数字信号处理：dsp16 物理可实现信号、最小相位信号和最小能量延迟信号1

1、数字信号处理9.物理可实现信号、最小相位信号和最小能量延迟信号(II) 8/11/20221马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号A.相位延迟和群延迟的概念为了讨论方便，我们假定信号是连续的（即时间t是连续变化的）。设信号 经延迟时间 以后变为则从滤波角度看其中因此即 反映了信号延迟时间。8/11/20222马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号对于一般的滤波器频谱 其中 为振幅谱， 为相位谱。下面我们引入两个描述信号延迟时间的概念。滤波器的相位延迟 为滤波器的群延迟或包络延迟 为8/11/20223马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号当 时，该滤波器是无畸变滤

2、波器，它对输入信号仅起时间延迟作用，延迟时间等于相位延迟。 一般情况下，讨论信号延迟的时间比较复杂。然而，相 位延迟 和群延迟 仍然有明确的物理意义：相位延迟 反映了单一正弦波的延迟时间。8/11/20224马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号设滤波器的脉冲响应 为实函数，则 满足 因此，即输出仍是频率为 的正弦波，振幅被调制为 。设延迟时间为 ，则相比较得8/11/20225马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号因此，相位延迟 表示输入是频率为 的单一正弦波时的延迟时间，这就是相位延迟 的物理意义。另一方面，群延迟反映了某一频率邻域内的延迟性质，或者说反映了某一频率的包

3、络的延迟时间。其中 非常接近于 。根据三角等式， 还可表示由于当 ， ， 变化缓慢，起着调幅的作用，因此我们将半频差余弦 称为调幅余弦或包络余弦。8/11/20226马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号将 输入给滤波器，输出 为 由于当 时， ，为了讨论方便，假定 这时，输出信号为：根据三角等式， 可表示为即经过滤波后，包络余弦 变为8/11/20227马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号这表明包络余弦的延迟时间 为当 时，则有这表明，群延迟或包络延迟反映了在频率 时的包络的延迟时间，它表示信号在频率 的邻域内局部延迟性质。8/11/20228马尽文9.3相位延迟与群延

4、迟的概念，最小相位信号对离散滤波器，相位延迟 ,群延迟 ,可同样理解.现在讨论群延迟的近似计算问题。因为因此所以当 取离散值时，可认为故有近似公式8/11/20229马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号B.全通滤波器的群延迟全通滤波器的相位谱 为：其中 ， 为抽样间隔。8/11/202210马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号若其相位谱用 来表示，则为 ，其群延迟为计算得8/11/202211马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号由上面分析以及可知从而知，全通滤波器的群延迟大于或等于0的，即8/11/202212马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号

5、能量有限的物理可实现信号 称为最小相位信号，如果对任何物理信号 ，只要 的振幅谱和 的相同那么 的群延迟 总是大于或等于 的群延迟 ，即C.最小相位信号或8/11/202213马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号 定理1 设 是能量有限的物理可实现信号，它的振幅谱 为 ，则 是最小相位信号的充要条件是其中 为实常数， 是对应于Z变换 的信号,其中证明：充分性 对任一振幅谱为 的物理可实现信号 ，其Z变换为 。设相应的频谱为 因此有8/11/202214马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号 根据全通滤波器的群延迟性质 ，有 由于 的相位谱为 ， 因此 所以 按照定义， 为

6、最小相位信号。 必要性 设 是最小相位信号，故对 而言，有8/11/202215马尽文9.3相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号 对 ,根据全通滤波器的性质,则有 比较上面两个关系得 由此知 因此 的频谱为 这说明 。8/11/202216马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号A.全通滤波器的能量延迟性质全通滤波器的滤波因子 满足：且 的能量为1，即 。 定理1 1）设 为全通滤波因子，则 。特别地，当 时，则有 。 2）设 为全通滤波器的Z变换，若 ，则 ，其中 为实数，并且8/11/202217马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号证明： 1）由能量关系直接得到。2

7、）Z变换 在 的值为 ，故有 ，由上面结论， ，所以 ，并且当 时，。于是 ， 为实数，且 ，因此 ，为整数。 定理2（全通滤波器的总能量不变性质） 物理可实现滤波 因子 为全通滤波因子的充要条件是：任何信号经过 滤 波后总能量不变，即对任何信号 ，输入信号为 ，必有 。8/11/202218马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号证明 它们的关系为 ，根据总能量和频谱的关 系，关系式等价于 上式写为 要求对任何 上式都成立，由函数积分理论，充要 条件为 即8/11/202219马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号全通滤波器除了具有总能量不变性质外，还具有部分能量延迟性

8、质。对物理可实现信号 ，称 为该信号的部分能量。 定理3 对任何N+1个数 和全通滤波因子 ，有 关系式 其中证明 将信号 作为输入信号，由定理2结论可得该定理中的关系式成立。8/11/202220马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 由定理3关系式，有 当物理可实现信号 为输入信号，滤波因子为全通滤波 因子 时，输出 当 时， 由此可得 于是得到下面的重要定理。8/11/202221马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 定理4（全通滤波器的能量延迟性质） 设输入为物理可 实现信号 ，滤波因子为全通滤波因子 ，输出为 ，则 对一切 ，有 该定理说明了全通滤波器具有部

9、分能量延迟性质，由上 式知，经全通滤波器滤波后的部分能量比滤波前的相应 部分能量要小，所差的能量被延迟到输出信号的后面部分，这因为信号在滤波前后的总能量相等。8/11/202222马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 定理5 在定理4的条件下，对某个N，等式 成立的充要条件是：全通滤波因子 的Z变换为 其中 的分母多项式在单位圆内和单位圆上无零点。证明 必要性 由于 且由定理的等式条件得 由定理3，则有 。8/11/202223马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号因此 的Z变换为 输入信号 的Z变换 根据 ，可得 表达式。 又 是能量有限的物理可实现滤波因子，由本章

10、第一节 定理3，则 的分母多项式的根不在单位圆内和上。 充分性 设输入信号的Z变换为 ，则输出信号 的Z变换为8/11/202224马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号由定理2知定理5等式成立。 推论1 在定理4的条件下，若 ，则 同时成立的充要条件是：证明 必要性 若推论中两等式成立，由定理5， 为8/11/202225马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号因为当 时，有 ，所以 由于 ，所以 ，因而 充分性 设 ，则 ，由定理1， ，这时 。 对任何 ，定理中两式都成立。 推论2 在定理4的条件下，若 ，则 成立的 充要条件是 。 证明 在定理5中，令 即可。8/

11、11/202226马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号例1 设滤波器为 ，输入为 则输出为 输入和输出的部分能量情况为8/11/202227马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 这个例子说明推论1的条件 是必要的。当 时， 推论1中的两等式是成立的，但 ，因为 。 定理6 设 为物理可实现滤波因子，具有单位能量，即 ，则 为全通滤波因子，即 的频谱 满足 的充要条件是：对任何能量有限物理可实现输入信号 ，经 滤波后输出信号 的部分能量被延迟了，即8/11/202228马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号充分性 我们采用反证法。 假定 。设输入信号的频谱

12、 满足 由于 信谱能量关系知： 而 ，所以有 函数 的值有正有负，当把正值放大两倍，负值不 变时，积分值必大于0，即 证明 必要性已由定理4得出。 8/11/202229马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号也即 写成能量形式我们总可以选取某个 ，使而这与定理6中的条件等式相矛盾，故必有 。定理4说明了全通滤波器具有部分能量延迟性质，而定理6指出了，部分能量延迟性质是全通滤波器的本质。8/11/202230马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号B.最小延迟信号一个能量有限但不为0的物理可实现信号 称为最小能量延迟信号（简称最小延迟信号），如果对任何物理可实现信号 ，只要

13、 和 的振幅谱相同，都有 定理7 设 为最小延迟信号， 为全通滤波因子， 为 物理可实现信号，且 （即 ）， 则 ， 也为最小延迟信号。8/11/202231马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号证明 由能量延迟性得 。又 是最小延迟信号，则满足定义的关系式成立。比较两个关系式，可得 。说明 也是最小延迟信号，在由推论1，有 。 定理8 设 是与Z变换 对应的信号。则振幅谱为 的物理可实现信号 是最小延迟信号的充要条件 是 。8/11/202232马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 证明 必要性 的Z变换为 ，由定理7， 知 ，亦即 充分性 任何一个振幅谱为 的物理

14、可实现信号 ， 它的Z变换都可表示为 ，由定理4，有 这说明 是最小延迟信号，又 与 的部 分能量完全一样，因此， 为最小延迟信号。 证毕最小相位信号和最小延迟信号实质上是一样的，它们不 过是分别从时间延迟（相位谱）和能量延迟考虑问题的.8/11/202233马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号经全通滤波器滤波前后的信号具有能量延迟性质，但是具有能量延迟性质的两个信号并不一定是经全通滤波器滤波前后的信号。（例2为一例）例2 设8/11/202234马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号由本章第2节例2知， ， ， 都是纯相位Z变换，它们的振幅谱同为1。对 ，有则 的部

15、分能量为 的部分能量为8/11/202235马尽文 （由定理4可得）9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 的部分能量有如下关系： 当 时， 当 时，8/11/202236马尽文9.4全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号 也即有 可见， 的部分能量比 的相应部分能量要小，但是并 不存在全通滤波器 使 ，因为 在 时为0，故 对于同样Z值为0，但 在 时不为0。关于全通滤波器的能量延迟问题，其他文献曾进行过研究，但那里的方法较繁，而且论证不全。这里直接从能量传递角度进行讨论，方法直观而简明。8/11/202237马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 从前面的理论知，信号

16、与Z变换是一一对应的关系。 在工程应用中，存在两类重要的Z变换函数： 多项式 有理分式A. Z变换为多项式时的最小相位性质 定理1 设有限长度信号 ，它的频谱为 ，则振幅谱为 的最小相位信号 必满足8/11/202238马尽文9.5Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质证明 因为 和 的振幅谱相同，故它们的总能量相等， 即 。又 是最小相位（延迟）信号，所以有 。因此得 ，故定理成立。定理2 是最小相位 信号的Z变换的充要条件是：多项式 在单 位圆内没有根，即 。 证明 必要性 设 是最小相位Z变换。假定 在单位 圆内有根，不妨设 ，于是有8/11/202239马尽文9.5 Z变换为多项式和

17、有理分式时的最小相位性质 令 显然 是纯相位Z变换。由上三等式知 根据第4节定理7， 与上面 的表达式矛盾，故 多项式 在单位圆内无根。8/11/202240马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 充分性 假若 在单位圆内没有根，设 是振幅谱为 的最小相位信号，由定理1， 时 。因此 的Z变 换为 。设 ，则 和 在单位圆周上的0点相同，设 个，且为 ，即当 时 ，当 时 ，于是 表示为 令8/11/202241马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 的分母多项式的根在单位圆外，且 ，故 是全通滤波器Z变换，由于 则由第4节定理7， 是最小相位Z变换。 证毕 上

18、述定理表明：有限长度信号 是最小相位信号 的充要条件是多项式 在单位圆内无 根。B.Z变换为有理分式时的最小相位性质8/11/202242马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 定理3 能量有限物理可实现信号 的Z变换 为有理 分式 其中 与 为没有公因子的多项式， 。则 为 最小相位信号的充要条件是： 在单位圆内无根， 在 单位圆内及其上无根。 证明 必要性 由于 为能量有限的物理可实现信号，由 本章第1节定理3知， 在单位圆内及其上无根。假设 在单位圆内有一个根 ，即 。由定理2的证明知 8/11/202243马尽文 为全通滤波器，且 ，因此， 为振幅谱与 相同的物理可实现

19、信号 的Z变换 与 有最小能量延迟性质相矛盾。9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 其中 则有 充分性 由定理2， 与 皆为最小相位Z变换。由最小相位Z变换的表示性定理得:8/11/202244马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 因此 这表明， 为最小相位信号。 证毕 定理3表明：当 为最小相位时，零点可以在单位圆上 。而有些文献却出现了不允许在单位圆上有零点的错误 其错误原因是没有深入地分析信号或系统相位的群延迟 性质，没有按照最小相位信号或系统是相位具有最小群 延迟的信号或系统这一物理概念进行分析研究，缺乏解 析函数的边界性质或 空间理论这一数学工具。8/1

20、1/202245马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质C. Z变换为多项式时的信号分类 设 项信号 的Z变换为 单位圆内无根 最小延迟（最小相位）信号 单位圆外无根，内至少一根 最大延迟（最大相位）信号 单位圆内、外都有根 混合延迟（混合相位）信号8/11/202246马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 最小延迟信号的能量集中在前部（图a） 最大延迟信号的能量集中在后部（图b） 混合延迟信号的能量集中在中部（图c） 在工程实践中出现的信号，基本上都是最小延迟信号和 混合延迟信号，一般都不是最大延迟信号。见下页图例8/11/202247马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质D.多项式Z变换的分解 例1 设 ，其中 ， ，试对 进行 分解 ，其中 为全通Z变换， 为最 小相位Z变换。8/11/202248马尽文9.5 Z变换为多项式和有理分式时的最小相位性质 解 对 作如下分解 其中 所以知， 为全通Z变换。由于 在单位圆内无根， 所以 确实为最小相位Z变换。