2020年高考理科数学解三角形题型归纳及训练

1、* MERGEFORMAT. z.2020年高考理科数学解三角形题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1 QUOTE QUOTE 的角，的对边分别为， QUOTE QUOTE (1)求(2)假设，面积为2，求【答案】12【解析】由题设及得，故上式两边平方，整理得，解得舍去，.2由得，故又，则由余弦定理及得所以【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 的角的对边分别为,假设,则.【答案】【解析】.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，

2、把角转换成边。例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设b1，ceq r(3)，Ceq f(2,3)，则SABC_.【答案】eq f(r(3),4)【解析】因为cb，所以BC，所以由正弦定理得eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，即eq f(1,sin B)eq f(r(3),sinf(2,3)2，即sin Beq f(1,2)，所以Beq f(,6)，所以Aeq f(,6)eq f(2,3)eq f(,6).所以SABCeq f(1,2)bc sin Aeq f(1,2)eq r(3)eq f(1,2)eq f(r(3),4).【易错点】大边对大角，应注意角的取

3、值围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例1在中，角的对边分别为，且成等差数列(1)假设，求的面积(2)假设成等比数列，试判断的形状【答案】(1) (2)等边三角形【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2BAC(1)因为A，B，C为ABC的角，所以ABC(2)得B，b2a2c22accosB(3)所以解得或(舍去)所以(2)由a，b，c成等比数列，有b2ac(4)由余弦定理及(3)，可得b2a2c22accosBa2c2ac再由(4)，得a2c2acac，即(ac)20。因此ac从而AC(5)由(2)(3)(5)，得

4、ABC所以ABC为等边三角形【易错点】等差数列，等比数列容易混淆【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.例2在ABC中，试判断ABC的形状。【答案】等边三角形【解析】，又，所以，所以，即，因而；由得。所以，ABC为等边三角形。【易错点】条件的转化运用【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进展变形：1一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；2另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理题型三与三角形中有关的不等式问题例1ABC的角A，B，C

5、的对边分别为a，b，c，ABC的面积为.1求;2假设6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周长.【答案】1；2【解析】【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值围或者一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出围，或利用余弦定理以及根本不等式求围；求具体的

6、值直接利用余弦定理和给定条件即可.例2a,b,c分别为ABC三个角A,B,C的对边,.(1)求A的大小；(2)假设a7,求ABC的周长的取值围【答案】(1) (2)(14,21【解析】(1)由正弦定理得：；(2)由：,由余弦定理当且仅当bc7时等号成立,又bc7,7bc14,从而ABC的周长的取值围是(14,21【易错点】求周长围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据根本不等式求出所求问题.【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.例3ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c

7、-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)假设b=2 QUOTE ,求a+c的最大值.【答案】(1)B=24 QUOTE 【解析】:(1)2c-a=2bcos A,根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,代入式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的角,sin A0,2cos B-1=0,解得cos B= QUOTE ,B(0,),B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2a

8、ccos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2- QUOTE (a+c)2,当且仅当a=c=2 QUOTE 时取等号,a+c4 QUOTE 【易错点】涉及到最值问题时,常利用根本不等式或表示为三角形的*一角的三角函数形式求解.(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A0得到cos B,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用根本不等式求最大值.【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在三角形局部元素的情况下求解其余元素,根本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理

9、列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把条件化为角的三角函数关系,也可以把条件化为三角形边的关系;涉及到最值问题时,常利用根本不等式或表示为三角形的*一角的三角函数形式求解.题型四解三角形的实际应用例1在*次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50，且到A的距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.eq r(16) B.eq r(17) C.eq r(18) D.eq r(19)【答案】 D【解析】因BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABAC cos BAC492

10、23cos 12019.BCeq r(19).【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例2设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是.A. B. C. D. 【答案】D【解析】设甲楼为，乙楼为，如图，在，在中，设，由余弦定理得：，即，解得，则甲、乙两楼的高分别是，【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余

11、弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【稳固训练】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用1.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，a=2， 2sinA=sinC=时，求b及c的长【答案】b=或2；。【解析】当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由sinC=，及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以或2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. b+c=2a cos B.I证明：A=2B

12、；II假设ABC的面积，求角A的大小.【答案】1略2或【解析】I由正弦定理得故于是，又,故所以或因此舍去或所以，II由得，故有，因为，得又，所以当时，；当时，综上，或3.的角A，B，C的对边分别为a，b，c， = 1 * ROMAN I求C； = 2 * ROMAN II假设的面积为，求的周长【答案】 = 1 * ROMAN I；II【解析】I由及正弦定理得，故可得，所以(II)由，.又，所以.由及余弦定理得，.故，从而.所以的周长为题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设cacosB(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰

13、三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为cacosB(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos AsinBcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin AcosB2sin Acos AsinBcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以Aeq f(,2)或BA或BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形2.在ABC中,假设sin A=2cos Bsin C,则ABC的形状是.【答案】等腰三角形【解析】由等式得a=2eq f(c2

14、a2b2,2ac)c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC为等腰三角形.3. ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设eq f(c,b)cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形【答案】A【解析】依题意，得eq f(sin C,sin B)cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形，选A.题型三与三角形有关的不等式问题1.在

15、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2Bcos B1cos A cos C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)假设b2，求ABC的面积的最大值【答案】1略2eq r(3).【解析】(1)证明：在ABC中，cos Bcos(AC)由，得(1sin2B)cos(AC)1cos A cos C，sin2B(cos A cos Csin A sin C)cos A cos C，化简，得sin2Bsin A sin C. 由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比数列(2)由(1)及题设条件，得ac4.则cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(a2c2ac,2ac)eq

16、 f(2acac,2ac)eq f(1,2)，当且仅当ac时，等号成立0B，sin Beq r(1cos2B)eq r(1f(1,2)2)eq f(r(3),2).SABCeq f(1,2)ac sin Beq f(1,2)4eq f(r(3),2)eq r(3).ABC的面积的最大值为eq r(3).2在中，角的对边分别为.(1).求角A的大小；(2).假设，的面积为，求的值【答案】(1). (2). 【解析】(1).由得，化简得，整理得，即，由于，则，所以(2).因为，所以根据余弦定理得，即，所以3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2Ccos2A2sin(1)

17、求角A的大小；(2)假设aeq r(3)，且ba，求2bc的取值围【答案】1Aeq f(,3)或eq f(2,3).2eq r(3)，2eq r(3)【解析】(1)由得2sin2A2sin2C，化简得sin2Aeq f(3,4)，sin Aeq f(r(3),2)，又0A，sin Aeq f(r(3),2)，故Aeq f(,3)或eq f(2,3).(2)由eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，得b2sinB，c2sinC，因为ba，所以BA，所以Aeq f(,3)，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBeq r(3)cos B2eq r(3)sin.因为ba，所以eq f(,3)Beq f(2,3)，所以eq f(,6)Beq f(,6)eq f(,2)，所以2bc的取值围为eq r(3)，2eq r(3)题型四解三角形的实际应用1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，则B，C两点间的距离是 ()A10eq