解三角形与数列

1、解三角形及其数列专练1.（2016 吉林）AABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,已知向量mr= （cosA ,、/3sinA）,n=(2cosA, 2cosA), m- n=1.(1)若 a=243, c = 2,求AABC的面积;一 b- 2c (2)求的化冗acos (不+Q 3解析 (1)因为 m n=2cos2A /sin2A = cos2Amsin2A + 1 = 2cos(2A+)+1 = 1,所 3以 cos(2A +=-1.又32A+32 冗 + 3,所以 2A+3=兀，A=3.由 12= 4+bVI/冗小 以 cos(2A +VI/冗小 cos(5十。、一，,

2、冗2. （2016 布建）在 ABC中，B=（1）若 BCD的面积为 求CD(2)若 AO 瓜求 / DCA.解析 （1）因为&ba3,即2BC BD- sinB =也，又 在4BDC中，由余弦定理得，CD=BC+ BD2-2BC- BD- cosB,Tt ，一人，-一 .一 .一 1Tt/-2X2XbX cos可，得 b = 4(舍负值).所以 ABC的面积为2X2X4Xsin y = 273.b 2c，九.b 2c，九.acos(w+C)3sinB -2sinC sin (A+ C) 2sinC.，九.jsinAcos (r+C) 3V3,冗小2 cos (-3 + C)=r 2.=r 2

3、.43,兀2 cos(3+。B又1,且D七DC.九 一一一B=W，BD= 1,所以 BO4.3.,33gcosC 2sinC2_1即 CD= 16+12X4X1X2=13,解得 CD= V13.(2)在AACD中，DLDC可设/ A= Z DCA 9 ,贝U/ AD已兀一28,又 AC= 由正弦定理，有豆奈r =s：:，所以 CD= 2.sin2 sin2cosL人 _ ,/2/2九在4BDC中，/ BDC= 28, /BC氏二28,3由正弦定理得,3CD BD2cos0sinB sin / BCD 九 sin v 3=7?2sin (工-2 0 )3八2冗_ 一一 九2九_化间得 cos0

4、= sin( -3-2 0), 于是sin( 5 0 ) = sin( -3- -2 0).兀兀兀兀 2兀2兀因为 08万,所以 058万，-3-23-20sinB3，冗 一 ，.+ sin( 3 B) = 1 + TOC o 1-5 h z 1J32巧冗2九2九1r_冗 L ,-3-),则 sin(B +-3) (.兀,兀兀因为bc(0,),所以(B +可)e(彳, 333r r2%/3冗 尸则 l =a+b + c=1+-3-sin(B + 5) C (2 , 1 +4.已知函数 4.已知函数 f(x) =(3sin w xcos w x) 1 ,coscox + 2(其中0),若f(x)

5、的一条对称轴离 一、. 冗最近的对称中心的距离为-.求y = f(x)的单调递增区间;(2)在(2)在 ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c, 满足(2b a)cosC = c cosA, 且 f(B)恰是f(x)的最大值，试判断 ABC的形状.解析 (1)f(x) =5sin w x - cos w x - cos解析 (1)f(x) =5sin w x - cos w x - cos2,13 . c 1,c 2,、 x+2 = j-sin2 x2(2cos x1)=sin2 co x：cos2 co x = sin(2 x 三). TOC o 1-5 h z 226，,.一

6、.,.一.，、 冗因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ,.2兀.兀所以T=兀，所以2=兀，所以3 = 1.所以f(x) =sin(2x 石),冗冗 冗，r 冗冗由一2+2k 兀 2x 2 + 2k 兀(k Z),得+ k 兀 w x-3 + k 兀(k Z). 冗冗所以函数f(x)的单调递增区间为一.+卜冗，-3+ k tt (k CZ).(2)因为(2b a)cosC = c cosA,由正弦定理，得(2sinB - sinA)cosC =sinC - cosA,即 2sinBcosC = sinAcosC +sinCcosA= sin(A +C) = sinB ,一，一一

7、一1冗因为sinB w0,所以cosC=J,所以C= .23所以 083 02B43L, 一 _60)的最大值为 3.(1)求函数f(x)的对称轴;cosA a(2)在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且cosB=无二b,若不等式f(B)m恒成立，求实数m成立，求实数m的取值范围.解析(1)f(x)= cosx(入 sinx -cosx) + cos2(-2-x) +1=入 sinxcosxcos2x + sin 2解析(1)f(x)= cosx(入 sinx -cosx) + cos2(-2-x) +1=入 sinxcosxcos2x + sin 2x + 1 = 2

8、 入 sin2x cos2x +1.0,入=2/. . f(x) =m$in2x - cos2x + 1 = 2sin(2x -f)+1.令 2 UI + k* 解得 x = kf+。，(kZ)-. k冗 冗函数f(x)的对称轴为x = -+-3(k CZ).cosA acosA sinA()cosB=2c- b由 弦小里cosB= 2sinC sinB可形行sin( +)= cos sin 即 sinC = 2cosAsinC,. sinCw。，.cosA：,又 0ATt ,所以 A=?. 23f(B) =2sin(2B -)+1,只需 f(B) marn, .0BT，一 百况3V,1几口r

9、.2sin(2B - ) 1,即 0f(B) 3.数列小题专练、选择题1.等差数列an的前n项和为S,若Sii = 22,则a3+a7+ a8 = ()A. 18 B. 12 C . A. 18 B. 12 C . 9 D . 6答案 D解析由题意得Si =11 (a1 + an)11 (2a1+10d)= 22,即 aI+5d=2,所以 a3+a?+a8=ai + 2d+ai + 6d+ai+7d=3(ai + 5d)=6,故选 D.2古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺,问

10、这女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为（）A. 7B . 8 C . 9 D . 10 答案 B解析x （125）5 5 一设该女子第一天织布x尺，则 :_2, =5,得x= 31，.前n天所织布的尺数为31（2 A. 7B . 8 C . 9 D . 10 答案 B解析x （125）5 5 一设该女子第一天织布x尺，则 :_2, =5,得x= 31，.前n天所织布的尺数为31（2 nT),5由？(2n 1)30,得2n187,则n的最小值为8.3 13各项均为正数的等差数列an中，a4a9 =36,则前12项和S2的最小值为（）A.

11、78 B . 48 C . 60 D . 72 答案 D解析S126(a 1 + aQ 6(a 4 + %) 6X2 ,a4a9= 72,当且仅当a4=a9=6时等号成立.5已知an = logn+1(n +2)(n N),观察下列算式:lg3 lg4a2=log23 . log34=蕨 .前=2；3a1 a , a3 a4 a5 , a6= log 23 log 34log 78= lg2lg 4 lg3姐.)=3,右 a1 a2 a3amlg7=2 016（m N）.则 m的值为（）A.22 016 + 2 B . 22 016C.22 016 -2D .22 016-4答案 C解析 由于

12、a & a3 a市+7lg2lg4 lg5lg3 lg4lg (m+ 2) lg (m+ 2)lg (m 1)lg2=2 016,可得 lg(m+2)=2 016lg2 =lg2 2 016 ,可得 m+ 2 = 22 016,解得 m= 22 016 -2（2016 福建质检）已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1,前n项积为丁，且a2a4= a3,则使得Tn1的n的最小值为（）A. 4 B . 5 C . 6 D.7 答案 C解析 通解：设等比数列an的公比为q（q1）,因为a2a4=a3,所以a32=a3,又an0,所以一a3 a3一a3 = 1所以等比数列a n的前 n 项积Tn=

13、 ai &a3,a4an = f 一 a3a3qa3qq q3=q 2=q 2 一,则使得Tn1的n的最小值为6,故选C.优解：设等比数列an的公比为q(q1),因为a2a4= a3,所以a32=a3,又an0,所以a3= 1,2=1,排除 B; T6 = T5 - a3q32=1,排除 B; T6 = T5 - a3q3所以 T4=a1a2 a3 a4=2, 一 , a3 a3q = 21,故选 C.1且对任意正整数n,都有/ = 1,则数列，是公差OnSn(2016 长沙调研)已知数歹【a且对任意正整数n,都有/ = 1,则数列，是公差OnSnan+1 + &+1 = 0,则 & + a2

14、0=()答案 A1解析由条件可得an+1 = SSi+1,即&+1 &= 一 SnS+1,所以3S+1 TOC o 1-5 h z 11. .一为1的等差数列，故+(n 1)X1=2+n1 = n+1,故S S1c J1 。1209S = n+1，则 a20：020 S9=21_20= _420故 a1 + a20= 2-420=420.(2016 -郑州预测)正项等比数列an中的a、a4 031是函数f(x) =：x3 4x2+6x3的极值点，3则 log 016 = ()A. 1 B , 2 D . 1 答案 A解析 因为 f (x) =x8x+6,且 a1、a4 031 是方程 x 8x

15、+6=0 的两根，所以 a a4 031 = a2 016 =6,即 a2 016 =乖,所以log ,2016 = 1,故选A.25 an .(2015 洛阳调研)已知等差数列an的前n项和S满足& = 6,与=万，则数列1的前n项和为()n+ 2n+ 4n + 4n + 2 /密 _A.1 2n+1B . 2-2n+1C -22nD - 22n+1答不 B解析 设等差数列an的公差为d,则S= na1+ n21)d,因为8 = 6, 8=25,所以3a1+3d=6,25 5a1+ 10d=,解得T 3,4,5,3a1+3d=6,25 5a1+ 10d=,解得T 3,4,5,Tn = 22+

16、 Q+ 了+3 a1=2,所以1d=2，n+1 n+2-2n- + 2n+1 ,1 an n+ 2anan=2n+1,暧=2口+1，设数列2n的前n项和为Tn,则n+1n+22Tn = 23+ 亍+了+ -2 n + 1 -2n + 2 131,两式相减得2Tn = 4+ (231、 n + 2一1、 n + 2一n-!) 一 2叶 2 ,所以 Tn 2 一2n 1 .+ q+ 2r) 2n+2=4+ 42n 1 . ,、. 一. S12 S1011.在等差数列an中，a1= 2 017,其前n项和为S,若万一石=2,则9 017的值等于()A. -2 016 B . -2 017 C . -

17、2 015 D . -2 018 答案 B12 (a + 12 (a + a2)10 (a + a0)210=2,故 a12一a10=4. .2d=4, d=2, S 017 = 2 017ad2 017 X2 016 S 017 = 2 017ad2 017 X2 016Xd = 2 017 X( 2 017)+ 2 017 X2 016 = 2 017.1一一12. (2016 1一一12. (2016 长沙四校)已知函数f(x +2)为奇函数，g(x)= f(x) +1,即 an = g(2014)，则数列an的前2 013项和为()A. 2 014 B , 2 013 C . 2 01

18、2 D . 2 011一一 1 一一 1 ，一一，一一，解析 因为f(x +2)为奇函数，所以函数y = f(x)1的图像关于点(2, 0)对称，则函数y=g(x)1的图像关于点1的图像关于点(2, 1)对称，故函数g(x)酒足g(x)+ g(1 -x) =2.设 S= g(2 0132 014) +g(2 014) 设 S= g(2 0132 014) +g(2 014) + + g(2 014),倒序后得 S= g(2 0132 0122 014) + g(2 014) + +两式相加后得2 0132 0122 0132S= g( 2 014) + g( 2 014) + g( 2 014

19、 ) + g( 2 014) + + g( 2 014)+1_g(2 014) =1 2013X2,所以 S= 2 013.、填空题2s=(n 1)an 2s=(n 1)an 1(n -1)3 * *-(n * - 1)2 2(n -1),1 =15.设数列an的前n项和为S,且ai=1, an+i = 2S + 3,则3 =.答案 66解析 依题an = 2S-1 + 3(n)2),与原式作差得，an+i an=2an, n2,即an+i = 3an, n)2,3 5X ( 1 3) 可见，数列an从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5,所以&=1+5-: J =66.1 316.若等比数

20、列an满足 &+a4=20, a3+a5 = 40,则公比q =;前n项和 & = .答案 2 2n+12两式相减得 2an= nan+1 (n 1)a n (3n 3n+ 1) (2n 1) , 33an+1ana a1整理得(n + 1)an= nan+1 n(n + 1),即n1 1= 1.又万一*= 1，故数歹1an是首项为彳=1,公差为1的等差数列.所以= 1 + (n 1) x 1 = n.所以an= n1-q17.1-q17.设数列an的前 n 项和为 S.已知 a1=1, = an+1 -n2 n nCN*.则 a2=,n33an =.答案 4 n2解析 依题意，2Si= a2

21、 1 I，又 S = a1=1,所以 a2= 4.一 49.等差数列an的前n项和为Sn,已知So=0, &5= 25,则nS一 49 TOC o 1-5 h z 解析由“na1 + nd,得 10ai45d=0解彳#a1=-3, d=|. 215d+105d= 25,3n (n-1)2 1 211 32则 Sn= 3n+23=3(n 1n)，所以 nSn=3(n - 10n).令 f(x) =1(x3 10 x2),则 f (x) =x2 x=x(x号，当 xC(1,号 时，f(x)递减; 3333一 - 2020 一一当 乂(不，+ 8)时，f(x)递增，又 632时，由an=23S，得

22、an1 = 23S1，一即得4an=an1,1而当 n= 1 时，a1 = 2 3a，故 a1 = 2.一一，1 一 ，111因而数列an是首项为2,公比为4的等比数列，其通项公式为an=2 (4)(2)由(1)得 bn= log 2an= 1-2n(n N).数列a n+ bn的前n项和= (2)2n1(neN*).Tn = a1+b1+a+ 卜 + an + bn=(a1 + an) +(b + bn)11n211-( 4)n=1+1-4(-1 + 1-2n) n23-n2-2x(4)n, (n 6 N*).2.设S为数列an的前n项和，已知a1=2,对任意nCN,11n211-( 4)n

23、=1+1-4(-1 + 1-2n) n23-n2-2x(4)n, (n 6 N*).2.设S为数列an的前n项和，已知a1=2,对任意nCN,都有2s=(n + 1)a(1)求数列a n的通项公式;41若数列a(an+2) 的前n项和为Tn,求证：2Tn2 时，2S1=na1,两式相减，得 2an= (n + 1)a nnan1,即(n 1)an= na-1,所以当n2时，/表1，所以an/因为a1=2,所以an-n.“4.*(2)因为 an=2n,令 bn, nCN,an 0,所以1巧2n+n+2X对一切nC N*恒成立，求实数 入 解析 (1)因为 an+1 an=2(bn+1 bn) ,

24、 bn = 3n+5,所以 an+1 an=2(bn+1bn)=2(3n + 83n5) =6,所以an是首项为a1=1,公差为6的等差数列.所以an=6n5(nC N).(2)因为 bn=2n,所以 an+1an=2(2n+1 2n) =2n+1,当 n2 时，an (a nan 1) + (a n 1 an 2) + + (a 2 a1)+a1=2+2+ +2-因为f(n) =n1在nC N上是递减函数，所以17在nCN上是递增的,一一一1 1的取值范围.6=2n+1+2,所以当n=1时，Tn取最小值2.所以2WTn2n+n+2入 彳导 入 2门+ 1 = 2 + 2n+1 , 所以当n=

25、1, 2时，-2L取最大值彳，3故人的取值氾围为（才+）.4. （2016 衡中一调）已知数列an潴足 an+2= qan（q 为实数，且 qwl）, nCN, &=1, a=2,且 a2+ a3, a?+ a4，a4+ a5成等差数列.（1）求q的值和a n的通项公式；所以数列an的通项公式为an=log 2a2nn(2)由(1)得 b所以数列an的通项公式为an=log 2a2nn(2)由(1)得 bn=尸，n a2n-12111解析 (1)由已知，有(a 3 + a4) (a 2 + a3)= (a 4 + a5) (a 3+ a4),即 a4 a2 = a5一 a3, 所以 a2(q

26、1) a3(q - 1),又因为qw，所以a2 = a3.由a3=qa1，得q = 2.n 1当 n = 2k1(kCN)时，an= a2k 1 = 2k 1 = 22 ；n当 n = 2k(k C N)时，an= a2k=2k= 22,n 12.2, n为奇数，n22, n为偶数.e N*.设数列bn的前n项和为S,则, , 1$=1*2。+ 2X 21+ 3 22(n 1) *22 + nX 20t$=1*2。+ 2X 21+ 3 22(n 1) *22 + nX 20t，1-J1 n 2 nn -12n12n21-J1 n 2 nn -12n12n22 n2n)1-2整理，得3=4 n

27、C N*.5.已知数列an的前n项的和为Si,且 曰=工，an+1 = Fan.2n(1)证明：数列吟是等比数列；(2)求通项公式an与前n项的和S；(3)设bn=n(2S) , nCN*,若集合 M n|b n入，n C N*恰有4个元素，求实数 人的取值 范围.,1n +1,*anai 1an+1 an 1*解析(1)因为 a=2, an+1 = 2n-an,当 nC N时，r*0.又因为彳=5,m：/=5(neN)为an11常数，所以%是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)由电是以1为首项，1为公比的等比数列，得an=1x (1) nT = (q)n.所以an=nx(1)n.n 22n

28、 2222由错位相减法得Sn=2-(1)n 1-n(2) n.,._1 n 12 1 n 因为 bn=n(2S)(n C N),所以 bn=n(2) +n(2).因为 bn+1 bn= (3 n )( 2),所以 b2b1, b2b3b4.因为集合 M= n|b n X , nCN恰有 4 个元素，且 b = b4 = ,，b2= 2, b3= , b5 = ,所以指入 w；.2832322数列专练(二)(2017 长沙模拟)已知数列an满足日 + |2+-+。=2-1,(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和.解析(1)当n=1时，由题设知a1=4；当n2时，由题设a1 + a2+包=

29、2田知a1+2 n2+ 着= 2n,两式相减得：=2田一2n，即 an=nX2n(n2),故an故an的通项公式为an =4, n= 1, nx2n (n2,_ *.n N)(2)设an的前n项和为S,则 Sn= 1 X 2 2 + 2X 22+-+ nX2 n,2Si =1X2 +2X2 + +(n 1)X2 +nX2 ,两式相减得 S=nX 2n+1 (2 2+23+ 2n) =nX2n + 1-4X (2n 1-1)二(n 1) X2n+1 + 4.1(2016 四川)已知等比数列an的首项a1 = -,前n项和S满足S, 2$, 3S成等差数列.3(1)求an的通项公式;(2)设 bn

30、=2(1 + an1 an+ 1),数列bn的前n项和为Tn,求证:22、a11 1 (1 q )时，得4:1-q解析(1)因为S, 2S, 3s成等差数列，所以4S=S + 3&,当q=1时，不符合；当q*l3、，a1(1 - q),1 .a一、= a1+ 31q, 故q = 3或q = 0(舍去). 一,1 n综上可知，an=(.).3=n+ 1.1 n(2)由(1)知 an=(-),所以 bn=2一333n1 + 1 11二(11 ./1、n 11111 n+111111+(3)1(3)3n+13n+1)+(1 3n11)=3n+厂 3n+1 1，3nn 3n+1-1 3n-3n+1-1

31、 3n一歹从而 Tn=b1+b2+,一+ bn(332) +(32 33) + (可一歹)二11 1 ,一于2 时，Tn 1-2bn 1 + 3 = 0,两式相减，得bn=2bn i(n 2),数列bn为等比数列，bn=32nT(2)依题意,Cn 二4n, n为奇数,3 2n- , n为偶数.Fn+ 1 = (a 1 + a3 + + a2n+ l) + (b 2+ b4 + + b2n)4+4 (2n+1) (n+1)+ 6(； ：)二 221 + 4n2+ 8n+ 2.1 -44. (2017 保定调研)已知数列a n中，a1=1, a2=3,其前n项和为S,且当n2时，an+ 1S1anSn=O.(1)求证：数列Sn是等比数列，并求数列an的通项公式;(2)令 bn=9an(an+ 3)(an+1+3),记数列bn的前n项和为Tn,求Tn.解析 (1)