2013年美赛集训微分方程建模问题

1、微分方程建模的若干问题2012年1月12日 美赛建模培训班讲稿 讲稿提纲 : 一、常微分方程建模实例二、偏微分方程建模实例 三. 用差分法求解微分方程数值解的 基本原理（ 偏微分方程适定性的 浅释） 微分方程模型的建模基本步骤 （1） 翻译或转化 . 在实际问题中，有许多表示导数的 常用词，例如 “速度”、“速率”、 “增长率”、 “衰变率”、“边际”等等，要会进行翻译成未知 函数的导数工作。 针对语言叙述的情况，找出其中 涉及的原则或物理定律，转化为文字方程。 （2）建立瞬时表达式 . 在自变量有微小变化时，建立 各种因变量变化量之间的相等或近似相等关系，然后 令自变量微小变化量趋于零，得到

2、上述相等或近似相 等关系的瞬时表达式，即微分方程, 属连续性模型。 (3) 确定定解条件 . 找出关于系统在某一特定时刻或 边界上的信息，它们独立于微分方程而成立。 利用它们 来确定需要知道的特定的未知函数。 （4）在微分方程解出后，解函数包含一些未知常数， 例如比例系数、微分方程中的参数等。通常应利用 已有实际数据来确定这些常数。确定的方法是数理 统计中的线性回归或非线性回归方法。 一、常微分方程建模实例 盛水的容器底部有一小洞，水通过该小洞流出，需时 多少水能流完？ 容器中液体流完所需时间的计算模型(单个方程） 建模过程 设在任何时刻 t , 水面高度为 y = y(t) , 该高度处容器

3、的截面积 S 为高度 y 的已知函数 S = S(y) . 记初始时刻水面高度为 h , 即 y(0) = h . 考察时段 t , t +t 内，液面高度变化导致液体体积的 改变量近似值为 : S ( y ) y ( t ) y ( t +t) . 根据托利策利定理，水流出小洞的速度 v 与水面高度 y 应有关系： 设容器出口面积为已知常数 A , 容器的收缩比为 c， 在时 段 t , t +t 内流出的液体体积近似值为： 流出液体体积的近似值应等于容器中液体体积减少近 似 值，故有： 练习1：如果容器为一个锥形漏斗，锥顶角为 45 度，锥 高为 10 公分，容器收缩比为 0.745, 锥

4、孔面积为 A = 0.25 cm2 , 求出装满漏斗的液体流完所需时间为多少？ 练习2：牛奶装在聚乙烯软袋中，牛奶在 B 点的一个小洞 倒出，空气由 A 点剪开的小洞入，由于 A 点有洞，奶袋 限定有一个不变的最大倾角 = 10 o，流出孔面积 B = 0.258 cm2 ,容器收缩比为 c = 0.745 , 牛奶容量为 V = 0.568 升， 袋高 a = 12.7 cm , 袋宽 b = 15.2cm, 求牛奶流 完所需的时间。 B A 提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一 个斜椭圆柱，其底面积近似于一个面积为 S0 的椭 圆；下部近似于一个底面积为椭圆 S0 的斜椭圆 锥 。

5、 参考答案 T 27.7 秒 。 人工肾通过一层医用薄膜与需要带走废物的血管相通. 人工肾中通以某种液体, 其流动方向与血液在血管中的 流动方向相反 , 血液中的废物透过薄膜单向渗透进入 人工肾. 人工肾工作模型 （ 微分方程组情况 ） （ref. 数学模型， 姜启源 等著 , 高教出版社 ； pp. 175 ) 试建立人工肾在单位时间内带走废物数量的计算模型 血管 人工肾 x x+x 血管 人工肾 x x+x 建模假设： (1) 设血管和人工肾中液体的流速 ku 和 kv 均为已知常 数 ; 人工肾总长度为 L ； （I） 利用微分方程方法建立计算模型 . (2) 废物从血管进入人工肾的排出

6、量与它在血管中单位长 度的浓度和人工肾中的单位长度浓 度之差成正比， 比例系数为常数 （1 / 秒 ) ; (3) u (0) = u 0 （已知）， v (L) = 0 ； 建模过程 u(x) : 在点 x 处，血管中单位长度的废物浓度 ( 毫克 / 厘米 ) ; v(x) : 在点 x 处，人工肾中单位长度的废物浓度 ( 毫克 /厘米) ； 考虑 血流方向一个小区间段 x , x + x 废物 向人工肾一侧如图所示排出情况 : 血管 人工肾 x x+x 在血管的微小段 x , x + x 上，利用微元法，应有： 这小段中，单位时间内血管中废物减少量 (毫克 / 厘米 ) = 单位时间内血管

7、中废物排出量 (毫克 / 厘米 ) 废物减少量 = ku u ( x ) - u ( x + x ) ( 毫克 / 秒 ) 废物排出量 = 在单位时间内单位长度废物排出量 乘以该小段长度 x 血管 人工肾 x x+dx ku : 血管中血流速度 (厘米/ 秒 ) kv ： 人工肾中流速 (厘米/ 秒 ) 于是有： ku u ( x ) - u ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x 因为根据假设，在单位时间内单位长度废物排出量与 薄膜两侧的废物浓度成正比 ， 故在单位时间内单位长度废物排出量 = u ( x ) v ( x ) ( 毫克 / 秒 厘米 ) 对人工膜一侧有类似

8、的结论 : 在单位时间内 血管中废物增加量 = 血管中废物进入量 ( 毫克 / 秒 ) 等式左端 = kv v ( x ) - v ( x + x ) ( 毫克 / 秒 ) 等式右端 = u ( x ) v ( x ) x ( 毫克 / 秒 ) kv v ( x ) - v ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x ku u ( x ) - u ( x + x ) = ( u ( x ) v ( x ) x kv v ( x ) - v ( x + x) = (u ( x ) v ( x ) x ku u(x) = - ( u ( x ) v ( x ) )kv v(x) =

9、 - ( u ( x ) v ( x ) ) 这样，联立起来有： 利用 Mathmatica 软件求解此微分方程组 ： 运用定解条件 u (0) = u 0 , v (L) = 0 ， 所以，单位时间内带走废物的总数量： 合理确定用药时间间隔的问题 ( 微分方程分段求解 问题 ; ref. A First Course in Mathematical Modeling , Giordano 著 , 中译本， pp.308 ) 病人开处方中用药的剂量（单位：毫克 / 毫升）已知时，相应的每次 用药时间间隔（单位：小时）的 确定 是 一个十分重要问题。 一般而言，药物在体内的浓度低于已知数量 L

10、时药性 会无效，而高于已知数量 H 时则会发生危险。 根据药理学的临床研究，药物在体内因吸收而导致药物 浓度随时间减少的变化率大小（绝对值）与当时的药物浓度有关。药物浓度大（小），药物浓度变化率的减少也大（小）； 如给药方式为快速静脉注射时，试建立此时的数学模型并确定出 ：（1）每隔 T 小时药用剂量为已知值 Q 毫克 / 毫升时， 体内药物剩余浓度的最终极限值 U ；（2）最佳用药时间间隔 T 的确定方式（计算公式）。 记 u（t）：药物在体内的浓度 ； T ：用药时间间隔 建模假设：药物在体内因吸收而导致药物浓度随时间减少的变化率大小（绝对值）与药物浓度有关， 药物浓度大（小），变化率减少

11、也大（小）； 可以假定：药物浓度减少的变化率与药物浓度成正比 ：已假定给药方式为 快速静脉注射 ，即药物瞬间到达体内： 模型(1)建立： 求解： 第一次用药后最终残余药物浓度 ： 第二次用药最初时刻时的药物浓度 ： 第二次用药后的时段 （0 , T ) 内微分方程模型 ： 求解： 第二次用药后最终残余药物浓度 ： 第三次用药后时段 （0 , T ) 内的微分方程模型 ： 第三次用药最初时刻时的药物浓度 ： 求解： 第三次用药后最终残余药物浓度 ： 以此类推，第 n 次用药后最终残余药物浓度 ： 问题（1）体内药物剩余浓度的最终极限值 U 应为： 为了使得 用药时间间隔 越长越好（既不频繁服药，

12、也不耽误及时 服药），应该 考虑 每次用药最初时刻时的药物浓度在上升，但都不能超过最高药物 浓度 H , 故我们应有要求 ： 第一次用药最初时刻时的药物浓度为 ： 第二次用药最初时刻时的药物浓度为 ： 第三次用药最初时刻时的药物浓度为 ： ，一般地第 n 次用药最初时刻时的药物浓度为 ： 即 ： 求解 T , 即得问题（2）中最佳用药时间间隔 T 的 计算公式 ： 这样，需要成立 ： 模型（2）建立： 建模假设如改为：药物在体内因吸收而导致药物浓度 随时间减少 的变化率大小（绝对值）与药物浓度有关， 假定药物浓度减少的 变化率的 对数值 与药物浓度成正 比 ： 求解： 第一次用药后最终残余药物

13、浓度 ： 第二次用药最初时刻时的药物浓度 ： 第二次用药后的时段 （0 , T ) 内微分方程模型 ： 第二次用药后的时段 （0 , T ) 内的药物浓度 ： 第二次用药后最终残余药物浓度 ： 第三次用药最初时刻时的药物浓度 ：第三次用药后时段 （0 , T ) 内的微分方程模型 ： 第三次用药后的时段 （0 , T ) 内的药物浓度 ： 第三次用药后最终残余药物浓度 ： 用归纳法，类似可得第 n 次用药后最终残余药物浓度 ： （1）每隔 T 小时, 药用剂量为 Q 时，体内药物剩余浓 度的最终极限值 为了确定最佳用药时间间隔，应考虑： 一次用药量尽可能充分 ， 即 每次用药时间间隔尽可能长，

14、 但必须应保证 即（2）最佳用药时间间隔 T 的计算公式为 进一步可思考的问题：如给药方式为 恒速静脉点滴或口服药片时， 模型将如何变化？又如何求解？（ref. 数学模型（第三版），姜启源 等著 , pp. 153 , 第五章 5 . 4 ） 野猪的生态管理问题 （ 微分方程分段跳跃求解问题 ref. A First Course in Mathematical Modeling , Giordano 著 , 中译本， pp.323 ， )一、某森林地区有野猪生存。在自然环境中，已知野猪的数量降到数量 a 以下, 野猪就会灭绝；而野猪数量超过数量 b 以上，野猪就会因疾病和缺乏足够食物而下降到

15、 b 。 现在，该地区野猪数量已偏多，影响到该地区村落居民的正常生活和农作物生长，地区管理部门决定发放捕猎野猪许可证，用以控制该森林地区的野猪 数量（一张许可证只能捕猎一头野猪）。 （1）试建立一个野猪在自然环境中繁衍的数学模型； （2）求解（1）中数学模型，并借此预测长时间后野猪数量将 是多少； （3）为了野猪不致灭绝而使当地生态环境受到破坏，管理部门 应发放多少张捕猎野猪许可证？二、若该地区在某天突然发生地震，导致地震后的生存环 境变差；（1）这时自然繁衍数学模型将如何变化？（2）从地震前某时刻开始到地震后某时刻终止，试画出“地震前后” 野猪数量曲线图，藉以说明野猪的数量在 环境变化影响中

16、是如何变动的。（3）针对地震对野猪生态环境的不同影响，结合你们建 立的数学模型，讨论管理部门应部署何种必要的管理 措施，采取何种合适的生态管理对策，写出一份给当 地管理部门的建议报告。野猪数 表示在 t 时刻，野猪每天增加 (减少) 头数 ，即变化率 一、（1）在自然环境中繁衍的数学模型： 建模假设：野猪数的变化率与现有野猪数超出或低于灭绝消亡线 a 的数量有关，超出或低于的数量越大变化率增加或减少也大 ；可以假定：野猪数变化 x (t) 与 x ( t ) a 成正比 ;野猪数的变化率也与现有野猪数超出或低于饱和线 b 的数量有关，超出或低于的数量越大,野猪数变化率减少或增加也大 ；可以假定

17、：野猪数变化率 x (t) 又与 b x ( t ) 成正比 ; 模型求解： 综述之，可以得到： i) 时， ， 即在 t 0 时刻 一、（2）长时间后野猪数量的变化趋势 a 消亡线数量， b 饱和线数量， c 初始时刻数量 将递减趋于零，时 ， ii) 时， 将随 t 趋于无穷而递增趋于 b ， 即 iii) ， 将随 t 趋于无穷而递减趋于 b ， 即 一、（3）假设该地区捕猎强度为 r （头 / 天）， 在拟定的时段中，发放 m 张捕猎许可证后，猎人为了使用完这些捕猎许可证，需时 天 ; 在考虑有捕猎因素时，野猪繁衍数学模型应修改为： 发放捕猎野猪许可证的张数 m , 使得在 t* =

18、m / r 时刻的野猪数满 足i) 当捕猎强度 r 足够大，使得 x (t) 0 时, 则管理部门应该控制 ii) 当捕猎强度 r 不够大时, 则管理部门应采取措施加强地区的 捕猎强度来达到控制该森林地区的野猪数量过多。 二、该地区在某天突然发生地震，导致地震后的生存 环境变差 ，具体应反映在两个数据上： i) 最大生存数 b 变小为 b * ; ii) 地震发生时刻 所对应的野猪数 迅即变小 ; (1) 在区间段 （ t c* a 情况 c*ab*ii) c* b* 情况 c*ab*b 二、偏微分方程建模实例 在某个区间上求解常微分方程，其（通）解的几何形象 通常是 在 x y 平面上的一组

19、覆盖在这个区间上 “ 平行 互不相交 ” 的 “ 积分 ” 曲线。 为了决定一个特解，通常也就只要在这区间上某一点处 知道 该函数的具体取值，或者说，知道该积分曲线在 x - y 平面中通过哪一 点即可 。 这也就是所谓 “ 初始条件 ” 的几何解释。 偏微分方程的若干常识 例如，常微分方程 的通解 ： 初始条件： 积分曲线在 x - y 平面中通过点 （1 ，4 ）。 而求解一个偏微分方程，情况却要复杂得多。以二元 函数的偏微分方程为例作一说明。 首先，对于一个二元函数偏微分方程的求解范围应是 一个明确给 定的 平面区域（有界或无界）。 其次，在某个区域上求解一个偏微分方程，其（通） 解的几

20、何形象通常是 在 三维空间上的一组覆盖在这个 区域上 的 “曲面”。 这些 “曲面” 已无相互 “ 平行 ” 之类的特性。 例如：定义在全平面二元函数 u ( x , y ) 的偏微分方程 至少有解函数 ：和 解函数 它们的二元函数曲面分别是 “ 椭圆曲面 ” 和 “ 马鞍面 ” ； 具体形象如下： 由此可知, 为了决定一个满足某个偏微分方程特定的（特）解， 仅仅知道该 曲面在三维空间中通过哪一点的信息是远远不够的。 通常，需要了解在这区域 “边界” 上该二元函数的具体取值信 息， 或者说，为了求解一个偏微分方程的定解问题（数学模型）， 除了给定偏微分方程，一般 还需要 “给定” 该偏微分方程

21、的 “ 边界条件 ”和 “ 初始条件 ” 。 偏微分方程数学模型 = 偏微分方程 + 初始、边界条件 至于什么是求解区域的 “ 边界 ” ，这种边界上未知函数如何 给值，是一个很复杂的数学理论问题，通常称为微分方程模型的 适定性问题（解是否存在，解是否唯一，解对边界数据的连续 依赖性等问题）研究。 不同类型的偏微分方程对区域 “ 边界 ”有不同的提法，解的 边界数据也有很多给法，下面将结合具体数学模型以及偏微分 方程的数值解法原理来体会之。 热量（物质）扩散模型 建模假设：(1) 细杆长度为 l ， 其材料是均匀的，即 细杆的密度 （克 /厘米3 ）， 比热系数 c （卡 / 克度 ）均为常数

22、 ； (2) 杆中热量传导服从 Fourier 定律，即单位时间内 通过单位面积的热量与温度关于位置量 x 的下降率成 正比 ，比例系数（导热率）为常数 k ; (3) 杆的左段温度为 u ( 0 , t ) = u1 , 杆的右段温度为 u ( l , t ) = u2 , u1 u2 , 均为已知常数 ；(4) 细杆的初始温度分布为已知函数 u ( x , 0 ) = ( x ) . 一根均匀细杆，初始时刻杆上温度不均匀，杆的两端始终维持一 定的温度，试建立杆上每一点 x 处关于时间 t 的温 度分布模型 .建模过程 取细杆的一小段 x , x +x , 设细杆的截面积为 s 0 厘米2

23、，记 q ( x , t ) 为热流密度（卡 / 秒 厘米2 , 单位时间内通过单位面积的热量 ），（ x s 0 ）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡） ， 则在 t 时间内，沿 x 方向流入小段 x , x +x 的 总热量数近似为： q ( x , t ) s 0 t （卡） , 流出小段 x , x +x 的总热 量数近似为： q ( x +x , t ) s 0 t （卡） , 流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高， 这个热量差可以根据下式计算： 根据热量守恒定律，流入小段 x , x +x 的总热量 - 流出小段 x , x +x 的总热量 =

24、温度升高所需热量 利用 Fourier 定律，有： 根据此问题的现实意义，易见：当杆的两端所维持的温度已知， 杆的初始温度分布函数也已知时，问题的解函数 u ( x , t ) 是惟一 可确定的；或者说上述偏微分方程的定解条件（不多不少）应是： 这个方程称为热传导方程 热传导方程 + 初始条件 + 边界条件 组成了 有限杆长上温度分 布的 适定性 数学模型 ： 如果只讨论有限时段 T 上温度分布的 适定性 数学模型，则有 t x l 0 数学上可严格论证：这样的 初、边值问题 是 适定 的。 即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值 数据 （从实际意义看此问题，也是不难理解的）。

25、（注意：上述求解区域边界 t=0 上未知函数给出的数据，顾名 思义，通常称之为给出了 “ 初值 ” 。） T 如果这根均匀细杆是无穷长的，初始时刻杆上温度为 ， 则杆上每一点 x 处关于时间 t 的温 度分布的 适定性 模型是： 定解模型中只需 初始条件，这符合现实意义。称为 热传导方程 的 Cauchy 问题。 其解的解析表达式是 ： 如果考虑一块无穷大均匀薄片，初始时刻薄片上温度不均匀， 这 时薄片上每一点 ( x , y ) 处关于时间 t 的 温 度 u ( x , y , t ) 分布 （二维热传导）模型则为 ： Ref . 1999 年 美国大学生数学建模竞赛 试题 “ Locat

26、e the pollution source ” , 浙大曾获 美国大学生数学建模 竞赛特等奖 兼 美国运筹与管理科学学会奖 ( Informs 奖 ) 。 弦振动模型 在 a , b 上绷紧的弦，将之垂直拉起然后放开，弦发 生上下震动，试求出上下方向上位移 u ( x , t ) 的规律 . 建模假设：(1) 假定弦是均匀的，柔软的，处在直线绷紧 状态下；弦只能作微小横振动 ； (3) 弦的线密度为常数 。 为了说明偏微分方程模型定解问题的复杂性，定解条件 如何提，模型问题才能适定，再来看一个实际问题， 其本身也是一个 二阶偏微分方程的典型案例。 (2) 初始时刻 弦处于静止状态 ； 建模过

27、程 取一小段弦 x , x +x , 应有： T1 cos 1 = T2 cos 2T2 sin 2 - T1 sin 1 = x utt （ Newton Law ） cos 1 1 , cos 2 1 , sin 2 tg 2 = u x ( x + x , t ) , 2 1 T1 x x +xT2sin 1 tg 1 = u x ( x , t ) , 根据问题假设 ，弦的两端固定，故 应有 弦垂直拉起刚放手时，即 t =0 时，该弦上各点位移已 知，故有 为已知函数 弦垂直拉起刚放手时，即 t =0 时，该弦各点处于静止 状态，即 t x b 0 偏微分方程理论研究告诉我们：这样的

28、初、边值问题 是 适定 的 。这在最后一节偏微分方程数值解原理分析 中也会得到印证。 a 综合之，构成如下 弦振动 数学模型 ： 休渔期鱼群分布律模型 （ 偏微分方程混合边值定解 问题 ） 建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。 建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海 岸线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；海岸 0 外海 x (2) 规定休渔区域在沿海 l 公里以内；休渔边界 x = l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽； (3) 任何地点 x 、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数 u ( x , t ) 为可微函数； (4) 初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x ,

29、 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ； (5) t 时刻 、x 处鱼群密度 u ( x, t ) 的增长速度为 已知函数 f ( u ) ; (6) t 时刻 、x 处鱼群数向外游动的扩散流量 ( x , t ) 与 u x ( x, t ) 成正比 ，比例系数为常数 2 ： 这个假设称为 Fick 定律，它类似于热量扩散问题中 的 Fourier 法则 。 建模过程 单位时间里 ，任意区间段 a , b 段上 鱼群数的变化量为： 这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在 a , b 段内的鱼群数： 另一项为单位时间里， a , b 段内的新生鱼群数： 由于区间段 a , b

30、 是任意的，上述定积分中被积函数 有连续性，故被积函数只能恒等于零， 即 这样，问题定解的初 、（混合）边值条件为： 根据假设（4），初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x , 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ： 根据假设（2），休渔边界 x = l 外，鱼群将全部被外 海渔船打尽： 显然，鱼群数向岸上游动的扩散流量 ( 0 , t ) 为零 ， 根据假设（6）： 故 0lxt 这个偏微分方程的初、（混合）边值问题也是 适定的 ，即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据 自由边界问题 自由边界问题是一类更为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁

31、地出现，例如 它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物 - 美式期权价格计算、抵押贷款 评估研究等等的经济现象之中。 （1）一相 Stefan 问题 考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。 建模假设： （1）假定冰区域温度恒等于零度； （2）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律 ，即 单位时间中高温点到低温点通过单位面积的热 流量大小与与温度关于位置量 x 的下降率成正比 ； 由此可推出以下等式 ： （3

32、）假定水的密度 、比热 c 、热传导系数 k 和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数 。 取细棍的一小段 x , x +x , 设细棍的截面积为 s 0 厘米2 ； 记 q ( x , t ) 为热流密度（卡 / 秒 厘米2 , 单位时间内通过 单位面积 的热量）， 则在 t 时间内，沿 x 方向流入小段 x , x +x 的总热量数近似为：q ( x , t ) s 0 t （卡） , 流出小段 x , x +x 的总热量数近似为： q ( x +x , t ) s 0 t （卡） , 流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升 高，这个热量差可以根据下式计算：（ x s 0 ）c u

33、( x , t +t ) u ( x , t ) （卡） ， 这样便可得： 根据 Fourier 定律，有： 在融化而成的水域里 ，水的温度 u ( x , t ) 服从 热传导 方程 ： u t = a2 uxx , x ( 0 , s0 ) , t ( 0 , + ) . 为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。 在 左边界上 水温为已知函数： u ( 0 , t ) = u 1 ( t ) 0 ; 假定水温的 初值 为已知函数 ： u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) ； 由于右边界端处的 热传导，冰在不断融化，故水域的 右边界是一条 移动边界 ，或称为 自由边界 。

34、 这条 自由边界 本身也是需要求解的 未知一元函数！ 0L冰水xts0 x = s ( t ) 易知，在移动的右边界 s ( t ) 上水温函数应满足： u ( s ( t ) , t ) = 0 ；为了决定 自由边界 的位置，还需导出边界上另一个条件 。t1t2t3t4 设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段路程 x ， x为了融化边界移动中消失的冰， 需要一份热量，其数量应是： 在 t 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的 总热量根据 Fourier 定律 ，应是 ： 上述两者 应该相等： 令 t 0 ， 可得： 于是，融化水区域上任意点处温度 u ( x , t ) 随时间 t

35、演变的模型为： xtx = s ( t )0s0 偏微分方程的理论研究可以证明这个问题也是 适定 的 。 （2）两相 Stefan 问题 如果在 一相 Stefan 问题 中将假设（1）冰区域 温度 恒等于零度 改为 不恒等于零度 ，该区域中也有热 传导过程，则 一相 Stefan 问题 就变成了 两相 Stefan 问题 。xtx = s ( t )0s0L这个问题的 适定性 也已获得证明 。 （3） 细胞体内氧气的扩散与吸收问题 细胞体内氧气的会向周边 扩散 ，在 扩散 的同时，细胞 体也在 吸收 氧气以维持生命 ；如果细胞得不到氧气的 供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散 吸收 过程的数

36、学模型。 为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。 建模假设： （1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边 扩散 至 浓度小的右边；在扩散中，扩散流量 q 的大小与 左、右两点的氧气浓度 c 的差成正比；即： （2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体 吸收 氧气 的速度为一常数 D ； （3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体 即行死亡，不再参与氧气扩散过程 。 （ k 为扩散系数 ）细胞体末端氧气 考虑细胞体在位置 x 处、长为 x 的一段细胞上扩散 和吸收氧气情况。 在 t 时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是 : 经扩散流出这段细胞内的氧气数量是 : 这段细胞内氧气的变化量是

37、： 这段细胞氧气的吸收量是： 进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系： 根据假设（1）， 氧气扩散、吸收方程 0 xts0 在细胞体左端，在 t = 0 起断绝氧气输入，故有： 在细胞体右末端 x = s 处，始终有条件： 随着氧气的缺乏，右末端的细胞逐渐死亡，故有末端的位置随时间而变动，形成一条 自由边界 ： x = s ( t ) . 氧气扩散、吸收问题 ： 寻求未知函数对： c ( x , t ) ，s ( t ) ， 使得它们满足： 在初边至充分光滑情况下，这个问题的 适定性 也可证明。 事实上，若该问题的充分 光滑解为 c ( x , t ) ， 令 u ( x , t ) =

38、c t ( x , t ) , 则有 已知 u ( x , t ) 后 ， 即可得到 ：0 xts0 三. 用差分法求解微分方程数值解的基本 原理（ 偏微分方程适定性的浅释）（ 一阶向前偏心差分 ）； （一阶中心差分 ）；（一阶向后偏心差分 ）； 其理论根据是 和 1. 用有限一阶差分替代 一阶（偏）导数情况 （一阶向前偏心差分 ）（一阶中心差分 ） 其理论根据是 和 2. 用有限二阶差分替代 二阶（偏）导数情况 其理论根据是 和 （ 称为 二阶中心差分 ） 3. 常（偏）微分方程数值解的定义 对于函数 y = f ( x ) ，x a , b , 把区间 a , b 分成 n (等) 份,

39、已知分点为 a , x1 , x2 , , xn-1 , b ; 计算出 这些点上的函数值： f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn-1 ) , f ( b ) ; 这组数值就称为一元函数 y = f ( x ) ，x a , b 的 数值解 。 常微分方程 数值解 的 几何意义： 解函数 y = f ( x ) ，x a , b 的图像是一条覆盖在 区间 a , b 上的平面曲线 ; 依次把由数值解所能决定的 n +1 个平面上的点 ( a , f ( a ) ) , ( x1 , f ( x1 ) ) , , ( xn-1 , f ( xn-1 )

40、 ) , ( b , f ( b ) ) 连成一条折线 ； 显然， n 越大， 函数曲线与平面折线就越近似 地融为 一体而不可分 。这就是一元函数数值解可无限逼近函 数的几何意义，尽管我们可以不知道某个常微分方程定 解问题其解（一元函数）的解析表达式。 对于二元函数 z = f ( x , y ) ，( x , y ) a , b U c , d , 把区域 a , b U c , d 纵横打上网格线，得到 n m 个网格点： ( xi , yj ) , 1 i n , 1 j m ; 计算出 这些网格点上的二元函数值： f ( xi , yj ) , 1 i n , 1 j m ; 这组数值就称为二元函数 z = f ( x , y ) ，( x , y ) a , b U c , d 的数值解 。 偏微分方程数值解的几何意义：二元解函数 z = f ( x , y ) ，( x , y ) a , b U c , d 的图像是 一片覆盖在区域 a , b U c , d 上的空间曲面 ; 依次把由上述数值解所能决定的 n m 个三维空间上 的点 ( xi , yj , f ( xi , yj ) ) , 1 i n , 1 j m 张成 一片网络面 ； 显然， n ， m 越大，二元函数空间 曲面与网络面就越近似地融为一体而不可分 。 这就是