新编数学数列专题复习之典型例题含答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案aneq blcrc (avs4alco1(2，n1,6n5，n2)三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）（4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比

2、数列；（）求数列的通项公式；答案: （3）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；答案:（4）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，求答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法

3、：主要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相加法： 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)f(1,2n1).解：Sn2eq blcrc(avs4alco1(nf(f(1,2)blc(rc)(

4、avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(1,2n1)2n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）。（）例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表达式；(2)设bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n项和Tn.解 (1) Sneq f(1,2n1).(2) Tneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).例5正数数列的前n项和为，且对

5、任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1）（）数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；（2）设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（） ，（）所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.解： a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y

6、bxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bneq f(n1,4an)(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：（1）r1.(2)Tneq f(3,2)eq f(1,2n)eq f(n1,2n1)eq f(3,2)eq f(n3,2n1).练1 (2011福建)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3eq f(13,3).(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在xeq f(,6)处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解 (1) aneq f(1,3)3n13n2.(2)函数f(x)的解析式为f(x)3sin

7、eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).二、数列与不等式的综合应用例2、设数列an的前n项和Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,.(I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（） n=1，2，3， 练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解 ()的通项公式为三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0

8、,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）。（）四、数列与三角交汇例4(2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.解：（）（）所以五、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, 试求的值.解：.数列知识点-求通项一、由数

9、列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案aneq blcrc (avs4alco1(2，n1,6n5，n2)三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；答案:（3）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，求答案: （4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式

10、；答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法：主要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相

11、加法： 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)f(1,2n1).解和式中第k项为ak1eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2k1)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k,1f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2k).Sn2eq blcr

12、c(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)2eq blcrc(avs4alco1(111o(,sdo4(n个)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,22)f(1,2n)2eq blcrc(avs4alco1(nf(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(1,2n1)2n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为

13、,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即，= 即例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表达式；(2)设bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n项和Tn.解(1)Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，anSnSn1(n2)，Seq oal(2,n)(SnSn1)eq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得eq f(1,

14、Sn)eq f(1,Sn1)2，数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首项为eq f(1,S1)eq f(1,a1)1，公差为2的等差数列eq f(1,Sn)12(n1)2n1，Sneq f(1,2n1).(2)又bneq f(Sn,2n1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1

15、(f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1），令，且）数列是以1为首项，1为公差的等差数列，（且）当时，（）（2）14分数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；（2）设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得因此，所

16、求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0（ii）假设当n=k（k1）等式成立，则那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 综上，式对任

17、意nN*，成立，有故a0的取值范围为解法二：如果（nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， （ii）当n=2k，k=1，2时， EMBED Equation.3 故a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bneq f(n1,4an)(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解

18、析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，eq f(a2,a1)b，即eq f(bb1,br)b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bneq f(n1,42n1)eq f(n1,2n1).Tneq f(2,22)eq f(3,23)eq f(4,24)eq f(n1,2n1)，eq f(1,2)Tneq f(2,23)eq f(3,24)eq f(

19、n,2n1)eq f(n1,2n2)，两式相减得eq f(1,2)Tneq f(2,22)eq f(1,23)eq f(1,24)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)eq f(3,4)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)，Tneq f(3,2)eq f(1,2n)eq f(n1,2n1)eq f(3,2)eq f(n3,2n1).此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等二、数列与不等式的综合应用例2、设数列an的前n项和 (I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（）由 得 所以

20、 a1=2再由有 将和相减得 整理得 ，因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 ，n=1，2，3，因而 n=1，2，3，（）将代入得所以，练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立（）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地

21、，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）设，由得点处切线方程为由得。（），得，所以于是，例4如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，。点的横坐标构成数列。OP1P2QOP1P2Q2P3PQ1xyl1l2（）求数列的通项公式；（）比较与的大小。（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn