数字信号处理：dsp12 有限离散傅氏变换(III)

1、数字信号处理7.有限离散傅氏变换(III) 8/11/20221马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析 频谱分析：计算出信号的频谱，并由此计算出振幅谱、 能谱（或功率谱）、相位谱。A. 频谱分析的步骤 设连续实信号为 ，其中 ，以间隔 抽样得到离散信号 ， 可能是无限长离散信号 也可能为有限长度离散信号进行其频谱分析的步骤如下：8/11/20222马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析一、数据准备令 ， 为正整数。对于有限长度离散信号，取 满足并且将 改造为：对于无限长离散信号或 非常大的离散信号，我们只能截取 项进行分析，截取信号记为：8/11/20223马尽文7.4应用快速傅氏变换进行

2、频谱分析二、用FFT计算频谱当 时， 表示对应于频率 的频谱值。频谱 是由实部 和虚部 组成的复数，即三、由频谱求振幅谱、相位谱，功率谱 其中8/11/20224马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析四、对振幅谱或功率谱进行平滑处理 由于在信号中往往含有干扰成分，使振幅谱或功率谱极 不平滑，因此需做平滑处理。 平滑因子 通常取3个点或5个点，如 或8/11/20225马尽文五、求振幅谱或功率谱的最大值频率点 和中间值频率点 7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析 现以振幅谱 来说明如何求 和 ，令 其中 使 这时我们称 为最大频率点 令 其中 使8/11/20226马尽文7.4应用快速傅氏变换进

3、行频谱分析这时我们称 为中间值频率点，其直观意义是：在频率范围 之内，以 为中间分界点，在 的两边振幅谱 所占的比重是一样的。严格讲， 往往不存在，实际计算时，令B. 频谱分析中参数的选取8/11/20227马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析对于连续信号 进行频谱分析，实际上是对长度为 的离散信号 进行频谱分析。容易看出，频谱分析中参数 和 的选取很重要。 对于连续信号 ，我们用两个参数来刻画其频率特点 的截频或 最高可达的频率（单位为Hz）； 的频率分辨间隔（单位为Hz）。对 的振幅谱 取离散值观察时，离散值的间隔不能大于 ，故当两个频率之差大于 时，对 所包含的这两个频率成分可分辨开

4、。当 的振幅谱 曲线摆动比较大时，8/11/20228马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析 就要取得小些，当 曲线较平滑时， 就可取得大 些。 与 的选取原则： 即 在 部分的能量充分地小。8/11/20229马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析由有限离散傅氏变换知，有限离散频谱的频率间隔为因此，还要求 满足从而由于 表示进行频谱分析的信号记录长度， 称为最小记录长度。8/11/202210马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析 ， 的选取规则：例 已知某信号的截频 Hz，频率分辨间隔 Hz 现在要对信号作频谱分析，问： （1）要求最小记录长度 等于多少？ （2）抽样间隔 应满足什么

5、条件？ （3）抽样点数 应满足什么条件？8/11/202211马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析 解：（1） （2） （3） 若要求 为 形式 ，则可取 。 下页为一个信号作频谱分析的图例。8/11/202212马尽文7.4应用快速傅氏变换进行频谱分析8/11/202213马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数A. 有限离散哈特利变换设 为实数，令其中cas为“cos and sin”三个字的缩写。一、函数由于则8/11/202214马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数同样，由有二、有限离散哈特利变换（FDHT）离散信号 ，令则 的离散哈特利变换定义为显

6、然周期为 。8/11/202215马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数下面求哈特利逆变换由前面问题中cas的含义，知由本章第一节所证明的等式8/11/202216马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数有则有该式称为有限离散逆哈特利变换从而有下面有限离散哈特利和逆哈特利变换公式其中，8/11/202217马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数B. 有限离散余弦变换一、有限离散 型余弦变换离散信号：其有限离散 型余弦变换和有限离散 型逆余弦变换为其中8/11/202218马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数二、有限离散 型余弦变换

7、离散信号则其有限离散 型余弦变换和有限离散 型逆余弦变换为其中8/11/202219马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数三、有限离散逆 型余弦变换公式的证明问题：已知（5-1）式，证明（5-2）式。首先给出几个初等公式8/11/202220马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数取上式的实部和虚部，得将（5-1）式代入（5-2）式右边，得8/11/202221马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数其中8/11/202222马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数由上式知当 时， 8/11/202223马尽文7.5有限离散哈特利变换、

8、余弦变换和广义中值函数当 时，由 ，故 与 同偶或同奇当 ， 为奇数时， 也为奇数，因此由（5-4）式知当 ， 为偶数时， ，这时有 8/11/202224马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数因此同样有8/11/202225马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数因此由（5-8）、（5-9）和（5-4）知由（5-5）、（5-6）、（5-7）、（5-10）和（5-4）知有限离散逆 型变换公式成立。8/11/202226马尽文C. 广义中值函数7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数一、广义中值函数若对函数 ，存在函数 ，使或者则称 为广义中值函数，其中 为

9、整数， 为实数。容易验证， ， ， 和 都是广义中值函数，而且它们的 还是相同的，即 。8/11/202227马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数性质1 为广义中值函数， 为正整数， 为一组离散数据，则 其中 ；或者其中 ，上两式中要求 。8/11/202228马尽文证明：由中值函数的定义知7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数因此由上式可知性质1两式成立。8/11/202229马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数性质2 为广义中值函数， 为正偶数， 为一组离散数据，则 其中 ；或者其中 ，上两式中要求 。8/11/202230马尽文7.5有限离散

10、哈特利变换、余弦变换和广义中值函数证明：根据自然分解式： 对上式的第二项，利用性质1（用 代替性质1中的 ）就得到性质2中的两式。 性质2中的两式把长度为 的变换转化为两个长度为 的同一变换，体现了快速二分法的思想。二、一种余弦变换的快速算法设 为 个实数，当讨论快速算法时，取 ， 为正整数。8/11/202231马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数考虑一种余弦变换 ：令 ， ， ，由于是广义中值函数，由性质2中第二式可得其中 。8/11/202232马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数由上式可得其中 8/11/202233马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数由上两组等式可知， 点的余弦变换 转换成两个 点余弦变换 ，这就构成了一种快速算法。现在计算 点余弦变换的乘法次数 和加法次数由（5-11）式知 易知 ， ，由上式可计算 ： 8/11/202234马尽文7.5有限离散哈特利变换、余弦变换和广