和倍问题.题库教师版

1、小学奥数讲义和倍问题教学目标：学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题掌握寻找和倍的方法解决问题知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数， 这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数， 再求大数 .和倍问题的数量关系式是：和(倍数 + 1)= 小数小数倍数 = 大数或和一小数 = 大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l

2、份数 (倍数 1)= 两数差 .解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。例题精讲：【例 1】根据线段图列式：【解析】 列式： 28(31)7 （米）【巩固】 小敏有 14元，小花有10 元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2 倍？【解析】 小花现在的钱数：(1410) (1 2) 8（元），小花给小敏： 10 8 2 （元）【巩固】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍 . 爷爷比小华大多少岁？【解析】 小华： 72(17)9 （岁），爷爷： 9763（岁）， 63 954 （岁）或 9(71) 54 （岁） .【例 2】 有两盘苹果，如果从

3、第一盘中拿2 个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件 A)；如果从第二个盘中拿2 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍( 条件 B).第1页共21页小学奥数讲义第一盘有苹果多少个?【解析】 本题的数量关系更为隐蔽首先须理解条件表述语中隐含的数量关系条件 A 的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个 ).从条件 B 可知，如果从第二个盘中拿 2 个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个 )；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2 倍原来第一盘比第二盘多： 2+2=4( 个 )或 22=4( 个 )(2) 从第二盘拿2 个到第一盘里，第一盘就比第二盘多

4、：4+(2+2)=8(个 )或 4+2 2=8( 个 )第二盘拿走 2 个后剩下的苹果： 8 (2-1)= 8( 个 )第一盘原有苹果： 8 2-2=14( 个 )答：第一盘有苹果14 个【巩固】一个长方形的周长是36 厘米，长是宽的2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】 先求出长方形长和宽的和：36 2=18 （厘米）把长方形的宽看作1 份，长就是2 份，长和宽的和对应的就是3 份，所以长方形的宽是：18 （2+1 ）=6 （厘米）长是： 62=12 （厘米）这个长方形的面积是：12 6=72 （平方厘米）【巩固】5 箱苹果和5 箱葡萄共重75 千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2 倍

5、。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】 5 箱苹果和 5 箱葡萄共重75 千克，平均分成 5 份，1 箱苹果与1 箱葡萄重量和为： 75 5=15 （千克）。把 1 箱葡萄的重量看作一份，重量为：15 （2+1 ）=5 （千克）；每箱苹果重量为：5 2=10 （千克）。【例 3】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3 倍还多 5 个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】 引导学生画图时，一定要注意“多 5 个 ”的画图方法，并找和与份数之间的关系【详解】 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1 份数，师傅加工的个数就比3份数还多 5 个，如果师傅少加工5 个，两人加工的

6、总数就少5 个，总数变为(1055) 个，这样这道题就转化为例5 类第2页共21页小学奥数讲义型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5 个，师、徒共做：1055100 (个 )， 徒弟做了： 100(31)25 (个),师傅做了：253580 (个 )【巩固】实验小学共有学生956 人，男生比女生2 倍少 4 人 . 问：实验小学男学生和女学生各有多少人？【解析】 女生： (956 4) 3 320 （人），男生： 956320 636 （人）或 320 2 4 636（人）【巩固】 两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3 倍，而乙组的学生人数比甲组的3 倍少4

7、0 人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】 把乙组学生人数看作 1 份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3 倍，则甲组学生人数的3 倍就是乙组人数的（33= ）9 倍。所以，乙组人数为：40 （9-1 ）=5 （人）；参加义务劳动的学生共有：5 （1+3 ） =20 （人）。【巩固】商店运来橘子、苹果、香蕉共53 千克，橘子的重量是苹果的3 倍少 3 千克，香蕉的重量是苹果的 2 倍多 2 千克，橘子重多少千克?【解析】 我们可以把苹果的重量看作1 份，如下图：如果橘子重量增加3 千克，正好是苹果重量的3 倍，香蕉的重量减少2 千克，正好是苹果重量的2 倍，这时三种水果的总重

8、量变为：53 3 2 54( 千克 )，正好是苹果重量的 (1 3 2) 倍，苹果有 (53 3 2) (1 3 2) 54 6 9( 千克 )，橘子有 93 3 24( 千克 ) .【例 4】实验小学三、 四年级的同学们一共制作了318件航模， 四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？【解析】 已 知四年级同学制作的航模件数是三年级的2 倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是1 倍数两个年级共制作了318件，这 318件就相当于 123 倍，这样就可以求得1 倍数三年级同学的制作件数是：3183106 (件 )再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数

9、关系，求出四年级同学制作航模的件数是：1062212 (件 )或 318106212(件 )。【巩固】一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4 倍，三人各是多少岁？【解析】 妈妈的年龄是孩子的4 倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4 倍，把孩子的年龄作第3页共21页小学奥数讲义为 1倍数， 已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(144）=8 (岁 )，妈妈的年龄是：4 32 (岁 )，爸爸和妈妈同岁为 32 岁【巩固】果园里有梨树和苹果树共54 棵，苹果树的棵数是梨树的5 倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】 把梨树的棵数看作l 份数，苹果树的

10、棵数就是5 份数， 54 棵就相当于 ( 5+1) 份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.（法）梨树：54(51)9 (棵 )，苹果树： 9 545 (棵 )，苹果树比梨树多： 45 936 (棵)（法）梨树：54(51)9 (棵 )，苹果树比梨树多：9 (5 1) 36(棵)【巩固】某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84 辆，西站有客车56 辆，每天从东站到西站有7 辆车，从西站到东站有11 辆车，几天后，东站车辆是西站的4 倍？【解析】 “

11、每天从东站到西站有7 辆车，从西站到东站有11 辆车”，则每天东站增加（11-7= ） 4辆车，西站减少4 辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4 倍，西站只能有车辆：140 （4+1 ）=28 （辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28 ）4=7 （天）。所以，7 天后，东站车辆是西站的4 倍。【例 5】果园里有梨树和苹果树共54 棵，苹果树的棵数是梨树的5 倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】 把梨树的棵数看作l 份数，苹果树的棵数就是5 份数， 54 棵就相当于 ( 5+1) 份数，分别求出梨树和苹果树的棵

12、数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.（法）梨树：54(51)9 (棵 )，苹果树： 9545 (棵 )，苹果树比梨树多：45936 (棵 )（法）梨树：54(51)9 (棵 )，苹果树比梨树多：9(51)36 ( 棵)【巩固】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6 天的时间仅相当于甲自学1天的时间问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？【详解】 改变后，甲每天比乙多自学1小时，即 60分钟它是乙现在五天自学的时间，即乙

13、现在每天自学： 60(61)12 （分），原来每天自学的时间是：123042（分）【巩固】光明小学有学生760 人，其中男生比女生的3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？第4页共21页小学奥数讲义【解析】 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3 倍还少40 人，如果用男、女生人数总和760 人再加上40 人，就等于女生人数的4 倍（见下图） 。女生人数：（ 760 40 ）（3 1 ） =200 （人）男生人数： 200 3-40=560（人）或760-200=560（人）验算： 560 200=760（人）（560+40）200=3 （倍）。答：男生有560 人，女生有200 人。

14、【巩固】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56 张其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2 倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2 倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?【解析】 以黄色纸盒的彩票数为1 倍数，红纸盒是这样的2 倍，蓝纸盒是红纸盒的2 倍，也就是黄纸盒的4 倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票56 (1+2+4)=8(张) 黄纸盒里的彩票数；8 2=16( 张 ) 红纸盒里的彩票数；16 2=32( 张 ) 蓝纸盒里的彩票数。【例 6】有 8 只盒子， 每只盒内放有同一种笔8 只盒子所装笔的支数分别为17 支、 23支、 33

15、 支、 36 支、38 支、 42支、 49支、 51支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2 倍，铅笔支数是钢笔支数的 3倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有多少支？【解析】 铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2 倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3216倍 1723333638424951289除以 6 余 1，所以水彩笔的支数除以6 余 1，在上述 8盒的支数中，只有49除以 6 余 1 ，因此水彩笔共有49 支【巩固】六张卡片上分别标上1193、 1258、 1842、 1866 、 1912 、 2494六个数，甲取3张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中

16、卡片上的数之和一个人是另个人的2 倍，则丙手中卡片上的数是 _【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2 倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数计算这六个数的总和是119312581842 18661912249410565， 10565除以 3 余 2 ；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3 余 2 六个数中只有 1193除以 3 余 2 ，故丙手中卡片上的数为1193【例 7】甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲 2 块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2 倍

17、，丙原有块巧克力第5页共21页小学奥数讲义【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5 块，此时乙的巧克力数为 (73 5) (1 1 2)17 （块），丙原有 17 23 22 （块）。方法二：如果丙吃掉 3 块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2 块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2 倍，即甲的糖加2是乙的糖减2 后的 2 倍，说明甲的糖是丙的糖的2 倍少 2 2 2 6块所以，丙有(733 6)(112)19块糖【巩固】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2 倍，乙校学生人数减3 ，丙校学生人数加 4 都是相

18、等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？【解析】 甲校学生人数为： (199934)(12 2)400 （人），乙校学生人数为：40023（人），803丙校学生人数为： 400 24796（人）甲、乙、丙三校的人数分别为400 ， 803， 796【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共 40个，乒乓球的个数是羽毛球的 4 倍. 买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4 份数， 40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数

19、乘4 就是乒乓球的个数 .羽毛球有：40(41)4058(个 ) ，乒乓球有：8 432( 个)【巩固】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2 倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2 倍如果评出一、 二、三等奖各 2 人，那么每个一等奖的奖金是308元如果评出1个一等奖， 2 个二等奖， 3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2 份，每个一等奖奖金则是4 份当一、二、三等奖各评2 人时， 2 个一等奖的奖金之和是(3082) 元， 2 个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308 元， 2 个三等奖的

20、奖金等于1 个二等奖奖金(3082) 元所以奖金总额是：2 308 308 2 1078元当评 1个一等奖， 2 个二等奖， 3 个三等奖时， 1个一等奖奖金看做 4 份， 2 个二等奖奖金224 （份）， 3 个三等奖奖金的份数是133（份），总份数就是：44311（份）这样， 可以求出 1份数为 10781198元，一等奖奖金为：984392（元）【例 8】甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2 倍和乙校学生人数减去 3 人与丙校学生人数加上4 人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图：第6页共21页小学奥数讲义把甲

21、校人数看作 1 份，乙校人数就是 2 份多3，丙校就是 2 份少 4。我们把乙校人数减去3 ，丙校人数加上 4 ，都凑成 2 份，则总人数变成：1999-3+4=2000 （人）。所以甲校人数为：2000 （1+2+2）=400 （人）；乙校人数为： 400 2+3=803（人）；丙校人数为：400 2-4=796（人）。【巩固】有 100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3 块，乙比丙多分了5 块，三位小朋友各分得多少块糖?【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了3 块，乙比丙多分了5 块，从线段图上可以清楚地看出：甲比丙多分了3 5 8( 块 )如果甲少拿 7 块，乙

22、少拿 5 块，那么糖的总数就要减少8 5 13( 块 )，总共就是100 13 87( 块) 87 块相当于丙所有的糖块数的3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量100 (3 5) 5 3 29( 块 ) 丙 5 34( 块 ) 乙 3 37( 块 ) 甲【巩固】实验一小、实验二小两校共有学生2346 人，如果实验一小增加146 人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?【解析】 已知两校的人数和是2346 人，而两校人数的差没有直接告诉我们只要求出两校人数的差，就能解决问题了差是多少呢 ?从图上可以看出，实验一小增加146 人，实验二小减少88 人，两校

23、的学生人数就相等在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146 88 234(人 )，利用 (和差 )2 大数，就可以求出实验二小实际第7页共21页小学奥数讲义的人数：(2346 146 88) 2 1290( 人 ) 实验二小2346 1290 1056( 人 ) 实验一小本题也可以用和倍方法解【例 9】有 5 堆苹果，较小的3堆平均有 18个苹果较大的2 堆，苹果数之差为5 个又较大的3堆平均有 26 个苹果，较小的 2 堆苹果数之差为 7 个最大堆与最小堆平均有 22个苹果问：每堆各有多少个苹果 ?【解析】 最大堆与最小堆共22 244 个苹果较大的 2 堆与较

24、小的2堆共 44 27 5 90 个苹果所以中间的一堆有：(18326390)221 个苹果；较大的 2 堆有： 2632157个苹果；最大的一堆有：(575)231 个苹果；次大的一堆有：573126 个苹果；较小的 2 堆有： 1832133 个苹果；次小的一堆有：(337)220 个苹果；最小的一堆有：20 7 13 个苹果【巩固】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3 倍还多 10 颗 售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖 最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下 170 颗 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？【解析】 由

25、题意，如果每袋里装 3 颗巧克力糖和 9 颗水果糖，则只剩下10 颗水果糖；现在每袋里装了3颗巧克力糖和7 颗水果糖，结果剩下了170 颗水果糖由此可以算出总的袋数为：(170 10) (97)80 （袋），因此水果糖总数为80 7 170 730 （颗），巧克力糖总数为 80 3 240（颗）【巩固】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人 问：这四个班共有多少人？【解析】 由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131 人，甲、乙、丙三个班总人数为134 人，于是可以看出，第8页

26、共21页小学奥数讲义甲班比丁班多3 个人又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2 倍还多 2 人从而可以求出丁班的人数为：(1312)343 （人）因此这四个班的总人数为13443177（人）【例 10】 某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是样的开始时长蜡烛是短蜡烛长度的 2 倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3 倍短蜡烛燃烧掉的长度是5厘米问原来两根蜡烛各有多长？【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度2 倍原

27、短蜡烛长度，差为1倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度3 倍后短蜡烛长度，差为2 倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度2 倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛长度，为5 厘米，所以原短蜡烛长10 厘米，原长蜡烛长 20厘米【巩固】某日停电， 房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5 小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍这次停电时间是多少小时？【解析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5 小时，所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5 现在可以维持5 小时的那支蜡烛剩下的长度

28、是另外一支的 3倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3535 倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长 532 小时 所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(51)0.5 小时， 这次停电的时间为 30.52.5 小时【例 11】 某有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的2 ，如果把三堆棋子集中到一起，5那么白子占全部棋子的几分之几？【解析】 第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里

29、的白子调换一下，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变因为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的2 ，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作2 份，那么剩下的3份都是第二堆的5第9页共21页小学奥数讲义黑子，所以每堆都是3份，共有 3 39 棋子，白子共 13 4 份，白子占全部棋子的4 9【例 12】 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 2 倍请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？【详解】 由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬

30、少搬 10 块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5 倍；如果爸爸少搬10 块，冬冬多搬10 块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2 倍对于前一种情况，如果让爸爸再多搬 100 块，冬冬再多搬20 块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬 110 块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5 倍由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：(11010)(52)21090 （块），冬冬原计划搬的块数为：(9010)51030 （块）【巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480 人，现在把室内活动的50 人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5 倍，则参

31、加室内、室外活动的共有多少人?【解析】 原来室外、 室内活动人数相差480 人，现把室内的 50 人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多 480502580 (人 )，这时室外活动人数正好是室内人数的5 倍， 580 人相当于现在室内活动人数的514( 倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145，再求出室内、外人数之和： 145(51)870 人【例 13】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3 倍，如果每周销售2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车， 丰田汽车销售完时还剩下30 辆福特汽车请问： 原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？【解析】 假设

32、福特汽车的数量是 3份，丰田车的数量是 1 份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1 份，所以我们知道 1 份数量是30 ，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30 辆和 90 辆。【巩固】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300 级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上 2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：3002（级），小头爸爸踏过的台阶数是3003100（级），父150子俩每 2 3 6 （级）台阶要共同踏1 级台阶，共重复踏第10页共21页小

33、学奥数讲义了 300650 （级），所以父子俩共踏了级）【例 14】 果园里有桃树、梨树、苹果树共552 棵 . 桃树比梨树的2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【解析】 下图可以看出桃树比梨树的2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1 份数容易解答.又知三种树的总数是552 棵 .如果给苹果树增加20 棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12 棵，那么就相当于梨树的2 倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4 倍。梨树的棵数： （ 552 20-

34、12 ）（1 1 2 ） =560 4=140 （棵）桃树的棵数：140 2 12=292（棵）苹果树的棵数：140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是292 棵、 140 棵和 120 棵。【例 15】 甲、乙、丙3 数之和是183，乙比丙的2 倍少 4，甲比丙的3 倍多 7，求甲、乙、丙三数各是多少？【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上4 凑成 2 份，甲数减去7凑成 3 份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180 6=30 ；乙数为： 30 2-4=56；甲数为： 30 3+7=

35、97。【巩固】549 是甲、乙、丙、丁4 个数的和 . 如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4 个数相等 . 求 4 个数各是多少？【解析】 上图可以看出， 丙数最小 .由于丙数乘以2 和丁数除以 2 相等，也就是丙数的 2 倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的 4 倍 .乙减 2 之后是丙的 2 倍，甲加上 2 之后也是丙的 2 倍 .根据这些倍数关系，可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。丙数是：（549 2-2 ）（2 2 1 4 ） =549 9=61第11页共21页小学奥数讲义甲数是： 61 2-2=120乙数是： 61 2 2=124丁数是：

36、61 4=244验算： 120+12461+244=5491202=122 124-2=122612 122 244 2 122答：甲、乙、丙、丁分别是120 、 124 、 61 、 244.【例 16】 大桶里有油60 千克，小桶里有油30 千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4 倍问两个桶各剩油多少千克？【解析】 用下图表示它们的关系：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题小桶所剩的油为倍数，大桶剩油是小桶剩油的4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多413（倍）而大桶比小桶多的油总保持不变，是603030 （千克 ）再利用差倍问题的公式就可

37、解决小桶剩下的油是： 30310 （千克），大桶剩下的油是：10440（千克）【巩固】两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出19 千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克？【解析】 用下图表示它们的关系：设乙筐余下的千克数为1 份，则甲筐余下的千克数为3 份，甲、乙两筐余下的苹果相差312（份）原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出19 千克，说明甲筐比乙筐少卖出 19712（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少12 千克，所以甲、乙两筐余下的差是 12 千克，所对应的份数差是2，从而可以求出1 份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数

38、相差19712 （千克 ），乙筐余下苹果的数是12 （31）6 （千克 ），甲、乙两筐原来各有苹果的数量61925（千克）第12页共21页小学奥数讲义【巩固】甲水池有水2600 立方米， 乙水池有水1200 立方米， 如果甲水池里的水以每分种23 立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4 倍？【解析】 甲、乙两水池共有水：2600 1200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800 （4+1 ） =760 （立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟） ： 1840 23 80 （分钟）。【巩固】甲桶里有油470 千克，乙桶里

39、有油190 千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2 倍？【解析】 甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：当甲桶油是乙桶油2 倍时，乙桶油是：660 （2+1 ） =220 （千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。【巩固】有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上14 米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来长多少米？【解析】 用下图表示它们的关系：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12 米，第二根绳子又接上14 米后，第二根的长度是第一根的 3 倍应该把变化后的第一根长度看作1 倍，而 12 14 26 （米），正

40、好相当于第一根绳子剩下的长度的2 倍所以，当从第一根截去12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了所以，第一根截去12 米剩下的长度：（1214）（31） 13 （米）两根绳子原来的长度：131225（米）【巩固】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300 朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少 30 朵。问两种花各有多少朵？【解析】 我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30 朵，正好对应了3 份。所以黄花朵数为：（300+30）（1+2 ） =110 （朵）。第13页共21页小学奥数讲义红花朵数为：300-110

41、=190（朵）。【例 17】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40 个，乒乓球的个数是羽毛球的4 倍 . 买来的乒乓球和羽毛球各多少 ?【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4 份数， 40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4 就是乒乓球的个数 .羽毛球有：40(41)4058(个 ) ，乒乓球有：8 432( 个)【巩固】甲班和乙班共有图书160 本. 甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？【解析】 设乙班的图书本数为1

42、份，则甲班图书为乙班的3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4 倍 .还可以理解为4 份的数量是160 本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数 .用下图表示它们的关系：乙班： 160 （3+1 ） =40 （本）甲班： 40 3=120 （本）或 160-40=120 （本）验算： 120 40=160 （本） 120 40=3 （倍）答：甲班有图书120 本，乙班有图书40 本。【巩固】 甲班有图书 120本，乙班有图书 30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？【解析】 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出

43、，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3 倍 .依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图） 。甲、乙两班共有图书的本数是：30 120=150（本）第14页共21页小学奥数讲义甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2 13（倍）乙班现有的图书本数是：150 3=50 （本）甲班给乙班图书本数是：50-30=20 （本）综合算式：（ 30 120 ）（2+1 ） =50 （本） 50-30=20 （本

44、）验算：（ 120-20 ）（ 30+20 ） 2 （倍）（ 120-20 ） + （ 30+20） 150 （本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。【例 18】 二班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7 本后，故事书的本数就是连环画的 4 倍 . 原有连环画和故事书各有多少本？【解析】 可引导学生，让他们自己画图来分析，教师辅导指正从线段图可以看出，如果故事书拿走7 本以后，则正好是连环画的4 倍 .这时故事书与连环画总数应减少 7 本，列式成47740 (本 )，正好是连环画本数的(1+4 )倍 .如果故事书拿走7 本，总本数为：47740( 本)现

45、在连环画与故事书的倍数和为：4+1=5连环画有：4058 (本 )故事书有：84739 (本 )【巩固】两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5 倍，甲书架比乙书架存书多120 本，则乙书架存书多少本？【解析】 多的 120本相当于乙书架的4 倍，则乙书架的书为：120430（本）【例 19】 盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1 个红球和1 个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50 个，若每次拿出1 个红球和3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下50 个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？【解析】 方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50 个红球，因此如果再增加150 个白球，

46、可以使得“每次拿出1 个红球和3 个白球”两种球都不剩下，这样增加150 个白球后，按照第一种取法，白球会剩下50150200 （个），这说明白球增加150 个后，白球的数量是红第15页共21页小学奥数讲义球的 3 倍且白球比红球多200 个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是200 2 100（个），此时白球的数量是：100 3 300 （个），不过这个数量是白球增加150 个之后的结果，所以原来盒子里有白球300 150 150 （个），红球 100 个方法二：用下图表示它们的关系：把红球的数量减去50 个看做 “ 1 倍量”，可以得到，“ 2 倍量” 的数量是 （ 5050）个所以红球的

47、数量有50 （5050） 2100 （个），白球的数量比红球多50 个，有 10050（个）可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系【巩固】小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50 页，接着每天看15 页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？【解析】 小月第一天比冬冬多看了28 页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28 页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了28（22-15） 4天，那么可以知道这本小说一共：504 15110 页，验证 22 （41） 110 页。【例 20】 有 5 堆苹果，较小的3 堆平均有18 个苹果，较大的2

48、 堆，苹果数之差为5 个；又较大的3 堆平均有苹果26 个，较小的2 堆苹果之差为7 个；最大堆与最小堆平均有22 个苹果，问：各堆各有多少个苹果？【解析】 作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22 个，那么最大堆与最小堆一共有22 2 44 （个）；较大的2 堆，苹果数之差为 5 个，得知次大堆比最大堆少5 个苹果；较小的2 堆苹果之差为 7 个，说明次小堆比最小堆多 7 个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：445 7 46（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：4446（个），较大的 3 堆苹

49、果之和：263（个），9078第16页共21页小学奥数讲义较小的 3 堆苹果之和：18354 （个），较大的 3 堆苹果和较小的3 堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2 个中间堆的数量之和所以，中间堆的数量是： （785490） 221（个），最大堆与次大堆的和是：7821（个），57最大堆有苹果： （575） 231（个），次大堆有：5731（个），同理最小堆有苹果： （54 21267） 213 （个），次小堆有苹果： 13 720 （个）【例 21】 有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50 千克以上的重量， 他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10 个数

50、据（单位：千克） ： 75、 78、 79、 80、 81、 82、 83、 84、86、 88问：有几名同学？他们的重量各是多少千克？【解析】 首先 C5254 210，也就是说5 个同学两两合称才恰好需要称10 次，所以有5 个同学 设这 5 个同学的体重从小到大依次为A、B、C、D、E则有A B 75，A C78，D E88， CE 86；A BCDE757879808182838486884204 则C 204758841千克； A784137 千克； E864145千克； B753738 千克；D 88 45 43千克即他们的体重分别为37 千克、 38 千克、 41 千克、 43

51、千克、 45 千克【拓展】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3 张 相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数 老师把这 l2张卡片发给6 名同学，每人得到两张颜色不同的卡片然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和六名同学交上来的答案分别为：92，125，133， 147， 158， 191 老师看完6 名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？【解析】 根据题意可知，6 名同学每人都得到给定的4 个数中的某2 个，而从4 个数中选取2 个不同的数共有 C426种不同的方法而6 名同学所给的6 个答案中只有

52、1 个错误，有5 个是正确的，而且这 5 个正确的答案互不相同，所以这5 名同学所拿到的两个数也互不相同而总共只有6 种不同情况， 所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他5 名同学所拿到的两个数的情况也都不相同那么本题相当于：有四个数a 、 b 、 c 、 d ( ab c d )，每次从中取出两个数，计算它们的和，得到六个和：92， 125， 133， 147， l58，l91 ，其中只有一个是错误的，求a 的值由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即ab 与 cd ， ac 与 b d ， ad与 bc ，互相匹配的两个和的和是相等的，都等于 ab cd而题中的 6 个数中， 92

53、 191125 158283 ，第17页共21页小学奥数讲义可见 a b c d283，那么六个和数中 133 和 147 都可能是错误的如果 147 是错误的，那么133 是正确的，另一个正确的和数为283 133 150 ，根据 a 、 b 、 c 、d 的大小顺序， 可得 ab92，cd 191， ac125 ，bd 158，而 ad 与 b c 分别为 133和 150再由 a bbd15892250 得 ad250 2b，所以 a d 是偶数，那么 a d 150，得 b 50 ，进而得a925042即四种颜色卡片上所写各数中最小数是42如果 133 是错误的，那么147 是正确的，

54、同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35【巩固】食堂买来5 只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10 种不同重量（单位：千克）： 47， 50，51， 52， 53， 54， 55， 57， 58， 59问：这五只羊各重多少千克？【解析】 可以设定羊的重量从轻到重分别为A ， B ， C ， D ， E 则 AB47 ， DE59 同时不难整体分析得到ABCDE475051525354555758594134千克则C134475928千克不难有 AC50， EC58则 A22千克， E30千克， B25千克， D29千克【例 22】 某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有

55、16 人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1 人那么六年级的男生有人【解析】 因 “五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9 人，而六年级学生至多有7 人；因 “五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5 人；因 “六年级男生比五年级男生多 ”，所以六年级男生至少有6 人，而六年级男生不能多于6 人，否则再加上六年级的女生至少有 1 人，则六年级的学生人数就会多于7 人，这不可能因此，六年级的男生恰好有有6 人【巩固】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8 千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3 倍，求原来大桶有水多少千克？【解析】 现在大桶水比小桶水多：8216（千克），所以现在小桶中的水是：16(31)8 （千克），而原来大桶中有水是：8216（千克）【例 23】 学校买来篮球