大一课程课件几何与代数-1

1、1.4 线性方程组的求解 本节先将二阶、三阶线性方程组的Cramer法则推广到n阶线性方程组；然后介绍求解一般线性方程组的Gauss消元法及相应的初等行变换。 非齐次与齐次线性方程组设含n个变量、由n个方程构成的线性方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组. 注：齐次线性方程组，主要关注它是否有非零解，如何求出全部非零解；非齐次线性方程组，则是它何时有解，如何求解。一、 Cramer法则1. 定理1.2：如果由含n个变量、n个方程构成的线性方程组的系数行列式不等于零，即则线性方程组(1)有唯一解其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的

2、n阶行列式，即证明: 先证明(2)是(1)的解；再证明解唯一。 将行列式Dj按第j列展开： 将 代入(1)的第i个方程左边，得 将 代入(1)的第i个方程左边，得代入Dj提出bj展开定理所以(2)满足(1)的每个方程，是(1)的解。 对(1)的任意一组解 用D中第j列元素的代数余子式 ，依次乘方程组(1)的n个方程，得 是解将n个方程依次相加，并提出 ，得根据展开定理及其推论，得即方程组(1)的任意一组解均可唯一表示为： 解唯一例1. 用Cramer法则解线性方程组解:2. 推论1.4：如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为零。 说明(1). Cramer法则要求线性方程组满足2个条件，

3、一是方程个数等于变量个数；二是系数行列式非零。 说明(2). Cramer法则可以应用求解齐次线性方程组。（用反证法证明） 说明(3). 推论1.4的等价命题：如果齐次线性方程组(3)的系数行列式非零，则方程组只有唯一零解。 说明(4). 可以证明，推论1.4的逆命题也成立，即如果系数行列式为零，则方程组(3)有非零解。例2. 参数取何值时，齐次方程组有非零解？解：首先计算方程组的系数行列式根据说明(4)， D = 0时，齐次方程组有非零解。所以 或 时齐次方程组有非零解. 注1：Cramer法则建立了线性方程组的解和它的系数与常数项之间的关系。对于阶数较大的线性方程组，它需要很大的计算量，故

4、Cramer法则主要用于理论推导。 注2：Cramer法则用于求解满足 (1) 方程数 = 变量数 (2) 系数行列式非零的线性方程组。如果上面有一个条件不能满足，就无法使用，对于一般的线性方程组问题，需要寻找新的求解方法。二、Gauss消元法由n个变量、m个方程构成的线性方程组 线性方程组(4)如果有解，称为是相容的；如果没有解，称为是不相容的。 线性方程组所有解构成的集合称为方程组的解集合；具有相同解集合的方程组称为是同解的。 消元法引例例3. 求解线性方程组解：消元过程得到阶梯形方程组，再回代求解，得方法小结： 1. 上述解方程组的方法称为Gauss消元法，该方法理论上可以求任意线性方程

5、组的解； 2. 对线性方程组进行的消元过程，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以非零数乘某个方程；（3）一个方程的k倍加到另一个方程上。（与相互替换）（以替换）（以替换）3. 上述三种变换都是可逆的。 对线性方程组进行的这三种变换统称为线性方程组的初等变换。 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换。 在用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是方程组的系数和常数项。 为了更好地描述线性方程组的求解过程，需要引入新的工具。三、矩阵及其初等行变换1. 矩阵定义 由 个数排成的 行 列的数表称为mn 阶矩阵，其中aij 称为

6、矩阵的元素。矩阵用大写字母表示：实矩阵与复矩阵 行数与列数都等于n 的矩阵，称为n 阶方阵或n 阶矩阵；2. 特殊矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量；例如是一个3 阶方阵。n维行矩阵n维列矩阵11阶矩阵 具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵；如果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相同，则称它们是相等的。3. 矩阵相等4. 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵由n个变量、m个方程构成的线性方程组 系数矩阵增广（系数）矩阵 说明：Gauss消元法实际上只需要方程组的系数和常数项参与运算，即通过对增广矩阵的操作就可以求解。类似方程组的初等变换，定义矩阵的初等行变换

7、。 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:5. 矩阵的初等行变换（1）交换矩阵两行（交换i, j两行，记为rirj）；（2）用非零数乘矩阵某行（k乘i行，记为kri）；（3）矩阵某行乘以常数，再加到另一行（k乘j行后加到i行，记为ri + krj）。 注：利用矩阵的初等行变换，Gauss消元法的求解过程，可以通过对增广矩阵的初等行变换进行。6. 阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵A称为阶梯形矩阵 （1）若A有零行(元素全为零的行)，则零行位于最下方; （2）非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元，称为主元) 列标随行标的递增而递增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0

8、2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,阶梯形矩阵 满足以下条件的阶梯矩阵称为简化阶梯形矩阵 （1）A的每个非零首元均为1; （2）非零首元所在列其余元素均为0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0简化阶梯形矩阵 说明：对阶梯形矩阵继续进行初等行变换（相当于Gauss消元法的回代过程），最终阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵。例4. 用Gauss消元法求解方程组（教材P33例1.22）例5. 讨论方程组解的情况 （教材P34例1.23）线性方程组Ax = b增广矩阵A, b阶梯形方程组A1x = b1阶梯形

9、增广阵A1, b1简化阶梯形A2, b2解的方程形式A2x = b2 对应 初等变换消元 初等行变换 回代求解 初等行变换 注：Gauss消元法的求解过程，与增广矩阵的初等行变换，是完全对应的。 注：对增广矩阵的每一次初等行变换，都等于对方程组的一次初等变换，不改变方程组的解；当增广矩阵经过连续的初等行变换，化为阶梯形矩阵时，相应的方程组也成为阶梯形方程组。2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 主元 自由变量 阶梯形线性方程组三种基本类型 阶梯形方程组（A阶梯数r1，A, b阶梯数r2）2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0无解 唯一解 无穷多解 2 3 4 1 0 2 1 20 0 0 12 1 2 8 0 2 1 10 0 1 51 2 1 1 2 0 0 1 4 30 0 0 0 0解的数目 Ax = bAx = bA, bA, br2 = r1+1 r2 = r1 = n r2 = r1 n 四、齐次线性方程组有非零解充分条件1. 定理