确选项：3.【2020 湖南省长郡中学高三】已知是函数()的导函数，且对任意的实数都有 = +3) +()( = ，若不等式() 0的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）1 1 1 1A 2,0 D(2,0),0) B2,0

34、 C( 【答案】C【解析】令()=() ()()，则()= = +，可设()= 2+3+，(0) = = 1， = () = (2+3+1)， = (2+5+4) = (+1)(+4)可得： = 4时，函数()取得极大值， = 1时，函数()取得极小值1(1) = ， = 1 = 12 012 0时，不等式() 0的解集中恰有两个整数11故的取值范围是(2,0，故选 4.【2019 安徽省黄山市高三检测】已知函数()是定义在上的可导函数，对于任意的实数 ，都有()()= 2，当 0，若+1) +1)，则实数 a 的取值范围是（ ）A 0, B ,0 C 0,+) D (,03 3【答案】B【解

35、析】令() = ()，则当 0，又() = () = () = ()，所以()为偶函数，从而(2+1) (+1)等价于2+1(2+1) +1(+1),(2+1) (+1)，因此(|2+1|) (|+1|),|2+1| |+2+ 0 23 0.选 B. 5. ， , ，且sin sin 0，则下列结论正确的是（ ） 2 2A B22 D 0【答案】B 【解析】构造 f x xsinx形式，则 fxxxx， x 2时导函数 fx0， f x 单调递增；x ,0 2 时导函数 fx0， f x单调递减又 f x为偶函数，根据单调性和图象可知选B6.【2020 福建省适应性练习】已知函数() = ，(

36、) =ln 1，若关于的方程() = ()在区间 ,内 有两个实数解，则实数的取值范围是( )1 1 1A2, ) B(2 21, C(0,1 12) D(,+)【答案】A【解析】易知当0 时，方程只有一个解，所以0() = 2，() = 1=22 =(21)(2+1) ，令() = 0 = 1，2 =1为函数的极小值点，21又关于的方程()()在区间 ,内有两个实数解，1 ()0，解得11所以12,，()0 22 11，即12+6ln(0)，设()=12+6ln(3330)，()=23+3+6=22+9+183=(2+3)(6)3，易得函数()在区间(0,6)上单调递增， 在区间(6, +)

37、上单调递减，所以()max=(6)=6ln6+，故实数 b 的取值范围为6ln6+6,，故选A8.【2020 河北省唐山市一模】设函数=xx0,有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）4B2D2A4C【答案】B【解析】函数()=2sin,0, ，有且只有一个零点，方程a=20, ，有且只有一个实数根，2令 gx= ，2()则 （x= ，当0,时，（x）044,时，（x0，g（）在0,上单调递增，在44）2,上单调递减，当 时，g（x）取得极大值 （4，44又 g0= ）=0，若方程a=42，0,，有且只有一个实数根，则 2故选B.9. R y f(x) y f (x) x 0 f(x) 0 a f

38、xb f ， 1 12 ( 2) c f ，则abc的大小关系正确的是（ ）2 2Aacb Bbca Cabc Dca b【答案】D【解析】试题分析：设(x) (x)，所以h(x) f(x)(x)，因为 y f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)是定义在R的偶函数，当x 0时，h(x) f(x)(x)0，此时函数h(x)单调递增因为a f h ，b2f(2)(2)，c1f1h1，又2 1 1 ，所以ba c故选2 2 2 2D【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题解决本题的基本思路是通过构造函数h(x) (x)，并对h(x)进行求导，可

39、以发现a，b ，c 就是h(x)的三个函数值，再根据h(x)的单调性，就可以比较出a，b ，c 的大小，进而得出结论102020辽宁省抚顺市一模】若函数() = (22)有三个零点，则实数的取值范围是( )A(222)2,(2+22)2 B(222)2,(2+22)2)C(222)2,0) D(0,(2+22)2)【答案】D【解析】由() = (22) = 0 = (22)，设() = (2 2)， () = (2，由() 022 得 ，此时函数()为增函数，由() 022 得2 ，函数图象如下图所示：要使()有三个零点，则0 2+，即实数 a 的取值范围是(0,2+，故本题选D2020 辽宁

40、省师范大学附属中学】已知函数() = +2ln，若 = 是函数（）的唯一极值点，则实数 k的取值范围是（ ）2A(, B(,4 C D+)2【答案】A【解析】解：函数（的定义域是（0，+）（） =(2)3 +2 =(2)(2) 3， = 是函数（的唯一一个极值点 = 是导函数（） = 0的唯一根， 2 = 0（0，+无变号零点，即 =2上无变号零点，令() =2，因为（） =(2) 3，所以（在（0上单调递减，在上单调递增所以（的最小值为（） =2 4，所以必须 2 4，故选：A122020安徽省毛坦厂中学联考】已知() = ln+1，若关于的不等式() 恒成立，则实1 1 1A(,) B0) C ,+),+) D( 【答案】D【解析】由()ln+1 恒成立，设=ln+1 ，则=1ln1 .=1 ，则= 12 1 恒成立， )在+)上单调递减，又 = 0当0 = 0，即 ；当 时， = 0，即1，故选13已知函数 f(x)在R 上可导，其导函数为 f(x)，若 f(x)满足：(xf(x) f(x)