《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)

1、一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三

2、角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相

3、等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应

4、高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。二、直线和圆的位置关系圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角

5、所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的

6、两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。数学选修4-1几何证明选讲综合复习题第1题图一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.第1题图1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则DAC =( )A.

7、B. C. D.【解析】由弦切角定理得,又,故,故选B.2.在中,、分别是斜边上的高和中线,是该图中共有个三角形与相似,则( )A.0 B.1 C.2D【解析】2个:和,故选C.3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一弦被分为,则另一弦的长为( )A. B.C. D.ABCDE第4题图【解析】设另一弦被分的两段长分别为,由相交弦定理得,解得,故所求弦长为.故选B.ABCDE第4题图4.如图,在和中,若与的周长之差为,则的周长为( )A. B. C.D.25【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.5.的割线交于两点,割线经过圆心,已知,则的半径为( )A.4 B. C.

8、 D.8第6题图【解析】设半径为,由割线定理有,解得.故选D.第6题图6.如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则( )A. B. C. D.【解析】设半径为,则,由得,从而,故,选A.7.在中,分别为上的点,且,的面积是,梯形的面积为,则的值为( ) A. B. C. D.【解析】,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A.2 B.3 C.4 D【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.第9题图9.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的第9题图等腰梯形可以拼出图

9、乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 ( )A. B. C. D.第10题图【解析】,从而,选A.第10题图10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm【解析】依题意得,从而,故,选A.第11题图11.如图,设为内的两点,且,则的面积与的面积之比为( )第11题图 A. B. C. D. 【解析】如图,设,则.由平行四边形法则知,所以,第12题图同理可得故,选B.第12题图12.如图,用与底面成角的平面截圆柱得一

10、椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A B C D非上述结论【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成角,则离心率.故选A.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_;它截圆柱面所产生的截面形状是_【解析】圆;圆或椭圆.第14 题图 OCDBA14.如图,在ABC中,ABAC,C72第14 题图 OCDBA与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC,则AC 【解析】由已知得,第15题图解得.第15题图15.如图,为的直径,弦、交于点,若,则= 【解析】连结,则,又,

11、135R18030135R18030第16题图所以.16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值是【解析】由图可得,解得.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题图第17题图 如图:是的两条切线,是切点,是上两点,如果,试求的度数.【解析】连结,根据弦切角定理,可得 .ACPACPDOEF B第18题图 如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为O上一点,交于点,且,求的长度.【解析】连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系ACPDOEF ACPDOEF B,从而,故,由割线定理知,故.ABCABCED第19题图已知:如右图,在等腰梯形ABCD中

12、,ADBC,ABDC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E求证：(1)ABCDCB (2)DEDCAEBD【解析】证明：(1) 四边形ABCD是等腰梯形，ACDBABDC，BCCB，ABCBCD(2)ABCBCD，ACBDBC，ABCDCBADBC，DACACB，EADABCEDAC，EDADAC EDADBC，EADDCBADECBD DE:BDAE:CD， DEDCAEBD.20.(本小题满分12分)解答用图第20题图如图,ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CFAB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB=PEPF解答用图第20题图【解析】连结,易证 ,从而

13、又为与的公共角,从而, 第21题图ODGC第21题图ODGCAEFBP21.(本小题满分12分)如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点.(1)求证:；(2)求证:是的切线；(3)若,且的半径长为,求和的长度.ODGCAEFBP【解析】(1)ODGCAEFBP又，易证，是的中点，(2)证明：连结是的直径，在中，由（1），知是斜边的中点，又，是的切线，是的切线(3)解：过点作于点，由(1)，知，由已知，有，即是等腰三角形，即，四边形是矩形，易证，即的半径长为，解得，在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）或取的中点，连结，

14、则易证，故，由，易知，由，解得又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）22.(本小题满分14分)如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点(如图2),则直线是的黄金分割线你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点,再过点作直线,交于点,连接(如图3),则直线也是的黄金分割线请你说明理由第22题图(4)如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线.请你画一条的黄金分割线,使它不经过各边黄金分割点.第22题图【解析】(1)直线是的黄金分割线.理由如下:设的边上的高为 ,所以，又因为点为边的黄金分割点，所以有因此 所以，直线是的黄金分割线. (2)因为三角形的中线将三角形