几何难题精选-中考压轴题-带答案和详细解析

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业几何难题精选 解答题（共30小题）1（2015河南）如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，= ；当=180时，= （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长 2（2015济南）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线

2、AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长 3（2015岳阳）已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图所

3、示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： （2）猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k求证：PAPB=kAB 4（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的

4、角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF） 5（2015烟台）【问题提出】如图，已知ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础

5、上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由 6（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由） 7（2

6、015襄城区模拟）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由 8（2015重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方

7、形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DFPG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，连结EF（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 9（2015房山区二模）在ABC中，AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180）得到EFD，其中点A

8、的对应点为点E，点B的对应点为点FBE与FC相交于点H（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： ；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： 10（2015衢州校级模拟）图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起（C与O重合）（1）操作：固定ABC，将0DE绕点C顺时针旋转30后得到ODE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论（2）在（1）的条件下将的ODE，在线段CF上沿着CF方向以每

9、秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围（3）将图1中0DE固定，把ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为ABG，然后将ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设BGE=（3090）；（图4）探究：在图4中，线段ONEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出ONEM的值，如果有变化，请你说明理由 11（2015武义县模拟）（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点

10、C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将EOC沿CE折叠如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EGx轴交CD于点H，交BC于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将EOC沿CE折叠点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若=，求AT的长 12（2015石家庄校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O （1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱

11、形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由 13（2015春泰安校级期中）如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM若PM=13，试求AM的长；（3）连接MN，求AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系 14（2014天津）在平面直角坐标系中

12、，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF，记旋转角为（）如图，当=90时，求AE，BF的长；（）如图，当=135时，求证AE=BF，且AEBF；（）若直线AE与直线BF相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可） 15（2014春青山区期末）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到

13、如图3的位置时，求的值 16（2013盐城）阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请

14、直接写出的值（用含的式子表示出来） 17（2013梅州）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由 18（20

15、15营口）如图，点P是O外一点，PA切O于点A，AB是O的直径，连接OP，过点B作BCOP交O于点C，连接AC交OP于点D（1）求证：PC是O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长 19（2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，

16、对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值 20（2015盘锦）如图1，ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点B在线段AE上，点C在线段AD上（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；（2）如

17、图2，将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角（0360），（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当AC=ED时，探究在ABC旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角的度数；若不存在，请说明理由 21（2015朝阳）问题：如图（1），在RtACB中，ACB=90，AC=CB，DCE=45，试探究AD、DE、EB满足的等量关系探究发现小聪同学利用图形变换，将CAD绕点C逆时针旋转90得到CBH，连接EH，由已知条件易得EBH=90，ECH=ECB+BCH=ECB+ACD=45根据“边角边”，可证CEH ，得E

18、H=ED在RtHBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 实践运用（1）如图（2），在正方形ABCD中，AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长 22（2015自贡）在ABC中，AB=AC=5，cosABC=，将ABC绕点C顺时针旋转，得到A1B1C（1）如图，当点B1在线段BA延长线上时求证：BB1CA1；求AB1C的面积；（2）如图，点E是BC边的中点，点

19、F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差 23（2015吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）其中，C=DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，

20、边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值 24（2015汕尾）在RtABC中，A=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果） 25（2015赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个

21、顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ 26（2015海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射

22、线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=nPK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数 27（2015丹东）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DO

23、M=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系 28（2015成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（i）求证：CAECBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图，

24、当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程） 29（2015锦州）如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程

25、中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明 30（2014绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值 几何难题精选(1) 旋转 圆 四边形参考答案与试题解析 一解答题（共30小题）1（2015河南）如图1，在

26、RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，= ；当=180时，= （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）当=0时，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少=180时，可得ABDE，然后根据，求出的值是多少即可（2）首先判断出

27、ECA=DCB，再根据，判断出ECADCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可（3）根据题意，分两种情况：点A，D，E所在的直线和BC平行时；点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可【解答】解：（1）当=0时，RtABC中，B=90，AC=，点D、E分别是边BC、AC的中点，如图1，当=180时，可得ABDE，=故答案为：（2）如图2，当0360时，的大小没有变化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如图3，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，AD=BC，AB=DC，B=90，四边形ABCD是矩形，如图4，连接BD，过点

28、D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，点D、E分别是边BC、AC的中点，DE=2，AE=ADDE=82=6，由（2），可得，BD=综上所述，BD的长为4或【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握 2（2015济南）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合）

29、，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据题意证明MACNBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明MACNBC即可；（3）作GKBC于K，证明AM=AG，根据MACNBC，得到BDA=90，根

30、据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案【解答】解：（1）ACB=90，MCN=90，ACM=BCN，在MAC和NBC中，MACNBC，NBC=MAC=90，又ACB=90，EAC=90，NDE=90；（2）不变，在MACNBC中，MACNBC，N=AMC，又MFD=NFC，MDF=FCN=90，即NDE=90；（3）作GKBC于K，EAC=15，BAD=30，ACM=60，GCB=30，AGC=ABC+GCB=75，AMG=75，AM=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90，BD=，AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，a+a=+1，a=1

31、，KB=KG=1，BG=，AG=，AM=【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用 3（2015岳阳）已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA=PB （2）猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况

32、下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k求证：PAPB=kAB【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可（2）首先过C作CEn于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、PCA=PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出PACPBE，即可判断出PA=PB仍然成立（3）首先延长AP交直线n于点F，作AEBD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出AEFBPF，即可判断出AFBP=AEBF，再个AF=2PA，

33、AE=2k，BF=AB，可得2PAPB=2kAB，所以PAPB=kAB，据此解答即可【解答】解：（1）ln，BCBD，三角形CBD是直角三角形，又点P为线段CD的中点，PA=PB（2）把直线l向上平移到如图的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图，过C作CEn于点E，连接PE，三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，PD=PE，又点P为线段CD的中点，PC=PD，PC=PE；PD=PE，CDE=PEB，直线mn，CDE=PCA，PCA=PEB，又直线lm，ln，CEm，CEn，lCE，AC=BE，在PAC和PBE中，PACPBE，PA=PB（3）如图，延长AP交直线n于点F，作AEB

34、D于点E，直线mn，AP=PF，APB=90，BPAF，又AP=PF，BF=AB；在AEF和BPF中，AEFBPF，AFBP=AEBF，AF=2PA，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，PAPB=kAB【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握 4（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段B

35、C的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）如图1，易求得B=60，BE

36、D=90，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM

37、然后在RtBMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BECF）【解答】解：（1）如图1，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，B=C=60，BC=AC=AB=4点D是线段BC的中点，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2=1；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND，EM

38、=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=（BECF）【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形

39、全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键 5（2015烟台）【问题提出】如图，已知ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，

40、再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，所以EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF（1）首先判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，所以EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，再根据FCG=EAD，D=EAD，可得D=FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BDAF即可（2）首先根据点E在线

41、段BA的延长线上，在图的基础上将图形补充完整，然后判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，再判断出DBE=EAF，BDE=AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可【解答】证明：ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BCA=60，BE=AF，EC=CF，CEF是等边三角形，EF=EC，CEF=60，又ED=EC，ED=EF，ABC是等腰三角形，BCA=60，ABC是等边三角形，CAF=CBA=60，EAF=BAC+CAF=

42、120，DBE=120，EAF=DBE，CAF=CEF=60，A、E、C、F四点共圆，AEF=ACF，又ED=EC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，DB=AE，BE=AF，AB=AE+BE，AB=DB+AF（1）AB=BD+AF；延长EF、CA交于点G，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，EFC=BAC=60，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=ECD，D=ECD，D=FEA，由旋转的性质，可得CBE=CAF=

43、120，DBE=FAE=60，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，BD=AE，EB=AF，BD=FA+AB，即AB=BDAF（2）如图，ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等边三角形，ABC=60，又CBE=CAF，CAF=60，EAF=180CAFBAC=1806060=60DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC，

44、AEF=CEF+BEC=60+BEC，BDE=AEF，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握 6（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的

45、AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）首先过点P作PMCE于点M，然后根据EFAE，BCAC，可得EFMPCB，推得，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可（2）首先过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，然后根据全等三

46、角形判定的方法，判断出DAFEAF，即可判断出AD=AE；再判断出DAPEAP，即可判断出PD=PE；最后根据FDAC，BCAC，PMAC，可得FDBCPM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE（3）首先根据CPE总是等边三角形，可得将AEF绕着点A顺时针旋转180，CPE仍是等边三角形；然后根据BCF=BEF=90，点P是BF的中点，可得点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出CBE的度数，即可求出当CPE总是等边三角形时，k的值是多少【解答】解：（1）如图2，过点P作PMCE于点M，PC=PE成立，理由如下：EFAE，BCA

47、C，EFMPCB，点P是BF的中点，EM=MC，又PMCE，PC=PE（2）如图3，过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，PC=PE成立，理由如下：DAF=EAF，FDA=FEA=90，在DAF和EAF中，DAFEAF（AAS），AD=AE，在DAP和EAP中，DAPEAP（SAS），PD=PE，FDAC，BCAC，PMAC，FDBCPM，点P是BF的中点，DM=MC，又PMAC，PC=PD，又PD=PE，PC=PE（3）如图4，CPE总是等边三角形，将AEF绕着点A顺时针旋转180，CPE仍是等边三角形，BCF=BEF=90，点P是BF的中点，点C、E在以点P为圆心，BF

48、为直径的圆上，CPE是等边三角形，CPE=60，根据圆周角定理，可得CBE=CPE=60=30，即ABC=30，在RtABC中，=k，=tan30，k=tan30=，当k为时，CPE总是等边三角形【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了全等三角形判定和性质的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（3）解答第（3）题时，理解“CPE总是等边三角形”的含义是解答此题的关键所在 7（2015襄城区模拟）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得

49、到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出AOGADG即可（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出ADPABP，再结合AOGADG，可得DAP=BAP

50、，1=DAG；然后根据1+DAG+DAP+BAP=90，求出PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可（3）首先根据AOGADG，判断出AGO=AGD；然后根据1+AGO=90，2+PGC=90，判断出当1=2时，AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，求出1=2=30；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式（4）根据题意，分两种情况：当点M在x轴的负半轴上时；当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可【解答】（1）证明：在RtAOG和RtADG中，（HL）AOGADG（2）解：在RtADP和

51、RtABP中，ADPABP，则DAP=BAP；AOGADG，1=DAG；又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，DAG+DAP=45，PAG=DAG+DAP，PAG=45；AOGADG，DG=OG，ADPABP，DP=BP，PG=DG+DP=OG+BP（3）解：AOGADG，AGO=AGD，又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=PGC，又AGO=AGD，AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=1803=60，1=2=9060=30；在RtAOG中，AO=3，OG=AOtan30=3=，G点坐标为（，0），CG=3，

52、在RtPCG中，PC=3（1），P点坐标为：（3，33 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得，直线PE的解析式为y=x3（4）如图1，当点M在x轴的负半轴上时，AG=MG，点A坐标为（0，3），点M坐标为（0，3）如图2，当点M在EP的延长线上时，由（3），可得AGO=PGC=60，EP与AB的交点M，满足AG=MG，A点的横坐标是0，G点横坐标为，M的横坐标是2，纵坐标是3，点M坐标为（2，3）综上，可得点M坐标为（0，3）或（2，3）【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了全等三角

53、形的判定和性质的应用，以及直线的解析式的求法，要熟练掌握（3）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 8（2015重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DFPG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，连结EF（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与

54、线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【分析】（1）作PMDG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到GDH=MPG，于是可根据“ASA”证明ADFMPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD

55、，然后利用旋转的性质得EPG=90，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DFPG得到DFPE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；（3）与（1）中的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形【解答】（1）证明：作PMDG于M，如图1，PD=PG，MG=MD，四边形ABCD为矩形，PCDM为矩形，PC=MD，DG=2PC=2；（2）四边形ABCD为正方形，AD=AB，四边形ABPM为矩形，AB=PM，AD=PM，DFPG，DHG=90，GDH+DGH=90，MGP+MPG=90，GDH=MPG，在ADF和MPG中，ADFMPG（ASA），DF=PG

56、，而PD=PG，DF=PD，线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，EPG=90，PE=PG，PE=PD=DF，而DFPG，DFPE，即DFPE，且DF=PE，四边形PEFD为平行四边形，DF=PD，四边形PEFD为菱形；（3）解：四边形PEFD是菱形理由如下：作PMDG于M，如图2，与（1）一样同理可证得ADFMPG，DF=PG，而PD=PG，DF=PD，线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，EPG=90，PE=PG，PE=PD=DF而DFPG，DFPE，即DFPE，且DF=PE，四边形PEFD为平行四边形，DF=PD，四边形PEFD为菱形【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行

57、四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题 9（2015房山区二模）在ABC中，AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180）得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点FBE与FC相交于点H（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： BE=FC ；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： BF2+CE2=AC2 【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【分

58、析】（1）首先判断出BD=AD=CD，然后根据旋转的性质，判断出ED=FD，BDE=CDF；最后根据全等三角形的判定方法，判断出BEDCFD，即可判断出BE=FC（2）首先连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，判断出BECF；然后根据M为EF中点，G为BF中点，N为BC中点，判断出MGBE，MG=，NGFC，NG=；最后根据BE=FC，BEFC，判断出MG=NG，MGN=90，即MGN为等腰直角三角形，即可判断出MN=（3）首先根据BEFC，可得BF2+CE2=EF2+BC2=BH2+CH2+EH2+FH2；然后根据EF=AB，可得BF2+CE2=AB2+BC2=AC2，据此判断即可【解答】

59、（1）解：AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，BD=AD=CD，又ED=AD，FD=BD，ED=FD，BDE=FDE+=90+，CDF=CDB+=90+，BDE=CDF，在BED和CFD中，BEDCFD，BE=FC（2）证明：如图2，连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，BEDCFD，1=2，又3=4，FHE=FDE=90，BECF，M为EF中点，G为BF中点，MGBE，MG=，G为BF中点，N为BC中点，NGFC，NG=，又BE=FC，BEFC，MG=NG，MGN=90，MGN为等腰直角三角形，MN=（3）解：由（2），可得BEFC，BF2=BH2+FH2，CE2=CH2

60、+EH2，EF2=EH2+FH2，BC2=BH2+CH2，BF2+CE2=EF2+BC2=BH2+CH2+EH2+FH2，EF=AB，BF2+CE2=AB2+BC2=AC2，BF2+CE2=AC2故答案为：BE=FC、BF2+CE2=AC2【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握（4）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且