2021-2022学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于第() 象限A一B二C三D四B【分析】先得到复数对应的点的坐标，进而可得答案【详解】由题意得，复数对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限故选B本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关系，属于简单题2我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人

2、（用分层抽样的方法），则北面共有（）人”ABCDA【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果.【详解】设北面有人，则，解得.故选：A.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A（）A120B150C45D60B【分析】利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B.4如图所示的是函数的图像，则函数可能是（）ABCDC【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.【详解】由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负若，则，所以函数为偶函数，与条件矛盾，A错，若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，若，则，当时，与所给函数图象不一致，D

3、错，若，则，当时，又， ，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C5“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大假设李某能力较强，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目，团队成员各自独立地解决项目的概率都是0.4如果这个人的团队解决项目的概率为，且，则的最小值是(参考数据：，)（）A4B5C6D7B【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可【详解】解：由题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为：，所以，即，两边取常用对数可得：，即，解得，又，即的最小值

4、为故选：B6在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A垂心B内心C外心D重心C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.【详解】设的中点是，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.7已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）ABCDB【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段的中点E，得到四边形为矩形，分别求得，

5、结合球的截面圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，取线段的中点E，连，则四边形为矩形，在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在直角中，可得，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.二、多选题8如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）ABCDCD【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.【详解】解：因为是两个单位向量，所以，但两向量的方向不能确定，故AB错误；CD正确.故选：CD.9已知，则的值可能为（）A4B8C10D12AD【分析】根据，可得方

6、向相同或相反，分同向和反向两种情况讨论即可得解.【详解】解：因为，所以，因为，所以方向相同或相反，当同向时，当反向时，.故选：AD.10在中，下列结论中，正确的是（）A若，则是等腰三角形B若，则C若，则为钝角三角形D若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是ABC【分析】根据及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为，且A，B(0，)，所以AB，所以是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由，则ab且A，B(0，)，可得AB，所以选项B正确；对于选项C，由A

7、B2AC2BC2，以及余弦定理可得，即为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A60，AC4，以及正弦定理可得1，解得BC2，且由大边对大角BA，可得ACBC，即BC4，所以BC长的取值范围是(2，4)，所以选项D错误； 故选：ABC.11已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则（）A正方体的外接球的表面积为B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段的最大值为ABC设正方体的棱长为，由此确定内切球和外接球半径，由的最小值为两球半径之差可构造方程求得，进而求得外接球表面积和内切球体积；由的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为，则正方体外接球

8、半径为体对角线长的一半，即；内切球半径为棱长的一半，即.分别为外接球和内切球上的动点，解得：，即正方体棱长为，正确，正方体外接球表面积为，正确；内切球体积为，正确；线段的最大值为，错误.故选.本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为，最大值为.12已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A在区间上单调递增B是的一个周期C的值域为D的图象关于轴对称CD代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判

9、断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；对于B：，所以不是的一个周期，故B错误；对于C：，所以的周期为，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上：的值域为，故C正确；对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，故选：CD解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.三、填空题13计算：_.【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于，即可得出结果.【详解】由题意得，.故答案为.14有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种

10、子能发芽的概率是_.【分析】利用互斥事件及独立事件概率公式即得.【详解】由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，则所求概率.故答案为.15某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发渗透流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量（精确到0.1）0.19.910.024.925.049.950.099.9降雨等级小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 ，高为300 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24小时的雨水高度是150 （如图所示），则这24小时的降雨量的

11、等级是_.中雨【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求出圆锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案【详解】圆锥的体积为，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为 mm，将，代入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以，则平地上积水的厚度，因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨故中雨16拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边

12、三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得ABAC的最大值为_【分析】结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得ABAC的最大值.【详解】设BCa，ACb，ABc，如图，连接AF，BD，AD由拿破仑定理知，DEF为等边三角形因为D为等边三角形的中心，所以在DAB中，同理又，所以在ADF中，由勾股定理可得，即，化简得，由基本不等式得，解得（当且仅当时取等号），所以故四、解答题17已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程(1)求和(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方

13、程(1)，(2)（答案不唯一）【分析】1）根据题意设，代入，得到关于，的方程，再求出，即可可解决此问题；（2）利用根与系数关系，即可解决此问题【详解】(1)解：因为是实系数一元二次方程的两个虚数根，则互为共轭复数，设，代入中，得，整理得，解得，；(2)；，以和为根的实系数一元二次方程可以为18已知，求k为何值时：(1)；(2)；(3)与的夹角为钝角(1)(2)(3)【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示列出方程即可得解；（2）根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解；（3）由与的夹角为钝角，可得且不共线，列出不等式组，解之即可得解.【详解】(1)解：因为，所以，解得；(2)解：因为，所以，

14、金额的；(3)解：因为与的夹角为钝角，所以且不共线，即，解得且，所以.19某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学成绩，将其成绩分成，的组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.(1)(2)77(3)【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【详解】(1)由频率分布直方图得，解得，所以图中的值是0.

15、020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数：，所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，名女生分别为，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.20如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且，为棱的中点(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可证明平面平面；（2）根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解【详解】

16、(1)证明：由题意，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；(2)解：设的中点为，连接，所以是等腰三角形，即是梯形底边上的高，由题意知，所以，是的中点，到底面的距离为，四棱锥的体积为；综上，四棱锥的体积为21记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)若，求符合条件的k的最小值(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换得出，再由，得出；（2）由结合正弦定理以及得出，令，结合基本不等式得出的最小值.【详解】(1)，即，两边平方得，即，,，;(2)由（1）可得，则,则，,，由得，设，则当且仅当时，等号成立即符合条件的k的最小值为22由倍角公式cos2x2cos2x1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3xcos(2xx)cos2xcosxsin2xsinx(2cos2x1)cosx2(sinxcosx)sinx2cos3xcosx2(1cos2x)cosx4cos3x3cosx可见cos3x可以表示