可逆矩阵在通信中的应用

1、-. z.可逆矩阵及其在通信中的应用摘要 本文在可逆矩阵的定义、性质及求法的根底上，讨论了判断可逆矩阵的方法、分块可逆矩阵的求法以及可逆矩阵的一类求法，并通过实例给出了具体应用.介绍了通信及可逆矩阵在其中的应用.关键词 矩阵理论；可逆矩阵；通信；伴随矩阵；性质引言随着科学技术的不断进步，矩阵理论已成为众多高科技邻域不可或缺的组成局部.而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一局部容，但在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点却零零散散，而且忽略了其重要实际应用，以至于让很多人错误地认为逆矩阵没有多大用处.为了能具体地、形象地认识逆矩阵，将抽象的知识具体的表现出来，掌握其本质，更能简单的运用到实际当中

2、.在我们学过的高等代数教材中对可逆矩阵给出了明确的定义，但未对可逆矩阵的求解方法详细的介绍，本文主要讨论可逆矩阵的求解方法及其在通信中的应用.1可逆矩阵定义1在线性代数中，对于任意一个阶方阵，如果有阶方阵，使得，其中为阶单位矩阵，则称是可逆的，且是的逆矩阵，记作.假设方阵的逆矩阵存在，则称为非奇异方阵或可逆矩阵.1.2 可逆矩阵的性质性质1假设是可逆的，则也可逆，且.性质2假设、是两个同阶可逆矩阵，则也可逆，且.性质3假设可逆矩阵的转置矩阵为，则.性质4假设是可逆矩阵，则有.1.3 可逆矩阵的判定定理1 初等变换不改变矩阵的可逆性.证明 设经过一次初等行变换得到，则存在一个初等矩阵，使得.由于

3、初等矩阵可逆，当可逆时，也可逆，即可逆。另一方面，当可逆时，可逆，即可逆.对列变换的情形可类似的证明.1.4 几个充要条件定理2可逆.定理3可逆，是初等矩阵.证明 设可逆，则的等价标准形为，即存在初等矩阵使得，于是故可表示成一些初等矩阵的乘积.定理4可逆只经过行初等变化为.证明因为A可逆存在初等矩阵使得经过次初等变换化成.定理5 设,是两个阶矩阵，则.推论1 设都是阶矩阵，则.定理6可逆.证明 必要性 设可逆，则存在使得由定理5得所以.充分性 假设，由定理2，存在使得于是故可逆.1.5逆矩阵的求法1.5.1初等变换法原理设则.例1 设，判定是否可逆，假设可逆，求.解 因为所以可逆故.1.5.2

4、伴随矩阵法定义2设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵.1.5.3求逆矩阵的公式牢记.例2设判定是否可逆，假设可逆，求.解 因为，所以可逆。又, 所以所以.1.6可逆分块矩阵的逆矩阵1.6.1缺角阵的逆矩阵设分别是阶可逆矩阵，则有定理知阶分块矩阵是可逆矩阵，得到进展一样的分块，令由于根据分块矩阵的乘法计算出左端，并比拟等式两边，得有1、2式得代入4式得代入3式得,所以所以.1.6.2利用分块矩阵的知识可得以下公式设A，B可逆.公式1.公式2 .公式3.公式4.1.6.2 准对角矩阵的逆矩阵.1.6.3 反对角矩阵的逆矩阵其中可逆，.1.7 一类矩阵方阵的简便解法解可逆的简便方法.解的简

5、便方法.例3求.解 所以.2 通信2.1 密码起源当人们刚刚开场通信的时候，为了保证秘密信息不被轻易窃取，人们意识到必须寻找一种方法去保护他们的通信容. 古代罗马的军队运用一种所谓的恺撒密码进展通信，其原理是利用26个字母的轮换.它用表示,用表示等等，也就是说密文字母相对明文字母平移3位.收信人只需要按通常的字母顺序将密文字母向相反方向平移3位即可以得到明文.当然，诸如此类的密码都是很容易破译的.当代信息技术的开展，人们意识到加密技术的重要性.密码被政府、军队、公司、金融机构等诸多领域广泛使用.随着电子商务、电子政务等领域的迅猛开展使得海量秘密信息需要在状态下进展交流，而加密技术使通过诸如计算

6、机网络等公共通信平台传递大量信息而不被窃取成为可能.自此，通信领域渐渐走进公众的日常生活.比方平安的网络和公共根底设施、平安的应用软件和数据库、平安测试、信息系统评估、企业平安规划以及数字取证技术等等.在因特网上快速增长的电子数据处理和电子商务应用，以及不断出现的国际恐惧主义事件，增加了对更好地保护计算机及其存储、加工和传输的信息的需求.计算机平安、信息平安、以及信息保障等学科，是和许多专业的组织一起出现的.他们都持有共同的目标，即确保信息系统的平安和可靠.2.2密码系统一般的，一个密码系统由明文空间、密码空间、密钥空间、加密算法和解密算法组成.待加密的信息称为明文，明文的全体构成的集合称为明

7、文空间.用表示明文空间，用表示明文.用表示密文空间，表示密文.用表示密钥空间，表示密钥.密码设计中，密钥一般是随机序列.所谓密码方案是指对加密变换的具体规则确实切描述，这种描述包括对明文进展加密时所使用的加密算法，以及对密码进展复原时所使用解密算法.传统的通信的模式可表示为 定义3 一个用于加密、解密的密码体制系统是一个五组，其中 1称为明文空间，是所有可能的明文构成的集合； 2称为密文空间，是所有可能的密文构成的集合；3称为密钥空间，是所有可能的密钥构成的集合；4分别表示加密算法集和解密算法集.它们满足，对于每一个都存在一个加密算法和一个解密算法,使得对于任意的，都有成立.3 可逆矩阵在通信

8、中的应用3.1 加密算法设有矩阵方程,其中为明文矩阵,为加密矩阵,用加密矩阵与明文矩阵的乘积来对所发送消息实施了加密,得到密文矩阵.如果为可逆矩阵,则方程有唯一解,其中为的逆矩阵.例4发送的明文是 send money.解首先可将明文用9个整数构成的矩阵来表示:假设进展加密的矩阵为:则密文矩阵C为:所以发送的信息为：31,80,54,37,83,67,29,69,50.3.2 解密算法解密时,采用下面矩阵乘法.例5针对上面的加密矩阵解 因可逆,可得:故明文矩阵为:.3.2 加密矩阵的生成初等矩阵都是可逆的,而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的.因此,通信中可以考虑利用假设干个初等矩阵的乘积作为加密编

9、码矩阵.它的生成方法如下:从单位矩阵出发,反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它,而其中的乘数必须取整数.这样得到矩阵将满足而也将具有整数元素.3.3 应用实例例6小王的朋友给小王发来一封密信,它是一个三阶方阵他们约定:消息的每一个英文字母用一个整数来表示:约定好的加密矩阵，既密钥矩阵是试求小王的朋友发送的密信容.解试求密信的容,先假设密信容矩阵为或既或用MATLAB来求解,易得由英文字母与整数之间的对应关系即得密信容为I LOVE YOU.3.4 明文矩阵的选择如果明文矩阵为方阵,则当为可逆矩阵时有或 , 其中为的逆矩阵.因此,如果窃密者以*种方式窃取到一对明文和相应的密文,碰巧其中的明文

10、矩阵可逆,则窃密者可以轻而易举地破解密文.因此, 在实际应用时, 明文矩阵不要采用方阵.另外,在实际应用中,明文并不能总是恰好可以分成整数矩阵,出现这种情况时需要补充一些数据,补充的数据可以是有意义的,也可以是无意义的.有时,我们可以利用这些附加数据来到达*种特殊的效果,比方数据的完整性检验等.3.5 加密矩阵的选择设,根据矩阵乘法的定义, 乘积矩阵中第行第列的元素等于矩阵中第行的所有元素与矩阵中第列的对应元素之积的累加和.因此, 利用可逆矩阵来实现通信的另一个问题是, 如果加密矩阵选择得不好, 密文矩阵的元素长度会急剧膨胀.为了防止出现这种情况，加密矩阵最好满足以下条件：对任意的明文矩阵,密

11、文矩阵中的每一个元素的长度都不超过明文矩阵中对应位置上的元素的长度，或者退而求其次；对任意的明文矩阵，密文矩阵中所有元素的总长度不超过明文矩阵中所有元素的总长度.如果能找到一个加密矩阵,使得对任意的明文矩阵,密文矩阵中所有元素的总长度在一个比拟理想的程度上小于明文矩阵中所有元素的总长度,则这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法.3.6算法优化设加密矩阵为阶矩阵,明文矩阵为行列矩阵, 利用向量的有关知识, 密文矩阵的第行可以表示为其中为矩阵的第行第列位置上的元素,而则为矩阵的第行.显然, 密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合, 其组合系数正好是加密矩阵的相应行上的所有元

12、素.根据矩阵乘法的定义直接计算密文矩阵时, 计算密文矩阵的每行元素需要做次乘法和次加法,计算密文矩阵的每个元素需要做次乘法和次加法,因此计算整个密文矩阵总共需要次乘法和次加法.4 总结可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算，是矩阵的一种重要运算，在解决矩阵问题起着重要的作用.因而掌握可逆矩阵的求法，在解决实际问题时选择适当的方法，往往可以起到事半功倍的效果.本文首先从可逆矩阵入手给出了可逆矩阵的概念，并讨论了可逆矩阵的性质，其次对可逆矩阵的性质进展了讨论并得出了一些定理，并且举出了相应的例题.最后给出了可逆矩阵在通信中的应用，使的学习的人对可逆矩阵有了更进一步的认识.对于其它方面的应用，未进一步进展做讨论，有待进一步探讨.致 在此谨向任天胜教师致以诚挚的意.参 考 文 献1 剑平, 施劲松主编. 线性代数M. ：华东理工大学，2011.2 熊小兵.可逆矩阵在通信中的应用J.大学数学,2007,23(3).3 徐仲主