曲线和方程（二）

1、PAGE 第七章直线和圆的方程第十六课时7.5.2曲线和方程（二）教学目标（一）教学知识点根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.（二）能力训练要求1会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.2会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目标1提高学生的分析问题能力.2提高学生的解决问题能力.3培养学生的数学修养.3增强学生的数学素质.教学重点求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（x，y）表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F（x，y）0；（4）化方程F(x，y)0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.教学难点依据题目特点，恰

2、当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.教学方法启发引导法启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程f(x，y)0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.教具准备幻灯片两张第一张：记作7.5.2A第二张：记作7.5.2B教学过程课题导入师上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.生（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程

3、的曲线（图形）.讲授新课不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.当今，在数学中用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.师下面我们首先讨论求曲线的方程.例2设A、B两点的坐标是（1，1），（3，7）

4、，求线段AB的垂直平分线的方程.分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件MAMB.（打出幻灯片7.5.2A）解：（1）设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则MAMB.即整理，得x2y70.由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程的解，即x12y170，x172y1，点M1到A、B的距离分别是M1A|M1B.即点M1在线段AB的垂直平分线上.由（1）、（2）可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程.例3点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k0)，求点M的轨迹.分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴.解：取已知

5、两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.（打出幻灯片7.5.2B）设点M的坐标为（x，y），点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：PM|MR|MQ|k，（其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，|x|y|k，即xyk.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解：（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程的解，那么x1y1k，即|x|y|k.而|x|、|y|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点：由（1）、（2）可知，方程是所求轨迹的方程.下面，请同

6、学们打开课本P72.课堂练习生（板演练习）练习1、2.生甲1解：设点M（x，y）是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合PM|OM|2，即x2y24. （1）由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程x2y24的解.（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程的解，即4，整理得点M1到坐标原点的距离为M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程的解为坐标的点到坐标原点的距离为2.由（1）、（2）可知，方程x2y24是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程.生乙2解：设点M的坐标为（x，y）则，点M属于集合：PM|y|MF|，即，整理，得x28y160.（1）由求方程的过程可

7、知，曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）过点M1的坐标（x1，y1）是方程的解，那么，而y1|正是点M1到x轴的距离，正是点M1到点F（0，4）的距离.因此点M1到x轴的距离和点M1与点F（0，4）的距离相等.由（1）、（2）可知，x28y160是到x轴的距离和到点F（0，4）距离相等的点的轨迹方程.课时小结通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x，y)0；（4）化方程f(x，y)0为最简形式；（5）证明

8、以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.课后作业（一）课本P72习题7.53，4，5，6（二）1预习内容：课本P7172.2预习提纲：（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？板书设计7.5.2曲线和方程（二）求曲线的方程例21坐标法课时小结2解析几何 例3备课资料参考练习题1动点M到定点A（0，3）的距离等于它到定直线y1的距离，求动点M的轨迹方程.分析：依据求曲线方程的步骤求解.解：设轨迹上的任一点为M（

9、x，y），过M作直线MN垂直于直线y1于点N，则由MNAM，得y1整理：所求轨迹方程为如图所示：2已知点A（a，0），B（a，0），（aR），若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程.分析：先依题意画出草图，帮助分析，然后按求曲线方程的步骤求解.解：如图，设点M的坐标为M（x，y），由AMBM，得kAMkBM1.即x2y2a2.M、A、B三点构成三角形，M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y0，从而得xa.所求轨迹的方程为x2y2a2(xa).3已知平面上两个定点A、B之间的距离为2a，点M到A、B两点的距离之比为21，求动点M的轨迹方程.分析：因已知条件中未给定坐标系，所以

10、需“恰当”建立坐标系，考虑到对称性，由|AB|2a，选A、B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点.A（a，0），B（a，0），再求解.解：如图，以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系.AB2a.设A（a，0），B(a，0)，M（x，y）.MAMB21，1，所求动点M的轨迹方程为4一个动点P与两定点A、B的距离的平方和为122，AB10，求动点P的轨迹方程.分析一：因两定点A、B的距离AB10，选A、B所在直线为x轴，原点为AB的中点，建立坐标系.解法一：建立坐标系，使AB在x轴上，原点为AB的中点，AB10，A（5，0）、B（5，0）.设动点为P（x，y）依题意PA|2|PB|2122，得(x5)2y2(x5)2y2122.化简，x2y236.分析二：取A、B所在直线为x轴，A为坐标原点，因|AB|10，则B（10,0），然后依题设条件，列出方程.解法二：建立直角坐标系，使AB在x轴上，原点为A点，AB10，则B（10，0），设动点P（x，y）.依题意，得x2y2(x10)2y2122化简：x2y